向量易错题带答案

1、uuuu2PM ,则1. 在 ABC中,M是BC的中点，AM=1点P在AM上且满足学 AP uuu uuu uuuPA (PB PC)等于2.已知向量a(1,2),（2, 3）.若向量c满足（ca)/b , c(ab），则3.()(7 7)(9,3)uuuu 已知| AB |3, 84.设向量auuur| AC|(7, 7) C39uuiu5,则|BC |的取值范围是(B、(3, 8)C、3, 13(3,(xi, yi),b13)AC、5.充要充分不必要 下列命题：（X2, y2），则1上是 a/ b 的X2y2、必要不充分、既不充分也不必要）条件。(a)2 2 |a|4(a b) c (a

2、c) b | a-b|=|a| | b|若 a / b ,b / c,则a / ca / b，则存在唯一实数入，使b a若a c be,且c工o,则a b 设巴是平面内两向量，则对于平面内任何一向量a，都存在唯一一组实数x、y，使a xq ye?成立。若 | a + b |=| a b | 贝U a b =0。真命题个数为()1B、2 a b =0,贝U a =0 或 b =0C、3D 3个以上6.和a = （3, 4）平行的单位向量是7.ura b已知向量pL ,|a| |b|其中a、rub均为非零向量，则|p|的取值范围8 .若向量 a = x, 2x , b =是.3x,2，且a , b

3、的夹角为钝角，贝U x的取值范围uuruuu9 .在四边形 ABC冲，AB =DC = (1, 1),uuu uuu BA BC uuu BC_uuur、3BDuuuBD,则四边形ABCD勺面积是10. AABC中，已知 AB AC 0 , BC AB 0 , CB CA 0，判断 ABC的形状为.11. 向量a、b都是非零向量，且向量a + 3b与7a b垂直，a 4b与7a b 垂直，求a与b的夹角.12. a (1 cos ,sin ),b(1 cos ,sin ), c (1,0),(0, ),( ,2 )，a与c的夹角为B 1， b与c的夹角为B 2,且12,求sin 的值.3213

4、. 设两个向量e1， e2，满足|e1|= 2， |e 2| = 1， e1与e2的夹角为3 .若向量 2te1 + 7e2与e1 + te2的夹角为钝角，求实数t的范围.14 .四边形 ABCDK AB = a, BC = b，CD = c, DA ，且 ab =bc = cd = da，试问四边形 ABCD!什么图形？15. 如图，在Rt ABC中，已知BC=a若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角 取何值时BP CQ的值最大并求出这个最大值16. 已知常数a0，向量c= (0，a)，i= (1，0)，经过原点O以c+入i为方 向向量的直线与经过定点 A (0, a)以i 2

5、入c为方向向量的直线相交于点 P,其中入 R.试问：是否存在两个定点 E、F,使得|PE|+|PF|为定值.若存 在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.17. 已知a是以点A(3,-1)为起点，且与向量b= (-3,4)平行的单位向量， 则向量a的终点坐标是多少18. 已知 R(3,2) , P2 (8, 3),若点 P在直线 RP上，且满足 |P1P|=2|PP2| , 求点P的坐标。uuu umr uuur uu uuu uur19 .在边长为1的正三角形ABC中，求ABgBC BCgCA CAgAB的值.20已知同一平面上的向量a、b、5两两所成的角相等，并且|a| 1,|b| 2

6、,| c | 3，求向量a b c的长度。参考答案1. A【解析】【错解分析】不能正确处理向量的方向导致错选为Duuu uuuuuur uuuujuuuuuruuruuuuiPC)=2APPM=2cos0 2 -3由AP 2PM知,p为 ABC的重心,根据向量的加法,PB PC 2PMuuu uuu【正解】AP (PBuuu uuu 则 AP (PBuuuruuruuuu uuruuur2PC)=2APPM=2APPMcos0 2 - 3uun uuuuumuuu uuuumr4PA (PBPC)AP (PBPC)-故选 A 。9，2. D【解析】【错解分析】由于混淆向量平行与垂直的条件，即非

7、0向量rrabx1y2 x2y! 0， a b%x2 y1y2 0，而不能求得答案。【正解】不妨设C (m, n)，则ar b r a n 2 m,(3, 1),对于 c a /b ,r r r77则有 3(1 m) 2(2 n);又 c a b，则有 3m n 0，则有 m -,n-，93故选D。【点评】此题主要考查了平面向量的坐标运算， 通过平面向量的平行和垂直关系 的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用.3. C【解析】【错解分析】对题意的理解有误，题设条件并没有给出A、B、C三点不能共线,因此它们可以共线。当 A B C共线时， ABC不存在，错选D【正解】因为向

8、量减法满足三角形法则，作出|AB| 8，|AC| 5，BC AC AB(1)当厶ABC存在，即A、B、C三点不共线时，3 |BC| 13 ;(2)当AC与AB同向共线时，|BC| 3 ；当AC与AB反向共线时，|BC| 13 |BC|【3, 13】，故选 Co4. C【解析】【错解分析】a/b x1y2 x2y1 0 jX1 也，此式是否成立，未考虑，选A。X2 y2【正解】若 竺 乂则x2 X2yi 0, a/b，若all b，有可能x?或y?为0,故 X2 y?选Co5. B【解析】【错解分析】共线向量、向量的数乘、向量的数量积的定义及性质和运算法则等 是向量一章中正确应用向量知识解决有关

9、问题的前提，在这里学生极易将向量的运算与实数的运算等同起来，如果认为向量的数量积的运算和实数一样满足交换 律就会产生一些错误的结论。r r r 2【正解】正确。根据向量模的计算 a?a a判断。 错误，向量的数量积的运算不满足交换律，这是因为根据数量积和数乘的定义（a c） b表示和向量b共线的向量，同理（a b） c表示和向量c共线的向量，显然向量b和向量c不一定是共线向量，故（a b） c （a c） b不一定成立。 错误。应为a?b a b 错误。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有传递性。 错误。应加条件“非零向量a” 错误。向量不满足消去律。根据数量的几何意义，只需向量b

10、和向量b在向量c方向的投影相等即可，作图易知满足条件的向量有无数多个。 错误。注意平面向量的基本定理的前提有向量 0,是不共线的向量即一组基 底。 正确。条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等，即四边形为矩形 故 a b =0o 错误。只需两向量垂直即可 综上真命题个数为2,故选B【点评】在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时，一定要明确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答， 要明确向量的运算和实数的运算的相 同和不同之处。一般地已知a,b,c和实数入，贝U向量的数量积满足下列运算 律：ab = ba （交换律）购（入a） b = （ab）=a（入b） （数乘结合律）（a

11、+ b ）c = ac + bc （分配律）6. (- 3，5【解析】rr1 r3【错解分析】因为a的模等于5,所以与a平行的单位向量就是-a，即(3 ,55【正解】因为a的模等于5,所以与a平行的单位向量是或(-3，5【点评】平行的情况有方向相同和方向相反两种。读者可以自己再求解“和a= (3, 4)垂直的单位向量”，结果也应该是两个。7. ,2】【解析】【错解分析】本题常见错误五花八门，错误原因是没有理解向量的模的不等式的 性质。【正解】,分别表示与a、b同向的单位向量,aba| bb13-,343a b a b8.【解析】【错解分析】只由a,b的夹角为钝角得到a b,而忽视了 a b不是

12、a,b夹角为钝角的充要条件,因为a,b的夹角为18时也有a b ,从而扩大x的范围，导致错误【正解】a , b的夹角为钝角，2a b x 3x 2x 2 3x 4x 解得x 或x -(1)3又由a,b共线且反向可得x13(2)由(1),(2)得x的范围是114-,-,3339. 3【解析】mmuuuBA BC【错解分析】不清楚-mum 皆 与/ ABC的角平分线有关，从而不能迅速找到 BA BC解题的突破口，不能正确求解。【正解】由题知四边形ABCD是菱形，其边长为2，且对角线BD等于边长的.3倍，所以cosABD10锐角三角形【解析】【错解分析】T BC AB 0，. |BC| |AB| c

13、osB 。/ B为钝角，二 ABC为钝角三角形。错将BC与AB的夹角看成是 ABC的内角B,向量BC与AB的夹角应为 B【正解】 AB AC |AB | |AC | cos A ；BC AB | BC | | AB | cos B |BC| |AB | cosB Cb CA |CB | |CA | cosC? 0AB AC 0, BC AB 0, CB CA 0cosA 0 cosB 0 cosC 0 A、B、C均为锐角。 ABC为锐角三角形。11.60o【解析】【错解分析】由题意，得(a + 3b)g7a b) 0，(a b)g7a b) 0，将、展开并相减，得46agp二b2，1T b ，

14、故 a = b，将代入，得a2 b2，b设a与b夹角为，则cos 黑sin |a|gb|b 6 0o 180o，二60.【正解】设向量a、b的夹角为，由题意，得（a + 3b）g7ab） 0， (a b)g7a b) 0，将、展开并相减，得46a中二b2，有2ag）二b2，代入式、式均可得a2b2，则 a b，ago1cos；-.|a|gb| 2又 0o o，二60o.【点评】错解中解法表面上是正确的，但却存在着一个理解上的错误，即由得 到，错把数的乘法的消去律运用在向量的数量积运算上. 由于向量的数量积不 满足消去律，所以即使b ，也不能随便约去.12.【解析】【错解分析】此题在解答过程中，

15、学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来, 注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结 论。【正解】r22a (2 cos,2 s in cos) 2cos(cos,s in ), b (2s in,2s incos)2 2 2 2 2 2 2 2 22si n 刁(si n ,cos ?) Q (0,),(,2),(-,),故有| a | 2cos | b |22sin cos22cos2 22 s o c2Sin I2si n2|a| |c|2cos 2cos ,2sin , 02 2【点评】当今高考数学命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交汇性，向量是新课程

16、新增内容，具有代数与几何形式的双重身份。 它是新旧知识的一个重 要的交汇点，成为联系这些知识的桥梁， 因此，向量与三角的交汇是当今高考命 题的必然趋势。高考对三角的考查常常以向量知识为载体，结合向量的夹角、向量的垂直、向量的模或向量的运算来进行考查学生综合运用知识解决问题的能 力。13- 7t - 2 且t V【解析】【错解分析】T 2tei + 7e2与ei + te2的夹角为钝角，(2te i + 7e2) (e i + te 2)0，2i 2t + 15t + 70,解之得：7t -21t的范围为(一7，丄).2【正解】T 2te i + 7e2与ei + te 2的夹角为钝角，- (2

17、te 1 + 7e) (e 1 + te 2)0 且 2te 1 + 7氏工入(e 1 + te 2)(入 0).t (2te 1 + 7e2) (e 1 + te 2)0 得 2t + 15t + 70， - 7t 右 2te 1+ 7e2 =入(e 1 + te 2)(入 0)，-(2t 入)e 1 + (7 t 入)e 2 = 0.2t7 t0，即t0 t的取值范围为：一7t0且a, b 不同向；B为直角 a b=0;B为钝角 a b0且a b不反向.2te 1 + 7e 与 e1 + te2 的夹角为钝角?(2te 1 + 7e2) (e 1+ te2)0.14.四边形ABCD是矩形【

18、解析】【错解分析】四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四 边形的边角量，易忽视如下两点：(1)在四边形中，AB，BC，CD，DA是顺 次首尾相接向量，贝U其和向量是零向量，即a + b + c + d=0，应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定 义式中含有边、角两种关系。【正解】四边形ABCD1矩形，这是因为一方面：由 a + b + c + d= 0 得 a + b= (c + d)，即(a + b ) 2 =(c + d) 2即 |a|2+2ab+|b|2=|c| 2+2cd+|d|2 由于 ab =cd,.|a|+|b|=

19、|c|+|d|同理有 |a| 2+|d| 2=|c| 2+|b| 2 由可得|a| = |c|,且|b| = |d| 即四边形ABCD5组对边分别相等+四边形ABCD1平行四边形另一方面，由ab = bc，有b(a c)= 0,而由平行四边形ABCD可Wa=c,代入上式得b(2 a ) = 0即ab = 0,；a丄b也即 AB丄BC。 综上所述，四边形ABCD1矩形。【点评】向量具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中 学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够 的重视。基于这一点解决向量有关问题时要树立起数形结合，以形助数的解题思路。uuu uu

20、r15当 0时，BC CQ最大，值为0.【解析】【错解分析】本题易错点有uuu LULT2 uur uuuuuu(1) 不会利用AP AQ a2及AC AB 0这两个关系式，即没有把 BP表示为uuu ULUT uuuLULT UUUTAP AB，CQ表示为AQ AC.致使该题在运算上发生错误。(2) 在运用坐标运算过程中，未知数多，如B(b,0), C(0,c),P(x,y),Q( x, y)而a2,还有cos 的表示式忽视了这些量内在的联系b2 c2 a2, x2 y2cos空器，这些关系不能充分利用，导致运算错误auuu uur uuu uuut【正解】解法一：Q AB AC, AB A

21、C 0.故当cos 1,即uur uuuuuu uuiu0 ( PQ与 BC方向相同)时，BC CQ最大，其最大值为0.解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的 平面直角坐标系.故当cos 1,即uur uuuuuu uuiu0 ( PQ与 BC方向相同)时，BC CQ最大，其最大值为0.【点评】本小题主要考查向量的概念，平面向量的运算法则，考查运用向量及函 数知识的能力。2 1 1 2 1a22)，F(0,-(aa ?)16 存在 1 i1 2 a1 1 2 a1存在E(站a Q，F(站a刁和E(%(a【解析】【错解分析】此题综合程度较高，易错点一方面表现在学生

22、对题意的理解如对方 向向量的概念的理解有误，另一面是在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲 线的定义来解答，使思维陷入僵局而出错。【正解】根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两 定点，使得点P到两定点距离的和为定值i= (1，0)，c= (0，a)， c+ 入 i=(入，a)，i 2 入 c= (1， 2 入 a)因此，直线OP和AP的方程分别为y ax和ya 2 ax.消去参数入，得点P(x,y)的坐标满足方程y(y a)2a2x2./a、2整理得x2 (y 2)1.1(a)2因为a 0,所以得：(i )当a 时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F;(ii )

23、当0 a丄时，方程表示椭圆，焦点 E ( - a )和 F ( a )为合2 2 2 22、2 2乎题意的两个定点；(iii )当a彳时，方程也表示椭圆，E(0,-2(a a2 )和F (0, (a Ja2 )为合乎题意的两个定点【点评】本小题主要考查平面向量的概念和计算，求轨迹的方法，椭圆的方程和性质，利用方程判定曲线的性质，曲线与方程的关系等解析几何的基本思想和综 合解题能力。在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的主旋律，在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来，另一方面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题。女口：线段的比值、长度、夹角特别是垂直、 点共线等问题

24、，提高自已应用向量知识解决解析几何问题的意识。12 1189、17. ( 一，- 一)或(一，-一)5555【解析】【错解分析】本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念，从而无法解答，同时解答过程中如果不能正确转换平行条件，也是无法解答此题的。【正解】方法一设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1)，则题意可知4(x3)3( y 1)(x3)2 (y + 1)2解得12x5或185121189、955551方法二 与向量b= (-3,4)平行的单位向量是土 (-3,4),534故可得a= (-,-)，从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。5 5【点评】向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质, 注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。与a平行的单位向量e= |a|18. (匹,8 )或(13, 4)3 3【解析】【错解分析】由|P1P|=2|PP2|得，点P分P1P2所成的比为2,代入定比分点坐标 公式得P (19,8 )3 319 8【正解】当点P为P1,P2的内分点时，P分P1P2所成的比为2,此时解得(一,-)；3 3 当点P为P1, P2