抽象函数对称性和周期性_第1页
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1、抽象函数的对称性与周期性一、抽象函数的对称性。性质1、若函数yf(x)关于直线xa轴对称，则以下三式成立且等价：（1）f(ax)f(ax)。（2）f(2ax)f(x)。（3）f(2ax)f(x)。性质2、若函数yf(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：（1）f(ax)f(ax)。（2）f(2ax)f(x)。（3）f(2ax)f(x)。注：yf(x)为偶函数是性质1当a0时的特例，f(x)f(x)。yf(x)为奇函数是性质2当a0时的特例，f(x)-f(x)。二、复合函数的奇偶性。性质1、复数函数yfg(x)为偶函数，则fg(x)fg(x)。复合函数yfg(x)为奇函数，则fg(

2、x)fg(x)。性质2、复合函数yf(xa)为偶函数，则f(xa)f(xa)；复合函数yf(xa)为奇函数，则f(xa)f(ax)。性质3、复合函数yf(xa)为偶函数，则yf(x)关于直线xa轴对称。复合函数yf(xa)为奇函数，则yf(x)关于点(a,0)中心对称。三、函数的周期性。性质、若a是非零常数，若对于函数yf(x)定义域内的任一变量x点，有下列条件之一成立，则函数yf(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa)，f(xa)f(x)，f(xa)1/f(x)，f(xa)1/f(x)。四、函数的对称性与周期性。性质1、若函数yf(x)同时关于直线xa与xb轴对称，则

3、函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|。性质2、若函数yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|。性质3、若函数yf(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线xb轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T4|ab|。五、复合函数的对称性。性质1、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与yf(b-x)关于直线x(b-a)/2轴对称。性质2、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与y-f(b-x)关于点(b-a)/2,0)中心对称。推论1、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与yf(ax)关于y轴轴对称。推论2、已知函数yf(x)，则复合函数yf(ax)与yf(ax)关于原点中心对称。六、巩固练习1、函数yf(x)是定义在实数集R上的函数，那么yf(x4)与yf(6x)的图象（ ）。A关于直线x5对称 B关于直线x1对称C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称2、设f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(7.5)=（ ）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.53、设f(x)是定义在（，）上的函数，且满足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，则f(x)是（ ）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数C奇函数，又是周期函数 D奇

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