三角形“四心”优美的向量统一形式

1、三角形“四心”优美的向量统一形式三角形“四心”的向量的统一形式：x是abc的心xa+xb+xc=0其中，重心的充要条件最简单，也容易证明。而内心、外心、重心的证明则比较困难，受此启发，笔者联想到既然有统一的结构，是否可以借用重心的充要条件证明其它“三心”的情况呢？因为要借用重心的向量形式来证明，所以还要给出重心的另一性质：g为abc的重心的充要条件是s=gab=sgbc=sgca= sabc.（图1）一、重心（中线交点）1.g是abc的重心ga+gb+gc=0证明：设g是abc的重心，如图2，延长ag交bc于点d.因为g为abc的重心，所以d为bc的中点，有gd= （gb+gc）且ga=-2g

2、d因此ga+gb+gd+gc=0，反之亦成立.2.设p是abc所在平面内任意一点，则pg= （pa+pb+pc）g为abc的重心证明：g是abc的重心ga+gb+gc=0 gp+ap+gp+pb+gp+pc=0 3pg=pa+pb+pc pg= （pa+pb+pc）二、内心（内角平分线交点，内切圆圆心）1.i是abc的内心aia+bib+cic=0（其中a，b，c分别为abc的三个内角a，b，c所对的边长）.证明：设i是abc的内心，如图3，作向量ia=aia，ib=bib，ic=cic连结，得到abc.因为i为abc内心，所以内心i到abc各边的距离为abc的内切圆的半径，设为r.sibc=

3、 |ib|ic|sinbic= b|ib|c|ic|sinbic=bcsibc=bc ar= abcr同理可得sibc= abcr，sica= abcr所以siab=sibc=sica= abcr，i为的重心，有ia+ib+ic=0即ala+bib+cic=0成立，反之亦成立.2.i是abc的内心（sina）la+（ainb）ib+（sinc）ic=0证明：根据i是abc的内心aia+bib+cic=0，由正弦定理得i是abc的内心（sina）ia+（subb）ib+（sinc）ic=03.设p是abc所在平面内任意一点，i为abc内心pi=证明：i是abc的内心aia+bib+cic=0 a

4、ip+aip+bip+bpb+cip+cpc=0 pi=三、外心（三边垂直平分线交点，外接圆圆心）1.p是abc外心（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0证明：设p是abc的外心，如图4，作向量pa=（sin2a）pa，pb=（sin2b）pb，pc（sin2c）pc连结a，b，c，得abc.因为p为abc外心，所以外心p到abc各顶点的距离为abc的外切圆的半径，设为r，且bpc=2a.spbc= |pb|pc|sinbpc= sin2b|pb|sin2c|pc|sinbpc=sin2bsin2c r2sin2a= r2sin2asin2bsin2c同理可得spab=

5、 r2sin2asin2bsin2c，spca= r2sin2asin2bsin2c所以spab=spab=spab spab，得p为abc的重心，有pa+pb+pc=0即（sin2a）pa+（sin2b）pb+（sin2c）pc=0成立，反之亦成立.2.p是abc的外心（acosa）pa+（bcosb）pb+（ccosc）pc=0证明：根据p是abc的外心（sin2a）pa+（sin2b）pb+（ccosc）pc=0由正弦定理得p是abc的外心（acosa）pa+（bcosb）pb+（ccosc）pc=03.设p是abc 所在平面内任意一点，o为abc的外心po=证明：o为abc的外心（si

6、n2a）oa+（sin2b）+（sin2c）oc=0（sin2a）op+（sin2a）pa+（sin2b）op+（sin2b）pb+（sin2b）op+（sin2c）pc=0po=四、垂心（高线交点）1.h是abc的垂心hahb=hbhc=hcha证明：由hahb=hbhc hb（hc-ha）=0 hbac=0 hbac同理hcab故h是abc的垂心，反之亦然.2.h是abc的垂心证明：由ha2+bc2=hb+ac2ha2-hb2+bc2+bc2-ac2=0（ha+hb+bc+ac）ba=02hcba=0 hcab同理habc，故h是abc的垂心，反之亦然.3.h是abc（非直角三角形）的垂心

7、（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0证明：设h是abc的垂心，如图5，作向量连结a，b，c，得到abc.shcb= |hb|hc|sinbhc= （tanb）|hb|（tanc）|hc|sinbhc=tanbtancshbc=tanc |bc|hd|因为h为abc垂心，所以bhd=acb，chd=abc.所以有|bd|=|hd|tanbhd=|hd|tanc|bd|=|hd|tanbhd=|hd|tanc|cd=|hd|tanchd=|hd|tanb.又因为|ad|=|bd|tanb.|ad|=|cd|tanc，所以|ad|2=|bd|cd|tanbtanc=|hd|2（t

8、anbtanc）2即|ad|=|hd|tanbtanc所以shbc= |bc|ad|=shbc同理可得shbc=sabc；shbc=sabc所以shab=shbc=shca= sabch为abc的重心，从而ha+hb+hc=0，即（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0成立，反之亦成立.4.h是abc（非直角三角形）的垂心ha+ hb+ hc=0ha+ hb+ hc=0.证明：由 =tana， =tanb， =tanc及正弦定理得h是abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）=0 ha+ hb+ hc=0ha+ hbhc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp+（tanb）pb+（tanc）hp+（tanc）pc=0再由余弦定理得h是abc的垂心ha hb hc=05.设p是abc（非直角三角形）所在平面内任意一点，h是abc的垂心pa=证明：h是abc的垂心（tana）ha+（tanb）hb+（tanc）hc=0（tana）hp+（tana）pa+（tanb）hp=（tanc）hp+（tanc）pc=0ph=向量是高中教材的重要内容之一，它具有代数和几何的“双重身份”，所以它的引入给传统的中学数学带来了无限生机和活