不等式证明的常用基本方法(自己整理)

1、.证明不等式的基本方法导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式自主梳理1.三个正数的算术几何平均不等式：如果a，b，c0，那么_，当且仅当abc时等号成立2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当_时等号成立3.证明不等式的常用五种方法(1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是_与0比较大小或_与1比较大小(2)综合法：从已知条件出发，利用定义、_、_、性质等，经过一系列的

2、推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法也叫顺推证法或由因导果法(3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的_条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法也叫逆推证法或执果索因法(4)反证法反证法的定义先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法反证法的特点先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可

3、以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾(5)放缩法定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值_或_，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键题型一 用比差法与比商法证明不等式1.设ta2b，sab21，则s与t的大小关系是(A )A.stB.st C.st D.s0;a2+b22(a-b-1);a2+3ab2b2;,其中所有恒成立的不等式序号是.【解析】a=0时不成立;a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)20,成立;a=b=0时不成立;a=2,b=1时不成立,故恒成立的只有.

4、题型二 用综合法与分析法证明不等式4.(1)已知x，y均为正数，且xy，求证：2x2y3；(2)设a，b，c0且abbcca1，求证：abc.证明(1)因为x0，y0，xy0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因为a，b，c0，所以要证abc，只需证明(abc)23.即证：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需证明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即证：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(当且仅当abc时等号成立)成立所以原不等式成立5.已知a、b都是正实数，且ab2.求证：(12a)(1b)9.证明：法一因为a、

5、b都是正实数，且ab2，所以2ab24.所以(12a)(1b)12ab2ab9.法二 因为ab2，所以(12a)(1b)(12a)52.因为a为正实数，所以a2 2.所以(12a)(1b)9.法三 因为a、b都是正实数，所以(12a)(1b)(1aa)339.又ab2，所以(12a)(1b)9.思维升华用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，

6、开阔视野题型三放缩法证明不等式6.已知0aNB. MN C. MN D.不能确定解析：0a0,1b0,1ab0，MN0.答案：A7.若a，bR，求证：.证明当|ab|0时，不等式显然成立当|ab|0时，由0|ab|a|b|，所以.思维升华(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧常见的放缩变换有：变换分式的分子和分母，如，.上面不等式中kN*，k1；利用函数的单调性；真分数性质“若0a0，则”(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度8.设n是正整数，求证：n(k1,2，n)，得.当k1时，；当k2时，；，当kn时，0,b0,且a+b=.证明:(1)a+b2; (2

7、)a2+a2与b2+b0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a2与b2+b2同时成立,则由a2+a0得0a1;同理得0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b0，b0，且.(1)求a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得2a3b6？并说明理由【解】(1)由，得ab2.当且仅当ab时等号成立故a3b324，且当ab时等号成立所以a3b3的最小值为4.(2)由(1)知，2a3b24.由于46，从而不存在a，b，使得2a3b6.1.证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法2.应用反证法证明数学

8、命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真3.放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和4.放缩法的

9、常用措施：(1)舍去或加上一些项，如22；(2)将分子或分母放大(缩小)，如， (kN*且k1)等1.设a、b是正实数，给出以下不等式：；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2，其中恒成立的序号为( D)A. B. C. D.答案D解析a、bR时，ab2，1，不恒成立，排除A、B；ab22恒成立，故选D2.设M，则( B)AM1 BM1 DM与1大小关系不定【解析】2101210，2102210，2111210，M0，b0.则的最小值为(C)A7 B8 C9 D10【解析】因为a0，b0，所以ab330，同理可证：a2330.由及不等式的性质得339.【答案】C5.下列结论正确的是(B)A

10、当x0且x1时，lg x2 B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2 D当0x2时，x无最大值解析：当0x1时，lg x0，A错误；当x0时，22，B正确；当x2时，x的最小值为，C错误当0x2时，x是增函数，最大值在x2时取得，D错误答案：B6.若P(x0，y0，z0)，则P与3的大小关系为_ P0，1y0，1z0，3.即P3.【答案】P0，b0，ab，上述四个方案中，降价幅度最小的是_ x3x1x2x4_解析：设降价前彩电的价格为1，降价后彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.则x1(1a%)(1b%)1(ab)%a%b%x2(1b%)(1a%)x1，x31(ab)%(ab)%2，x41(ab)%0，x3x1x2x4.8.已知两正数x，y满足xy1，则z的最小值为_【解析】zxyxyxy2，令txy，则0txy.由f(t)t在上单调递减，故当t时f(t)t有最小值，所以当xy时，z有最小值.【答案】9.求证：2(nR*)证明 ，1(1)()()1(1)20，b0，1ab2，ab，令abt.令yabt，y1，t，16.y0，yt在(0，单调减y44，即ab4.(2)猜想：当ab 时，不等式a2b2