2019届高三数学(文)名师精编复习题：模块七选考模块第21讲不等式选讲Word版含答案

1、名校名 推荐 第 21 讲不等式选讲1. 2017 全国卷 已知函数 f (x)=-x 2+ax+4,g(x)=|x+ 1|+|x-1|.(1)当 a=1 时 ,求不等式 f (x) g(x)的解集 ;(2)若不等式f (x) g(x)的解集包含 - 1,1,求 a 的取值范围 . 试做 命题角度含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一 :运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二 :运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2. 2017 全国卷 已知 a0,b0,a3+b3=2. 证明 :(1)(a+b)(a5+b5)4;(2) a+b2. 试做 命题角度不等式的证明不等

2、式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等 ,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式 .3. 2016 全国卷 已知函数 f (x)=| 2x-a|+a.(1)当 a=2 时 ,求不等式 f (x) 6 的解集 ;(2)设函数 g(x)=| 2x- 1| ,当 x R 时 ,f (x)+g(x) 3,求 a 的取值范围 . 试做 命题角度关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为 :f(x)a 恒成立 ? f (x)mina ;f(x)a 恒成立 ? f (x)maxa 有解 ? f (x)maxa;f(x)a 有解 ? f (x)mina 无

3、解 ? f (x)max a;f(x)0.(1)当 a=3 时 ,求不等式 f (x) 5x+1 的解集 ;(2)若不等式f (x) 0 的解集为 x|x - 1,求 a 的值 . 听课笔记 【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法 . 以绝对值的零点为分界点 ,将数轴分成几个区间 ,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论 .(2)利用绝对值的几何意义求解. 即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离( 范围 )问题结合 . 解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决 . 一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数 ,剩余的部分构造

4、成另一个函数 ,画出函数图像 ,利用数形结合的方法解决问题 .【自我检测】已知函数 f (x)=|x+m|+| 2x- 1|.(1)当 m=-1 时 ,求不等式f (x) 2 的解集 ;(2)若()2 1|的解集包含,2 ,求实数的取值范围.f x|x+m解答 2 不等式的证明2 已知函数f (x) =|x+ 1|-|x-4|.(1)若 f (x) -m2 +6m恒成立 ,求实数 m的取值范围 ;(2)在 (1)的条件下 ,设 m的最大值为m0,a,b,c 均为正实数 ,当 3a+4b+5c=m0 时 ,证明 :a2+b2+c2 .2名校名 推荐 听课笔记 【考场点拨】高考中不等式证明的关注点

5、:不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式 ,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.【自我检测】已知函数 f (x)=|x- 1|+|x- 5|.(1)解关于 x 的不等式f (x)6;(2)记 f (x)的最小值为m,已知实数 a,b,c 都是正实数 ,且 += ,求证 :a+2b+3c 9.解答 3 含绝对值不等式的恒成立问题3 已知函数 f (x) =|x- 2|-| 2x- 2|.(1)求不等式f (x)+10 的解集 ;(2)当 x

6、R 时 ,f (x)g(a)恒成立 ,则转化为 f (x)min g( a);(2)如 f (x)g(a)恒成立 ,则转化为 f (x)maxg(a).【自我检测】设函数 f (x)=|x+a|+|x-3a| ,a R.(1)若 f (x)的最小值是4,求 a 的值 ;2(2)若对于任意的实数x R,总存在 a - 2,3,使得 m- 4|m|-f (x) 0 成立 ,求实数 m的取值范围 .3名校名 推荐 第 21 讲不等式选讲典型真题研析1. 解 :(1)当 a=1 时,不等式 f (x) g( x) 等价于x2-x+|x+ 1|+|x- 1|- 40. 当 x1 时 ,式化为 x2+x-

7、 4 0,从而 11 时 ,等价于 a- 1+a 3,解得 a 2.4名校名 推荐 所以 a 的取值范围是 2,+ ).考点考法探究解答 1例 1 解 :(1)当 a=3 时,不等式 f (x) 5x+1 即 | 2x- 3|+ 5x5x+1,即| 2x- 3| 1,解得 x 2 或 x1,不等式 f (x) 5x+1 的解集为 x|x 1 或 x 2.(2)由 f (x) 0 得| 2x-a|+ 5x 0,即或-又 a0,不等式 f (x) 0 的解集为x x -,由题意得 - =- 1,解得 a=3.【自我检测】解 :(1)当 m=-1 时 ,f (x)=|x- 1|+| 2x- 1|.当

8、 x 1 时 ,f (x)=3x- 22,此时 1 x ;当 x1 时 ,f (x)=x2,此时 x6 得或或-解得 x6,所以不等式f (x)6 的解集为 (- ,0) (6,+ ).(2)证明 :由 f (x)=|x- 1|+|x- 5| |x- 1- (x- 5)|= 4(当且仅当1x 5 时取等号 ),得 f (x) min=4,即 m=4,从而 + + =1,所以 a+2b+3c=+(a+2b+3c)=3+ 9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号 ).解答 3例 3 解 :(1)当 x 1 时 ,f (x)=x,f(x)+10 即为 x+10,解得 x- 1,此时 - 1x 1;当

9、10 即为 - 3x+50,解得 x ,此时 1x2 时 ,f (x)=-x ,f(x)+10 即为 -x+ 10,解得 x0 的解集为x - 1x.(2)由 (1)知 f (x)= -作出 y=f (x)的图像 ,如图所示 :结合图像可知 ,要使 f (x)-x+a 恒成立 ,只需当 x=1 时 ,f (x) -x+a,即 12,实数 a 的取值范围为 (2,+ ).【自我检测】解 :(1)f(x)=|x+a|+|x- 3a| | (x+a)- (x- 3a)|= 4|a| ,且 f (x) min=4,4|a|= 4,解得 a= 1.(2)由题知 |m| 2- 4|m| 4|a| ,又 a

10、 是存在的且a - 2,3. |m| 2- 4|m| 4|a| max=12,即 |m| 2- 4|m|- 12 0,即 (|m|- 6)(|m|+ 2) 0, |m| 6,- 6 m 6,即实数 m的取值范围为 - 6,6 . 备选理由 在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例 1 是对例 2 应用的一个补充 .例 1 配例 2 使用 已知函数f ( x)=| 2x-a| ,g(x)=x+2,a R.(1)当 a=1 时 ,求不等式 f (x)+f (-x ) g(x)的解集 ;7名校名 推荐 (2)若 bR,求证 :f,f-,f中至少有一个不小于.解 :(1)当 a=1 时 ,f