南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题及答案

1、 南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题 序号： 姓名： 学院: 第 考场专业： 学号： 考试日期： 2010年10月10日 题号一二三四五六七八九十十一十二总分累分人 签名题分15156676877878 100得分注: 本卷共七页, 十二道大题, 考试时间为8:3011:30.得分评阅人 一、填空题(每题3分，共15分) 1、 . 2、= . 3、设，且，则= . 4、微分方程满足的特解是 .5、已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点 的坐标为 . 二、单项选择题(每题3分，共15分) 得分评阅人 1、设在的某邻域内有定义，则在处可导的一个充分条件是（ ） (A)存在. (B)存在. (

2、C) 存在. (D) 存在.2、设在内，则函数（ ） (A)在内单调减少，在内单调增加. (B) 在内单调减少，在内也单调减少. (C) 在内单调增加，在内单调减少. (D) 在内单调增加，在内也单调增加.3、 设，则当时，（ ） (A)与是等价无穷小. (B) 是比低阶的无穷小. (C) 与是同阶但非等价的无穷小. (D) 是比高阶的无穷小.4、 已知，则（ ） (A) 不存在，存在. (B) 都存在.(C) 存在，不存在. (D) 都不存在5、 设级数在处收敛，则此级数在处 ( ) (A) 条件收敛. (B) 绝对收敛. (C) 发散. (D) 收敛性不确定. 得分评阅人 三、（本题满分6

3、分） 计算. 得分评阅人 四、（本题满分6分） 计算. 得分评阅人 五、（本题满分7分） 设二元函数是由方程所确定，求. 得分评阅人 六、（本题满分6分） 求满足方程的可微函数. 得分评阅人 七、（本题满分8分） 设在空气中自由落下的冰雹均匀地融化，每秒融化千克，空气阻力和冰雹速度成正比。若冰雹的初始质量为千克，初速度为零，试求冰雹运动的速度和时间的关系. 得分评阅人 八、（本题满分7分） 设函数，判别级数的敛散性. 得分评阅人 九、（本题满分7分） 设在上连续，在内有二阶连续导数，求证至少存在一点使得. 得分评阅人 十、（本题满分8分） 求球面被平面与所夹部分的面积. 得分评阅人 十一、（本

4、题满分7分）求，其中为常数，为从点沿曲线到点的一段弧. 得分评阅人十二、（本题满分8分） 注：科技学院考生只作第1题, 其他考生只作第2题。 1.计算，其中区域. 2.计算曲面积分，其中为上半球面的上侧，. 南昌大学第七届高等数学竞赛(理工类)试题答案 一、1、3. 2、. 3、24 . 4、. 5、. 二、1、D. 2、D. 3、C. 4、A. 5、B.三、 解 令，则 =2原式=四、 解 当时，存在正整数使，因此，=五、解 由得.方程两边对求偏导得 上述方程两边再对求偏导数得将，代入得=0六、 解 令，则=原方程可化为两边对求导得 （）再对求导得求解此微分方程得由（）得，代入上式得因此七、解 在秒时刻，冰雹的质量为，速度为，受阻力为，为比例系数，根据牛顿运动定律得化简得解得，由得，于是八、解 ，令，则=，. 由于，因此，由收敛得收敛九、证 ，介于与之间 相加得，（1）不妨设，由在内连续得在上连续，设在上的最大值和最小值分别为和，则,由介值定理得至少存