2013 第七章参数估计

1、1,第七章 参数估计,2,统计推断问题可以分为两大类: 估计问题, 假设检验问题. 本章讨论总体参数的点估计和区间估计,总体分布中未知参数的推断,假定某市成年男性的身高服从正态分布， 希望得到平均身高m,m的大小如何,m大概落在什么范围内,能否认为某一说法成立（如 m 1.68,设总体x的分布函数为已知, 但它的一个 或多个参数为未知,4,例1 在某炸药厂, 一天中发生着火现象的次数x是一个随机变量, 假设它服从以l0为参数的泊松分布, 参数l为未知, 现有以下样本值, 试估计参数l,5,解 由于xp(l), 故有l=e(x). 我们自然想到用样本均值来估计总体的均值e(x). 现由已知数据计

2、算得到,得到e(x)=l的估计为1.22,点估计问题的一般做法,如何给出估计，即估计的方法问题； 如何对不同的估计进行评价，即估计的 好坏判断标准,点估计涉及的两个问题,一、 矩估计法,用样本矩去替换相应的总体矩,通常采用原点矩,两种常用的构造估计量的方法:矩估计法 、最大似然估计法,9,样本矩依概率收敛于相应的总体矩,样本矩的连续函数依概率收敛于相应的总体矩的连续函数,因此就用样本矩作为相应的总体矩的估计量,10,例3 设总体x的均值m及方差s2都存在, 且有s20, 但m,s2均为未知. 又设x1,x2,.,xn是来自x的样本. 试求m,s2的矩估计量.解,分别以a1,a2代替m1,m2,

3、 得m和s2的矩估计量分别为,总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异,11,泊松分布总体的参数矩估计量,指数分布总体的参数矩估计量 二项分布参数p的矩估计量,例,12,例2 设总体xu(a,b), a,b未知. x1,x2,.,xn是来自总体x的样本, 试求a,b的矩估计量.解 m1=e(x)=(a+b)/2m2=e(x2)=d(x)+e(x)2=(b-a)2/12+(a+b)2/4,解得,13,分别以a1,a2代替m1,m2, 得到a,b的估计量分别为,矩估计法的优缺点 矩估计法的优点：简单易行，不需要知道总体的分布形式，只需要知道总体若干阶矩的形式； 矩估计法的缺点：总体分

4、布形式已知的情形下，矩估计法不能够充分利用总体分布提供的信息,最大似然估计法maximum likelihood estimate,设x1,x2,.,xn是相应的一个样本值,然似然函数函数,似然函数,17,求最大似然估计量的步骤,19,例4 设xb(1,p), x1,x2,.,xn是来自x的样本, 试求参数p的最大似然估计量.解 设x1,x2,.,xn是相应于样本x1,x2,.,xn的一个样本值. x的分布律为px=x=px(1-p)1-x, x=0,1.故似然函数为,20,21,最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况. 此时只需令,对数似然 方程组,23,例5 设xn(m,s2)

5、, m, s2为未知参数, x1,x2,.,xn是来自x的一个样本值. 求m, s2的最大似然估计值.解 x的概率密度为,似然函数为,24,25,最大似然估计的性质:不变性,是,的极大似然估计,是,的极大似然估计,1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好,2)评价估计量的标准是什么,第三节 估计量的评选标准,28,1 无偏性,无偏估计的实际意义: 无系统误差,29,30,31,例2 设总体x服从指数分布, 其概率密度为,其中参数q0为未知, 又设x1,x2,.,xn是来自x,32,证,估计量. 而z=min(x1,x2,.,xn)具有概率密度,可见一个未知参数可以有不同的无偏估计量,33,有效性,xn)都是q 的无偏估计量, 若对于任意qq,