20172018高中数学人教A版选修23教学案122 第一课时 组合与组合数公式 Word版含解析

1、 合 组 122 组合与组合数公式第一课时 24，思考并完成以下问题预习课本P21 1组合的概念是什么？ 2什么是组合数？组合数公式是怎样的？ 3组合数有怎样的性质？ 新知初探 组合的概念1个元mn个不同元素中取出mn)个元素合成一组，叫做从从n个不同的元素中取出m( 素的一个组合 组合数的概念、公式、性质2 组合数 定义从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 表示法Cmn Amnm mnC 乘积式！Ammm 组合数 公式！nCmn 阶乘式！m CmnCnm_，Cmn1CmnCnm1_ 性质*且mn，规定：CNn，m0n1 备注 点睛

2、 排列与组合的联系与区别 联系：二者都是从n个不同的元素中取m(nm)个元素 区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合 小试身手 1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”) (1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23( ) (2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积( ) (3)1,2,3与3,2,1是同一个组合( ) (4)C3554360( ) 答案：(1) (2) (3) (4) 2C2n10，则n的值为( ) A10 4 D 3

3、C 5 B B 答案：) 33从9名学生中选出名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有( 种A504 729种B 种84种 27D CC 答案： 24计算C8C2C9_38120 答案： 组合的概念 典例 判断下列问题是组合问题还是排列问题： ，a，bcde，则集合3A的子集中含有个元素的有多少个？A(1)设集合 个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？某铁路线上有(2)5 5(3)3人去干种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ 本相同的书分给把(4)351本，有几种分配方法？个学生，每人最多得 因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题(1)解 因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不

4、同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，(2) 甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题个人去干，故是种不同的工作中取出5因为分工方法是从(3)33种，按一定次序分给 排列问题本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组3本书是相同的，无论把3因为(4) 合问题 区分排列与组合的方法 区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有 无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即 说明无顺序，是组合问题 活学活用 判断下列问题是组合问题还是排列问题：

5、把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(1) 从7本不同的书中取出5本给某个同学；(2) (3)10个人相互写一封信，共写了几封信； 个人互相通一次电话，共通了几次电话(4)10 由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题解：(1)本并不考虑书的5本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的(2)从7 顺序，故它是组合问题 因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题(3) (4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题 有关组合数的计算与证明 ；A3410C37 典例(1)计算C 1nCnm1(2)证明：mCmn109875 767原式解 (1)

6、C410A34321 0210210n！ mC(2)证明：mmn！m！n ！ ！ nnCnm11 ！ 关于组合数公式的选取技巧 ！nn1接体数字的可以直C用mn具(1)涉及 ！m1mm！nn ！n 进行计算Cmn！m！ ！n 计算(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn！m！ m简化运算 n(3)计算时应注意利用组合数的性质CmnC 活学活用 的值n38nC3n121计算：C3n ?n3n，38? 55n10解：9?，3n21n?* 10nN，n3029 466131C3031C230C133nC3n38nC21nC302821 值x4成立的x22求使3Cx375A 根据排列数和组合数公式，原方程可

7、化为解：！ 5，3 ！4！x 5 40x6)即，即为(x3)( 64x！29x220，解得x11或xx2 经检验知x11时原式成立 3证明下列各等式 m1(1)CmnCnm11； n1(2)C0nC1n1C2n2Cnmm11Cnmm1 m1！ 解：(1)右边 ！1n ！m1 ！1！n ！n 左边，原式成立mnC！m2)C2n(C1n2nC3n3Cmm111(2)左边(C0nC1n1)C2n2 4)C4nCnmm11(C3n(CmnC33Cnm112n3C33)4nCnmm11Cnmm1m11Cnmm21右边，原式成立 Cnm 简单的组合问题 典例 在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学

8、校要从中选出5人去参加市级培训，在下列条件中，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加 解 (1)C512792种不同的选法 (2)甲、乙、丙三人必须参加，只需从另外的9人中选2人，共有C2936种不同的选法 (3)甲、乙、丙三人不能参加，只需从另外的9人中选5人，共有C59126种不同的选法 解答简单的组合问题的思考方法 (1)弄清要做的这件事是什么事； (2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题； (3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果 活学活用 一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球 (1)从口袋内取出3

9、个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 个球，3个球中取出8从口袋内的(1)解：876取法种数是C3856 321(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数76是C2721 21(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是765C3735 321 层级一 学业水平达标 1C58C68的值为( ) A36 B84 C88 D504 987解析：选A C58C68C69C3984 3212以下四个命题，属于组合问题的是( )

10、A从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D从13位司机中任选出两位开两辆车从甲地到乙地 解析：选C 选项A是排列问题，因为2个小球有顺序；选项B是排列问题，因为甲、乙位置互换后是不同的排列方式；选项C是组合问题，因为2位观众无顺序；选项D是排列问题，因为两位司机开哪一辆车是不同的选C 3方程Cx14C2x144的解集为( ) A4 B14 DC4或6 14或2 ?，2x4，x14x? ?414，414，2x2x 由题意知C选 或解析：?x14，x14解得x4或6 个点中12个点共圆，过这4个

11、点在一条直线上，也没有3个点，其中没有12平面上有4的每三个作圆，共可作圆( ) A220个 B210个 DC200个 1 320个 A220，故选解析：选A C312人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则5名志愿者中选派45从) 不同的选派方法共有( 48种种A60 B 种D C30种 10解析：选C 从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动有C25种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动有C23种方法，由分步乘法计数原理可得不同的选派方法共有C25C2330种故选C 6C03C14C25C1821的值等于_ 解析：原式C04C14C25C1821 C15C25

12、C1821 C1721C2118C1822C4227 315 答案：7 315 7若已知集合P1,2,3,4,5,6，则集合P的子集中含有3个元素的子集数为_ 解析：由于集合中的元素具有无序性，因此含3个元素的子集个数与元素顺序无关，是组合问题，共有C3620种 答案：20 8不等式C2nn5的解集为_ 23n100 解析：由5，nC2nn5，得n 2 *， nNn5由题设条件知n2，且解得23Cx8 原方程等价于(1)解：， 2)6m(m1)(m 4321 73，m4m ?18，x?* ，且x(2)由已知得：Nx8?x8，?38！8！C8x13Cx8， ！x 3271 即，x3(9x)，解得

13、x， xx94x7,8 原不等式的解集为7,8 10某区有7条南北向街道，5条东西向街道(如图) (1)图中有多少个矩形？ (2)从A点走向B点最短的走法有多少种？ 解：(1)在7条南北向街道中任选2条，5条东西向街道中任选2条，这样4条线可组成一个矩形，故可组成矩形有C27C25210(个) (2)每条东西向的街道被分成6段，每条南北向街道被分成4段，从A到B最短的走法，无论怎样走，一定至少包括10段，其中6段方向相同，另4段方向也相同，每种走法，即是从10段中选出6段，这6段是走东西方向的(剩下4段即是走南北方向的)，共有C610C410210(种)走法 层级二 应试能力达标 1若C4nC

14、6n，则n的集合是( ) A6,7,8,9 B0,1,2,3 D7,8,9 nCn|6 ?C4，nC6n? ，6nC 选解析：A4Cn?n6，? ?！nn！?， ?！4！6！ ? n6. ?，1n10100，n29n? ?n6.n6，?* 6,7,8,9nN，n 的集合为6,7,8,9n张卡片，其中23个不同的信封中，若每个信封放将标号为1,2,3,4,5,6的6张卡片放入2) 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( 标号为1,2 种18种 BA12 36种 种54 DC43解析：选B 由题意，不同的放法共有C13种 C24318 23若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶

15、数，则不同的取法共有( ) A60种 B63种 D66种 种C65 解析：选D 和为偶数共有3种情况，取4个数均为偶数的取法有C41种，取2奇数2偶数的取法有C24C2560种，取4个数均为奇数的取法有C455种，故不同的取法共有160566种 4过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有( ) A18对 B24对 对C30 D36对 解析：选D 三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C46312个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线则共有12336对 5方程Cx17Cx16C2x162的解集是_ 解析：因为Cx17Cx16C16x1，所以C16x1C162x2，由组合数公式的性质，得

16、x12x2或x12x216，得x3(舍去)，x5 21答案：5 元钱，则10种小张买杂志用去3本的有1元1种，8本的有1元2种杂志，11某书店有6不同买法的种数为_(用数字作答) 解析：由已知分两类情况： (1)买5本2元的买法种数为C58 (2)买4本2元的、2本1元的买法种数为C48C23 故不同买法种数为C58C48C23266 答案：266 7已知C4n，C5n，C6n成等差数列，求C12n的值 解：由已知得2C5nC4nC6n， n！n！n！所以2， ！5！6！4 221n980整理得n， 解得n7或n14， 要求C12n的值，故n12，所以n14， 1413于是C1214C21491 21 8已知集合Aa，a，a，a，B0,1,2,3，f是从A到B的映射 4321(1)若B中每