16-3-3直线与圆的位置关系(3).讲义教师版

1、目M归 中考要求例题精讲板块考试要求A级要求B级要求C级要求直线与圆的W 方 位置大糸了解直线与圆的位置关系； 了解切线的概念，理解切线 与过切点的半径之间关系； 会过圆上一点画圆的切线能判定一条直线是否为圆的切线；能利用直 线和圆的位置关系解决简单问题能解决与切线有关的问 题切线长了解切线长的概念会根据切线长知识解决简单问题、切线长定理【例1】 如图，PA, PB分别是、0的切线，A, B为切点，AC是、0的直径，已知 NBAC =35，乙P的 度数为（）A. 35B. 45C. 60D. 70【考点】切线长定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，四川凉山【解析】根据切线长定理结合

2、直径所对圆周角是90所以选D【答案】D【巩固】如图，PA、PB分别切O O于A ,B两点，PC满足AB卩B - AC FC =ABPC - AC PB，且AP _PC , ZPAB =2/BPC，求 ZACB 的度数.【考点】切线长定理A D【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】I PA、PB都是OO的切线， PA=PB/ AB PB -AC PC =AB PC -AC PB , AB AC PB_PC ；=0 PB =PC , A、B、C三点都在以P为圆心，PA为半径的圆上. 设.ACB，贝y . APB =2：. ,. BPC =90 2：.T . PAB =2. BPC ,

3、 . PAB=. PBA = 2 90 -2: =180 -4:在 PAB 中，.APB . PAB . PBA =180，即 2 180 -4:2: =180 6=180 , =30 ，即乙 ACB =30 .【例2】 如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA, PB ,切点分别为A, B .如果.APB =60 ； PA =8 , 那么弦AB的长是()A . 4B. 8C. 4 3D. 8.3A【考点】切线长定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2008年，上海市【解析】根据切线长定理结合等边三角形性质，所以选 B【答案】B【巩固】一个钢管放在 V形架内，右图是其截面图,O为钢管的圆心.如

4、果钢管的半径为25 cm ,.MPN =60，贝V OP =()A . 50 cmB. 25 3 cm50、. 3C .cm3D . 50 3 cmP【考点】切线长定理【难度】2星【题型】选择【关键词】2009年，绵阳【解析】考察对切线长定理的应用，所以选 A【答案】A【例3】 如图，已知以直角梯形 ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相 切，切点分别是D , C , E .若半圆O的半径为2 ,梯形的腰AB为5 ,则该梯形的周长是 ()B . 10C . 12D . 14O【考点】切线长定理【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，泰州市【解析】由切线长定理

5、可知：AD二AE，BC二BE , 梯形 ABCD 的周长为 AB BC CD AD =2AB CD =104 =14 ,故选D .【答案】D【巩固】等腰梯形 ABCD外切于圆，且中位线 MN的长为10,那么这个等腰梯形的周长是 【考点】切线的性质及判定【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】40【例4】 如图，PA、PB、DE分别切OO于A、B、C，若PO=10, PDE周长为16，求OO的半径.【考点】切线长定理【难度】2星【题型】解答【关键词】【解析】连结OA PA、PB、DE 都与 OO 相切， PA 二 PB , DC =DA , EC EB , PDE 周长二PD DE

6、PE =PD DC CE PE=PD DA EB PE =PA PB =16 PA =8 OA =PO2 PA2 =6，即 O O 的半径为 6 .【答案】6【巩固】如图，PA, PB切、O于A, B , MN切、O于C，交AB 于M , N两点，已知PA =8，求P/N 的周长.【考点】切线长定理【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由切线长定理可知：PA =PB , MA =MC , NC二NB ,/ PMN 的周长：L 二 PM MC CN PN 二 PM MA NB PN 二 PA PB = 16 【答案】16【例5】 由圆外一点P引圆的两条切线 PB、PD，B、AD / PO .

7、D为切点，过B作直径AB，连接AD、PO，则圆周角定理，切线长定理3星解答【考点】【难度】【题型】【关键词】OD .=PB, PO 公共, ，有 1 = 2 .【解析】略【答案】证法一：如图，连接/ OD =0B , PD/ . PDO 也.PBO 设 PO 交 BD 于 E , De =BE , 2 =BD 的度数.2又.A =】Bd的度数，2 . A = 2 . AD / PO .证法二：如图，连接 BD ./ PD =PB，乙DPO ZBPO , PO _ BD .T AB为直径， AD _BD . AD / PO .证法三：如图，连接 BD、OD ./ OD =OB , PD 二 PB

8、 , PO是BD的中垂线.设PO交BD于F , DF 二BF，又 AO 二BO , OF / AD，即 AD / PO .证法四：如图，连接 OD，延长PO交圆于F ./ . PDO 也.PBO , M1 = 2 , DG =BG .又 2 “3 , DG =AF，故 AD / PO .【巩固】过圆O的直径AB的两端作圆的切线 AD、BE 证：OD _OE .3星解答【考点】【难度】【题型】【关键词】【解析】略【答案】证法一：如图，/ AD =CD ,厂7c 厂A101AFBEB，分别与过AB任一点C这切线相交于D、E，求连接OD公共,OC，显然 OC _ DE，OA _ AD . Rt .

9、AOD 也 Rt. COD , .仁.2 .同理.3 =. 4 ,.1.4= 2.3-. DOE .又.1.4.2. 3J80 , 即 2 DOE =180 . . DOE =90 . OD _DE .证法二：如图，连接 OC . AD_AB , BE_AB , AD / BE , . ADO . CDO . BEO . CEO =180 .又 NADO ZCDO，匚BEO ZCEO , . CDO . CEO =90 . OD _OE . 证法三： 如图，延长 DO交BE于F . AD / BE , . ADF DFE .又.ADF FDE , . DFE = FDE , EDF为等腰三角形

10、. . DEO =/FEO , OD _OE .证法四：如图，过 O作OF / BE交DE于F . AD / BE , ABED为梯形.又 AO 二 BO ,1 DF =EF , OF (AD BE).2又 AD =CD , BE =CE ,1 AD BE =DE , OF DE .2 DOE是直角三角形，DE是斜边. OD _OE .【例6】 如图甲，已知AB为半圆O的直径，AP为过点A的半圆的切线，在AB上任取一点C (点C与A、 B不重合)，过点C作半圆的切线CD交AP于点D，过点C作CE _ AB，垂足为E，连接BD , 交CE于点F .(1)当点C为AB的中点时，求证：CF二EF ；

11、(2)当点C不是AB的中点时(图乙)，试判断CF与EF的相等关系是否存在，并证明你的结论.P CABE O甲FE O乙P C1PGCA E O【考点】 【难度】 【题型】【关键词】 【解析】【答案】切线长定理3星解答略1) DA为切线，AB为直径， DA _ AB 点C是Ab的中点，且ce CE过圆心，点E为半圆的圆心，又 CE _AB ,四边形DAEC为矩形， CE / AD , CE =AD ,EFBE111小，即 EF AD ECADAB222 F为EC中点，贝U CF =EF(2) CF =EF证明：连接BC ,并延长BC交AP于点 半圆O的切线， DC =DA , . DAC DCA

12、 , AB为直径， . ACB =90 , . ACG =90 , /G ZDAC ZDCA EDCG =90 , . G = . DCG ,在. GDC 中，CD =DG , GD =DA , AP是半圆 AP _ AB, CE / AP , CF BFGD _BD _AD CF 二EFAD、 DC 是O的切线， 又 CE _ AB, AB ,G，连接AC ,【巩固】已知，如图， AB是。O的直径，I是过B点的OO的切线，C是I上一动点(不与点B重合)，AC 与O O交于D (1 )若M是BC的中点，试判断直线 DM与OO的位置关系，并证明；(2)过动点C作O O的切线CP , P为切点，且

13、交过点A的O O的切线于E ,若O O的半径为2 , 试问PC PE是否为一定值？若是，请求出这个值；若不是，请求出其变化范围.【考点】切线的性质及判定，切线长定理【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）连结OD、BD/ AB是 OO 的直径， . ADB = BDC =90 ,/ OA =OD , 二A =/ADO ,1 M 是 BC 的中点， DM =CMBC ,二.MCD 二/MDC ,2/ l 是 O O 的切线， ABC =90 , ； A EC =90 , . ADO . MDC =90 , . ODM =90 , OD是半径， DM与OO相切.（2）解法一：如图

14、，连结 OE、OC ,/ AE、BC、CE 都是 O O 的切线， AE=EP , PC = BC ,且 AE / BC , . AEO =. PEO , BCO =. PCO , . COE =90，则易得.：AOE s . BOC ,生二，即 AE BC = AO BO ,OB BC2 AE =EP , PC =BC , PC PE =AO =4 , PC PE是定值.解法二：如图，过 E点作EF _BC于F , 同解法一，可以得到 AE =EP , PC =BC ,设 AE =EP =x, BC =PC =y，贝U CE =x y , EF _BC，易得四边形 ABFE是矩形， BF A

15、E =x , EF = AB =4，贝U CF y x ,在 Rt. EFC 中，.EFC =90 , EF2 FCCE2 ,2 2 2即 4 亠 iy-x x y , 4xy =16 , xy=4,则 PC PE 二xy =4 , PC PE是定值.二、三角形的内切圆及内心【例7】 如图，等边 ABC的边长为12cm，内切O切BC边于D点，则图中阴影部分的面积为 （）2J32A ncmB. ncm3C. 2 ncm2D . 、3 ncm2A【考点】三角形的内切圆及内心【难度】2星【题型】选择【关键词】【解析】考察等边三角形与其内切圆半径的关系，结合扇形面积所以答案C【答案】C【巩固】如图，点

16、 0是.：ABC的内切圆的圆心，若-BAC =80，则.BOC二（）A . 130 B . 100 C. 50 D . 65 C【考点】三角形的内切圆及内心【难度】2星【题型】选择【关键词】2006年，宜昌市【解析】根据三角形内切圆圆心是三角形三条角分线的交点.所以答案选【答案】A【例8 如下图所示，JABC的内切圆与三边 AB、BC、CA分别切于 D、E、F , AB=11cm . BC =13cm , CA =14cm，求 AD、BE、CF 的长.【考点三角形的内切圆及内心【难度2星【题型解答【关键词【解析 AB、BC、CA 与 OO 相切， AD=AF , BD = BE , CE =C

17、F设 AD =x , BD =y , CE =z ,x y =11x = 6,y z =13，解得 y =5,z x =14z =8.即AD、BE、AF的长分别为6cm、5cm和8cm .【答案AD、BE、AF的长分别为6cm、5cm和8cm【巩固ABC中，AB =7 , BC =8 , CA =9，过ABC的内切圆圆心I作DE / BC，分别与 AB , AC 相交于点D , E，贝U DE的长为.A【考点】三角形的内切圆及内心【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】解法一：如图,Zaha2=S ABC【答案】所以rha a b c设ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，1(a

18、b c)r，2a因为厶ADE s ABC，所以它们对应线段成比例，因此所以DE8 (79)163aa b ca(b c) a beha=DEha BC解法二：t S abc =rp = p( p -a)( p -b)( p -c) = . 12 4 3 5 =12.5故DE =8 7 9(这里pa +b +c、1 ),2所以r2 5 = .5 ,122 12.58,2S ABChaaDEBCha - r35 - 52ha3 一 53即DE =；=BC :163316由 ADEs ABC ,3【例9 如图，为Rt ABC的内切圆,CBC边上的高为ha ,则ZACB =90 , AC =4 , B

19、C =3，求内切圆半径 r .【考点三角形的内切圆及内心【难度3星【题型解答【关键词【解析解法连接 OA, OB , OC ,T AC = 4, BC =3 , AB =5S BOC S AOC S AOB = S ABC , 设三角形的底 BC , AB , AC各为a , b , c ,11113 4即 ar br cr ab , r122223 4 5解法二 设、O 切 BC , AC , AB 于 M ,N , P 三点， 由切线长定理可知：CN =CM , AN =AP , BM =BP CM CN =(CB -BM ) (AC -AN)=BC AC _BP _AP=BC AC -A

20、B =34-5=2/ CM =CN , CM =1 ,由.C =90 , OM _BC , ON _AC可证得四边形 OMCN为正方形. OM 二MC =1，即、O 的半径 r =1 .【答案】1【巩固】 RtMBC中，乂C=90, AC =6 , BC =8，贝U MBC的内切圆半径r=【考点】三角形的内切圆及内心【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，湖北荆门【解析】略【答案】2目归 课后作业1.如图，oO是ABC的内切圆,D , E , F 是切点，AB =18cm , BC =20cm , AC =12cm，又直线MN切OO于G，交AB、AC于MN，则BMN的周长为【考点】切线长

21、定理【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由切线长定理可知 AE =AF , BD =BF , CD =CE ,/ AB =18cm , BC =20cm , AC =12cm ,1- AE CE BF AB BC AC =25cm , 2 BF =2512 =13cm ./ MN 是 OO 切线， MG =MF , NG =ND , . BMN 的周长=BM MN BN =BM MG GN BN =BF BD =26cm .【答案】26 cm2.如图，已知 AB是OO的直径，BC是和OO相切于点B的切线，O O的弦AD平行于OC，若OA = 2，且 AD OC =6，求 CD 的长.CA

22、O【考点】切线长定理【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】连结 OD、BD ./ BC是OO的切线， AB是直径， AB _BC , ADB =90/ OA =OD , . OAD =/ODA ,/ AD / OC , . OAD =/BOC , ODA =/COD , . BOC =/COD , . COB B . COD SAS , . ODC =/OBC =90 , OD _CD CD与OO相切. CD =BC又.OAD =. BOC , ODC =. OBC =90 , ABD s QCBAD ABOB OC即 AD OC =OB AB =2 4 =8 AD =2 , OC =4

23、.在 Rt . ：BOC 中，.OBC =90 , BC = . OC2 -OB22、3 CD的长为2 .3 .【答案】2 33. 在一个夹角为120的墙角放置了一个圆形的容器，俯视图如图，在俯视图中圆与两边的墙分别切于B ,C点，如果用带刻度的直尺测量圆形容器的直径，发现直尺的长度不够(1) 写出此图中相等的线段；(2) 请你设计两种不同的通过计算可求出直径的方法(只写主要的解题过程)【考点】切线长定理【难度】3星【题型】【关键词】海淀，一模【解析】略【答案】(1) AB =AC ,(2 )方法一：作ZBAC的平分线，过点 B作射线AB的垂线交于点 O ,由图形的对称性可知圆心在 ZBAC的平分线上，点0就是该圆的圆心.可测得AB的长度，在Rt.lAOB中，.BAO=60 , OB = AB tan 60J3AB , /直径为 2 . 3AB ,方法二：连接OC，BC，可证得ACOB是等边三角形， BC -OC，可求得BC的长度，直径等于2BC .A