定积分的概念PPT演示文稿

1、1,引 言,从历史上说,定积分的概念产生于计算平面上封闭曲线围成区域的面积.为了计算计算这类区域的面积，最后把问题归结为计算具有特定结构的和式的极限.人们在实践中逐渐认识到这种特定结构的和式的极限,不仅是计算区域面积的数学工具,而且也是计算其它许多实际问题(如变力作功、水的压力、立体体积等）的数学工具.因此,无论在理论上或实践中,定积分这种特定结构的和式的极限具有普遍意义.于是它成为数学分析的重要组成部分. 本章就从解决曲边梯形面积计算入手,给出定积分的概念,讨论定积分的性质和计算等问题,Chapt 8. 定积分,2,背景来源面积的计算,在初等几何中，我们只会计算由直线段和圆弧围成的平面区域的

2、面积,长方形 长宽 ab 正方形 边长边长 aa 平行四边形 底高 ah 三角形 底高2 ah2 梯形 （上底下底）高2 （ab）h2 圆，扇形等,3,如何计算由任意形状的闭曲线所围成的平面区域的面积？这是一个一般的几何问题，这个问题只有用极限的方法才能得到圆满的解决,4,一条封闭曲线围成的平面区域，常常可用相互垂直的两组平行线将它分成若干部分，总的说来，他们可以看作以下三类区域： (1)是矩形(已知的)，(2)是曲边三角形(曲边梯形的特殊情况)，(3)是曲边梯形。 所以，只要会计算曲边梯形的面积就可以了. 曲边梯形面积的计算问题就产生了定积分,5,实例1: （求曲边梯形的面积,一、问题的提出

3、,8.1 定积分的概念,图形,我们如何求曲边梯形的面积A=,6,圆面积是用一系列边数无限增多的内接（或外切）正多边形面积的极限来定义的,在初等数学里,现在我们仍用类似的办法来定义曲边梯形的面积,这里我们借助矩形的面积来定义曲边梯形的面积,7,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积 越接近曲边梯形面积,四个小矩形,九个小矩形,基本思想(以直代曲,具体做法(如下,8,1.分割,分法任意,化整为零,在区间a,b内任意插入(n-1)个分点,称为区间a,b的一个分法(分割)，记为T,分法T将区间a,b分成n个小区间,过每个分点作x轴的垂线，这些垂线与曲线f(x)相交，相应地把大曲边

4、梯形分为 n 个小曲边梯形，其面积分别记为Ai ( i=1, 2, , n,把一个大曲边梯形分割成n个小曲边梯形,9,2.代替,化曲为直,在每个小区间 xi-1, xi 上任取一点i ，于是，以 为底， 为高的小矩形面积 应为小曲边梯形面积的近似值，即,取法任意,用小矩形的面积替代相应小曲边梯形的面积,10,3.求和,积零为整,将n个矩形面积加起来，应该是大曲边梯形面积近似值. 曲边梯形面积A的近似值为,将a,b逐次分下去，使小区间的长越来越小，则不论 怎样选取，n个矩形面积之和应该越来越趋近于曲边梯形的面积.不难看到，在任何有限的过程中，n个矩形面积之和总是曲边梯形面积的近似值，只有在无限过

5、程中，应用极限方法才能转化为曲边梯形的面积,求n个小矩形面积之和,11,4.取极限,化直为曲,于是， 就相当于分割无限加细，让每个小区间的长度都无限趋近于零,即n个小区间之长的最大者,如果当 时，n个矩形面积之和 存在极限，设,则称A是曲边梯形面积,由此可见，曲边梯形面积A是一个特定结构和式的极限. 这个定义给出了计算曲边梯形面积的方法.不过按此定义计算曲边梯形的面积，要进行复杂的运算.在后面一节中，将进一步讨论这个和式极限的计算方法,由近似值过渡到精确值,12,求曲边梯形的面积体现了化曲为直、化直为曲的辩证思想。这个计算过程，就是一个先微分后积分的过程。也就是说，把曲边梯形分割成许多小曲边梯

6、形，在每个小曲边梯形中，把曲边看成直边，用这些小“矩形”面积的和近似地表示原来大曲边梯形的面积，从而实现了局部的曲转化为局部的直，即“以直代曲,13,然后，再把分割无限加细，通过取极限，就使小矩形面积的和，转化为原来大曲边梯形的面积。这样局部的直又反过来转化为整体的曲。这种曲转化为直，直转化为曲，以及由此所反映出来的化整为零、积零为整的思想方法，是微积分乃至整个高等数学的一个重要方法,14,实例2: （求变速直线运动的路程,思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值,以恒代变,15,1)分割,3

7、)求和,4)取极限,路程的精确值,2)代替,路程的近似值,16,从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算物体运动的路程，尽管他们的实际意义完全不同，但从抽象的数量关系来看，他们的分析结构完全相同，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、 近似 求和、 取极限”，或者说都归结为形如 的具有特定结构和式极限问题。我们把这些问题从具体的问题中抽象出来，作为一个数学概念提出来就是今天要讲的定积分。由此我们可以给定积分下一个定义,17,二、定积分的定义,定义: 设函数 f (x) 在 a, b 上有定义,在 a, b内任意插入(n-1)分点 使,T = x0, x1, , xn = 1, 2, ,

8、n,将 a, b 分成 n个小区间i= xi-1, xi i=1, 2, , n 这些分点构成a, b 的一个分法(分割)，记为T,x1, , xn-1,分法任意,18,各小区间的长度依此记为xi= xi- xi-1 ,(i=1,2, ，n,在 上任取点i i , i=1, 2, , n ，作和,称此和式为 f (x) 在 a, b 上的一个积分和，也称为黎曼（Riemann）和,Rienann和,注：显然函数 f (x) 在 a, b 的积分和 与分法(割)T 有关，也与一组= (i i , i=1, , n )的取法有关,取法任意,19,记,如果不论对a,b怎样的分法(分割,也不论在小区间

9、 上，点 怎样的取法,只要 时，积分和 存在确定的有限极限,则称函数 f (x) 在 a, b 上(黎曼)可积；数 I 称为 f 在 a, b 上的定积分. 亦称黎曼积分,20,记为,且数与分法T无关，也与 在 的取法无关,21,在定积分符号中，各部分的名称如下,Rienann积分,22,注意,规定当 a= b 时,规定当 a b 时,函数f(x)在区间a,b的定积分的定义要求ab且ab,定积分没有意义，为了运算的需要,23,时必定同时有,3)一般不能用,因为,来代替,时未必有,但,唯一重要的是分割的细度,极限的存在,与分割T的形式无关，与,的选择也无关,当,足够小时,总能使积分和与某一确定的

10、数I无限接近,24,把定积分定义的,说法和函数极限的,说法相对照,便会发现两者有相似的陈述方式,因此我们也常用极限符号来表达定积分,4) 积分和的极限与函数的极限有很大的区别,积分和的极限与函数的极限之间其实有着很大的区别,然而,在函数极限,中，对每一个变量x来说,f(x)的值是唯一确定的； 由于积分和与函数f(X),分法T, 取法有关。 而对于积分和的极限而言，它不是分法T的函数，每一个 并不唯一对应积分和的一个值.它的要求条件很强，即必须是“任意分法”和“任意取法”下，各种各样的积分和都无限趋近于同一个有限常数，才能说定积分存在。这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多,25,5,不定

11、积分和定积分是积分学中的两大基本问题,定积分则是某种特殊和式的极限,求不定积分是求导数的逆运算,26,1.曲线 y = f (x) 0，直线 x = a， x = b， 所围成的曲边梯形面积可用定积分表示为,根据定积分的定义，可以看出，前面所举的两个实例，都是定积分,2.物体运动的路程s是速度函数v(t)在时间间隔 的定积分，即,27,黎曼（Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826-1866）19世纪富有创造性的德国数学家、物理学家。对数学分析和微分几何做出了重要贡献,28,举例,2,2,2,2,0,A,29,三、函数可积的必要条件,证明：（用反证法,假设函数

12、f(x)在a,b无界,对于a,b的任意分割T，必至少有一个小区间，不妨设在 函数f(x)无界,30,31,即积分和无界，从而，积分和不存在极限， 这与函数f(x)在a,b可积矛盾,32,注,函数f(x)在a,b有界仅是函数f(x)在a,b可积的 必要条件，不是充分条件,即，有的函数虽然有界，但也不可积. 例如：狄利克雷(Dirichlet )函数,X是0,1的有理函数,X是0,1的无理函数,D(x)在0,1内有界，但它在0,1不可积,33,若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，则该函数在所论区间上是不可积的,分析,34,证明,对于0,1的任意分法T,因为在0,1的有理函数与无理函

13、数是处处稠密的，所以，在每个小区间上既存在有理函数又存在无理函数. 若每个 取为无理函数，则积分和,若每个 取为无理函数，则积分和,于是，当 时，积分和不存在极限，即D(x)在0,1不可积,D(x)在0,1不可积,35,1、当 f (x) 0，定积分,的几何意义就是曲线 y = f (x) 直线 x = a， x = b， y = 0 所 围成的曲边梯形的面积,四、定积分的几何意义,36,2、当函数 f (x) 0 ， xa, b 时定积分,几何意义就是位于 x 轴下方的曲边梯形面积的相反数. 即,37,几何意义,a,b,38,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,a,b,39,40,五、小结

14、,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法,求近似以直（不变）代曲（变,取极限,3.定积分的几何意义,41,例 利用定义计算定积分,解,42,43,人物简介,黎曼（18261866） Riemann，Georg Friedrich Bernhard德国数学家，物理学家,1826年9月17日生于汉诺威布列斯伦茨， 1866年7月20日卒于意大利塞那斯加 。 1846年入格丁根大学读神学与哲学，后来转学数学， 在大学期间有两年去柏林大学就读 ， 受到 C.G.J.雅可比和P.G.L.狄利克雷的影响。 1849年回格丁根。 1851 年获博士学位 。 1854 年成为格丁根大学的讲师， 1859年接替狄利克雷成为教授,44,1851 年论证 了复变 函数 可导的 必要充分 条件（ 即柯西-黎曼方程） 。 借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础。 1853年定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。 18