1988年全国统一高考数学试卷

1、 1988年全国统一高考数学试卷（理科） 一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1（3分）（2008?海淀区一模）的值等于（ ） A 1 B 1 C i D i 22=2，直线L的方程为x+y3=0，点P的坐标为）y+（2）（2，1），2（3分）设圆M的方程为（x3那么（ ） A 点P在直线L B点P在圆M上，但不在直线L上 上，但不在圆M上 C 点P既在圆MD点P既不在直线L上，也不在圆M上 上，又在直线L上 3（3分）集合1，2，3的子集共有（ ） A 7个 B8 个 C 6个 D5 个 4（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A 10 B5 C D 6的系数是（

2、）3分）在的展开式中，x 5（6464 C D C 9C A 27C B2 7C910101010 44x的最小正周期是（ ）分）（2012?北京模拟）函数y=cos xsin6（3 A B C 2 D4 7（3分）方程的解集是（ ） A B C D 8（3分）极坐标方程所表示的曲线是（ ） A 圆 B双 曲线右支 C 抛物线 D椭 圆 9（3分）如图，正四棱台中，AD所在的直线与BB所在的直线是（ ） A 相交直线 B平 行直线 C 不互相垂直的D互 相垂直的异异面直线 面直线 10（3分）的值等于（ ） A 4 B C D8 11（3分）设命题甲：ABC的一个内角为60，命题乙：ABC的三

3、内角的度数成等差数列那么（ ） A 甲是乙的充分条件，但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件，但不是充分条件 是乙的充要条件甲 C D 甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 12（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|zi|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（ ） A 圆 B直 线 C 椭圆 D双 曲线 2222=1，那么新坐标系y2y1=0（3分）如果曲线x经过平移坐标轴后的新方程为yx2x13的原点在原坐标系中的坐标为（ ） A （1，1） B（ 1，1） C （1，1） D（ 1，1） 14（3分）（2007?杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至

4、少有2件次品的抽法有（ ） 232332种CC+C种 BC A C C19719733197355514种CC种 DC C C C 1973197200200 15（3分）已知二面角AB的平面角是锐角，C是平面内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面上的射影，点E是棱AB上满足CEB为锐角的任一点，那么（ ） A CEBDEB B CEB=DEB C CEBDEB D CEB与DEB的大小关系不能确定 二、解答题（共5小题，满分0分） 16（20分）四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用表示ASD，求sin的值 17（10分）已知tgx=a，求的值 18（

5、10分）如图，正三棱锥SABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积 19（12分）给定实数a，a0，且a1，设函数y=（xR，且x） 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于x轴； （2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形 20（12分）某中学在一次健康知道竞赛活动中，抽取了一部分同学测试的成绩，绘制的成绩统计图如图所示，请结合统计图回答下列问题： （1）本次测试中，抽取了的学生有多少人 （2）若这次测试成绩80分以上（含80分）为优秀，则请你估计这次测试成绩的优秀率不低于百分之几 21（11分）

6、21、设的大小，并证明你的结论 1988年全国统一高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共15小题，每小题3分，满分45分） 1（3分）（2008?海淀区一模）的值等于（ ） A 1 B 1 C i D i 考点： 复数代数形式的混合运算 专题： 计算题 2，可得答案 （i）分析： 根据复数的计算方法，可得的值，进而可得=解答： 解：根据复数的计算方法，可得=i， 2=1， 则=（i）故选B 点评： 本题考查复数的混合运算，解本题时，注意先计算括号内，再来计算复数平方 22=2，直线L的方程为x+y3=0，点P的坐标为（2，1）M2（3分）设圆的方程为（x3），+（y2）那么（

7、 ） A 点P在直线LB点 P在圆M上，上，但不在圆但不在直线LM上 上 C 点P既在圆MD点 P既不在直上，又在直线线L上，也不L上 在圆M上 考点： 点与圆的位置关系 分析： 点P代入直线方程和圆的方程验证即可 解答： 解：点P坐标代入直线方程和圆的方程验证，点P的坐标为（2，1），适合L的方程，即2+122=2显然A、B2）、D的方程，即（1），满足圆M23）+（1P3=0；点的坐标为（2，不正确 选项C正确 故选C 点评： 本题是基础题，考查点的坐标适合方程 3（3分）集合1，2，3的子集共有（ ） A 7个 B8 个 C 6个 D5 个 考点： 子集与真子集 分析： 集合1，2，3的

8、子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，包括空集 解答： 解：集合1，2，3的子集有： ?，1，2，3，1，21，2，3共8个 故选B 点评： 本题考查集合的子集个数问题，对于集合M的子集问题一般来说，若M中有n个元素，则集合n个 M的子集共有2 4（3分）已知双曲线方程，那么双曲线的焦距是（ ） A 10 B5 C D 双曲线的简单性质 考点：专题： 计算题 2，然后求出c，就能得到双曲线的焦距2c 根据题设条件求出分析： c2=25，c=5 c解：， 解答：双曲线的焦距2c=10 故选A 本题比较简单，解题时注意不要和椭圆弄混了点评： 6 3（分）在的展开式中，x）的系数是（54466

9、 9 C A 27C B2 7C C 9C D10101010 二项式定理的应用考点： 计算题专题：6 r+1分析： 利用二项展开式的通项公式求出第项，令x的指数为6求出x的系数 解答： 解：展开式的通项为 令10得r=4r=646 展开式中x的系数是9C10 D故选项为 点评： 本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具 44 sin）x的最小正周期是（ y=cos（63分）（2012?北京模拟）函数 x 4 D B C 2 A 考点：同角三角函数基本关系的运用观察题目条件，思路是降幂，先用平方差公式，再逆用二倍角公式，式子变为能判断周期等性 分析： y=Asin质的形式

10、，即（x+）的形式44 sinx 解答：解：y=cosx22 =cosxsinx =cos2x， T=， B故选对于和式的整理，基本思路是降次、消项和逆用公式，本题就是逆用余弦的二倍角公式另外 点评： 还要注意切割化弦，变量代换和角度归一等方法 分）方程的解集是（7（3 ） A B D C 正弦函数的图象考点： 代入后转化为一元二次方程后即可解 分析：令t=cosx 解：令t=cosx 解答：2 则可转化为：4t4t+3=0t= cosx=x= 故选C一般通过换元法转化为一元二次方程的问题后 点评：本题主要考查解关于三角函数的二次方程问题 再处理 38（分）极坐标方程所表示的曲线是（ ） 曲线

11、右支 B A圆双CD 物线抛 椭圆 考点： 简单曲线的极坐标方程 圆锥曲线的统一的极坐标方程是，其中 e表示曲线的离心率，欲判断极坐标方程所表示的曲线，分析：只须将它化成统一的形式后看其离心率即可 解：， 解答：， 其离心率e=，是椭圆 故选D 本题主要考查了圆锥曲线的统一的极坐标方程，属于基础题点评： 分）如图，正四棱台中，AD所在的直线与BB所在的直线是（） 9（3 行直线 B平 A 相交直线 互 相垂直的异面直线互相垂直的 C 不D 异面直线 空间中直线与直线之间的位置关系考点： 与BB异面； 分析：首先由“直线平行于平面，则该直线与平面内任一直线异面”判定AD BB不垂直与然后通过AD

12、BB的夹角是等腰梯形的内角，确定AD与 解：在正四棱台中，ADBC，又解答： AD?平面BCCB， 所以AD平面平面BCCB，BCCB，又BB? 与所以ADBB异面； 又因为四边形BCCB是等腰梯形， AD不垂直BC不垂直，即所以BB与BB与 C故选 本题考查异面直线的定义及其夹角点评： 3分）的值等于（） 10（ 4 B CD8 A 考点： 反三角函数的运用 计算题专题： 直接求解即可（tgarctgx）=x分析： 应用两角和的正切公式直接化简，以及公式 解答： =解： D故选 本题考查反三角函数的运算，两角和的正切公式，是基础题 点评： 的三内角的度数成等差数列那么11（60，命题乙：AB

13、C的一个内角为3分）设命题甲：ABC ）（ 是乙的充分条件，但不是必要条件 A 甲 甲是乙的必要条件，但不是充分条件 B C 甲是乙的充要条件 D甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 考点：等差关系的确定120，满足等差中180，ABC的一个内角为60，另外两个角的和是根据三角形内角和 分析： 的三内角的度数成等差数列，等差中项是项的特点，ABC60 的一个内角为解：ABC 解答：60， 另外两个角的和是120， 三个角满足等差数列； 的三内角的度数成等差数列，ABC等差中项是60， 故选C 本小题主要考查等差数列、充要条件等基本知识，点评： 考查逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力可以列

14、表复习等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质以便利于区分等差和等比 12（3分）在复平面内，若复数z满足|z+1|=|zi|，则z所对应的点Z的集合构成的图形是（ ） A 圆 B直 线 C 椭圆 D双 曲线 考点： 复数的代数表示法及其几何意义 分析： 本题考查的是复数的模的几何意义|zz|表示点Z到Z距离 2121先明确几何意义，再数形结合就可以给出解答 解答： 解：|z+1|，|zi|的几何意义分别是点Z到1所对应的点A（1，0）和点Z到i所对应的点B（0，1）的距离 由|ZA|=|ZB|，则点Z的轨迹是线段AB的垂直平分线 点评： 本题考查的是复数的模的几何意义注意掌握|zz|表示点Z

15、到Z距离 2211 2222=1，那么新坐标系1=0经过平移坐标轴后的新方程为分）如果曲线xxyy2x2y13（3的原点在原坐标系中的坐标为（ ） A （1，1） B（ 1，1） C （1，1） D（ 1，1） 考点： 函数的图象与图象变化 222配方，再看此方程可由什么样的平移方式得到新方程为x2yxy1=02x分析： 先将方程2=1，从而新坐标系的原点在原坐标系中的坐标 y222x2y解：将方程x1=0y配方得： 解答： 22=1，y+1）（x1 （其中心在（1，1）， 故新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，1）， 故选D 点评： 本题主要考查了函数的图象的图象变化，属于基础题 14（

16、3分）（2007?杭州一模）假设在200件产品中有3件次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） 232332CC C+CC 种BC A 197331971973种 55514CCDC种 C C C1971972002003种 考点： 组合及组合数公式 专题： 计算题；压轴题 分析： 根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案 解答： 解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况， 23种，C C“有2件次品”的抽取方法有197332种，C “有3件次品”的

17、抽取方法有C19732332种不同的抽取方法，C 则共有CC+C19719733故选B 点评： 本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最少”“最少”等情况的分类讨论 15（3分）已知二面角AB的平面角是锐角，C是平面内一点（它不在棱AB上），点D是点C在面上的射影，点E是棱AB上满足CEB为锐角的任一点，那么（ ） A CEBDEB B CEB=DEB C CEBDEB D CEB与DEB的大小关系不能确定 考点： 三垂线定理 专题： 作图题；综合题；压轴题 分析： 作出图形，利用三垂线定理和直角三角形，推出CEB、DEB的正切值的大小，推出结论 解答： 解：过C向AB做垂线

18、交AB于F，连接DF，因为CDAB又CFAB， 所以AB面CDF，所以CF垂直于AB 在直角三角形CDF中，CF为斜边DF为直角边，所以CFDF 易知tanCEF=tanDEB= 由CFDF知，CEBDEB 故选A 点评： 本题考查三垂线定理，考查学生逻辑思维能力，是基础题 二、解答题（共5小题，满分0分） 16（20分）四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB垂直于底面，并且SB=，用表示ASD，求sin的值 考点： 三垂线定理 专题： 作图题；证明题 分析： 利用三垂线定理说明DASA，求出SD，解三角形SAD，即可得到sin的值 解答： 解：因为SB垂直于底面ABCD，所以斜线

19、段SA在底面上的射影为AB，由于DAAB 所以DASA从而 连接BD，易知BD=由于SBBD， 所以 因此， 点评： 本题考查三垂线定理，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题 17（10分）已知tgx=a，求的值 考点： 三角函数中的恒等变换应用 分析： 先用和差化积公式再根据二倍角公式即可化简求值 解答： 解： = = 点评： 本题主要考查三角函数的和差化积公式和二倍角公式三角函数中公式比较多，一定要熟练记忆，能够灵活运用 18（10分）如图，正三棱锥SABC的侧面是边长为a的正三角形，D是SA的中点，E是BC的中点，求SDE绕直线SE旋转一周所得到的旋转体的体积 ；棱锥的结构特征旋转体

20、（圆柱、圆锥、圆台） 考点：专题： 计算题 连接AE，说明EDSA，作DFSE，交SE于点F所求的旋转体的体积是以DF分析： 为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，求出DF，然后求出几何体的体积 解：连接AE解答： ，因为SDE和ABC都是边长为a的正三角形，并且SE和AE分别是它们的中线，所以SE=AE，从而SEA为等腰三角形，由于D是SA的中点， 所以EDSA作DFSE，交SE于点F考虑直角SDE的面积，得到，所以， 所求的旋转体的体积是以DF为底面半径，分别以SF和EF为高的两个圆锥的体积的和，即 本题是基础题，考查空间想象能力，圆锥的体积的求法，考查计算能力以及发现问题

21、解决问题点评： 的能力 19（12分）给定实数a，a0，且a1，设函数y=（xR，且x） 证明：（1）经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行 于x轴； （2）这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形 考点： 反函数 专题： 证明题 分析： （1）欲证经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平行于x轴，设M（x，y），M（x，22111y）是这个函数图象上任意两个不同的点，可通过证明任意两个不同的点的直线的斜率恒不为20得到； （2）要证这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形，设点P（x，y）是这个函数图象上任意一点，证明其对称点（y，x）也在此函数的图象上即可 解答： 解：（1）设M（x，y），M（x，y）是这个函数图象上任意两个不同的点，则xx，且 21212211=， a1，且xx，yy0 1212从而直线MM的斜率，因此，直线MM不平行于x轴 2211（2）设点P（x，y）是这个函数图象上任意一点，则x，且y=（1）易知点P（x，y）关于直线y=x的对称点P的坐标为（y，x）由（1）式得y（ax1）=x1，即x（ay1）=y1，（2），即axa=ax1，由此得a=1，与已知矛盾， 这说明点P（y，x）在已知函数的图象上， 因此，这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形 点评： 本题主要考查了等价转化能力和数式的运算能力