双曲线性质应用参考试题

1、双曲线性质应用参考试题1.双曲线的定义已知两定点F1 （ 5, ）F2 （- 5, 0）,曲线上的点P到Fl、F2的距离之差的绝对值是6,则该曲线的方程为（Hr12.AB是某平面上一定线段且|AB|=3，点P是该平面内的一动点，满足- | :.-,则点P的轨迹是（B .双曲线的一支C 椭圆的一部分D.抛物线3.双曲线富討上的点P到点（5, 0）的距离是6,则点P的坐标是（4. A.D. ：:A . （ 8,.-）二双曲线的方程（2011?安徽）双曲线22 22x - y =8的实轴长是（B .：八1门5.（ 2002?北京）已知椭圆2-一有公共的焦点,3n?那么双曲线的渐近线方程是（A.y=

2、土爭C . X=_ 46.若k R,则k0B. AC v0I( )ACv 0, AF 0ACV0, F和9.A.已知m, n为两个不相等的非零实数，则方程2 2mx - y+n=0与nx +my =mn所表示的曲线可能是（6PX)D.10 .若双曲线的焦点为（0, 4）和（0,- 4）,虚轴长为.,则双曲线的方程为（F、2211 .若方程 x sin a- y cos a=1（OW幺2n）表示等轴双曲线，则角a的值为（B .或一12.方程2sin9 十3- 2所表示的曲线是（A .焦点在x轴上的椭圆C.焦点在x轴上的双曲线）B .焦点在y轴上的椭圆D .焦点在y轴上的双曲线13 .以坐标轴为对

3、称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2的双曲线方程是（2 2A. x - y =22 2B . y2- x2=22 2 2 2C . x - y =4或 y - x =42 2 2 2D . x - y =2 或 y - x =22 2 vV14 .方程.表示双曲线，则1+k 1 _ kk的取值范围是（)A . - 1 v kv 1B . k 0C . k0)D. k 1 或kv- 115 .方程x=|所表示的曲线是（)A .双曲线B .椭圆C.双曲线的一部分三双曲线的主要性质应用D .椭圆的一部分16.A.(2012?湖南)2 2 丄二120510,点P （2, 1）在C的渐近线上，则C的方

4、程为（D. 2 X Io17.22X-:2 a5|（2012?福建）已知双曲线的右焦点为（3, 0）,则该双曲线的离心率等于（B . 32C .14TA.22218 .（ 2011?湖南）设双曲线a-的渐近线方程为3x翌y=0 ,则a的值为（)A. 4B . 3C . 2D . 119 . （ 2010?福建）若点O和点F （- 2, 0）分另忧双曲线- 7=1 （a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右 支上的任意一点，贝U的取值范围为（）A 3-碍 +8) B . 3+2転 +8)C.2（bQ）的一条准线为（2005?安徽）已知双曲线2 a品B3C .卫22220.A.则该双曲线的离心率为D.

5、:321 .设集合P= (x, y)_!, Q= ( x, y) |x - 2y+仁0，记A=P HQ,则集合A中元素的个数有()A . 3个B . 1个C . 2个D . 4个22.双曲线C的方程为2 y=1 （a0, b0） ”是双曲线C的渐近线方程为y= 士上/的（ ）a充分非必要条件充要条件B .必要非充分条件D .既非充分又非必要条件23.=1和椭圆mb0）的离心率互为倒数，那么以 a, b, m为边长的三角形是（ ）A.锐角三角形B .钝角三角形直角三角形D.等腰三角形24.已知点F1、F2分别是双曲线;-略的左、右焦点，过2 b2F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若

6、 ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率A . （ 1, + B .e的取值范围是（的|C .)(1 , 2)(L 1+V2)25 .点P为双曲线C1：2 2J厶尸1 （占0, b0）和圆C2：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2 / PFiF2=Z PF2F1，其中F1, F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线 C1的离心率为（A .26.双曲线b24L4V3B .:C . 2D . 1:32的最小值为（a，b）的离心率为2,则)A.2丄-nF1F2的面积为(A .:227.双曲线一,28 .已知定点A、（n1）的两焦点为F1、F2, P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2 I

7、:，则 PB,且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA |的最小值是29.2008?上海)已知P是双曲线2 2.右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为=33xy=0、设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点、若|PF2|=3，则|PF1|=2 2则 PF1F2的内切30. P是双曲线 =1 ( a 0, b 0)右支上一点，Fl、F2分别是左、右焦点，且焦距为 32以圆圆心的横坐标为 .双曲线性质应用参考试题参考答案与试题解析1.已知两定点F1( 5, )A.0), F2 (- 5, 0),曲线上的点P到F1、F2的距离之差的绝对值是 6,则该曲线的方程为(1 22B. 22C

8、. 22D. 2 2-41二亠二1916亠162536 12536 1考点双曲线的定义.专题计算题.b,写出双曲线的方程.分析利用双曲线的定义判断出动点的轨迹；利用双曲线中三参数的关系求出 解答 解：据双曲线的定义知，:P的轨迹是以F1 (5, 0), F2 (- 5, 0)为焦点，以实轴长为 6的双曲线.所以 c=5, a=3,2 2 2 一b =c - a =16,2 2所以双曲线的方程为：兰_ - 丫_二1916故选A .点评 本题考查双曲线的定义：要注意定义中差的绝对值”且 差的绝对值”要小于两定点间的距离.注意双曲线中:三参数的关系.2. AB是某平面上一定线段且|AB|=3，点P是

9、该平面内的一动点，满足| i -| ：.-：,则点P的轨迹是(B .双曲线的一支C .椭圆的一部分D.抛物线考点双曲线的定义.专题阅读型.分析根据双曲线的定义(与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，差的绝对值小于两定点间的 :距离)，又由于|j - - :, 2v 3，故只有一支.解答解：I |门- | -:,且2 v 3根据双曲线的定义知：点 P的轨迹是双曲线的一支故选B点评本题考查了双曲线的定义，要注意题目中没有绝对值，故只有一支，属于基础题.2 23.双曲线丄-二二1上的点P到点（5, 0）的距离是6，则点P的坐标是（ ）169节D.（8, 土；）A .（ 8, 3 . ：

10、 ；）B .（8,- . ；）C.（8，一；） 考双曲线的定义.占八、专计算题.分 先根据双曲线的方程求得其焦点坐标，设出P的坐标，利用两点间的距离公式分别表示出|PF1|和|PF2|,利用双析曲线定义可知|PF1|- |PF2|=2a=8求得|PFi|的值，最后联立方程求得x,代入双曲线方程即可求得y解 解：根据双曲线方程可知 c= . I I 0解得：k4或kv- 4T kw- 5? k 4或kv - 4是真命题，反之是假命题 p是q的充分非必要条件 故选Ap与命题q所表示的点本题主要考查了双曲线的标准方程以及充要条件的判定，判断充要条件的方法是：判断命题 评 范围大小，再根据 谁大谁必要

11、，谁小谁充分 ”的原则，判断命题p与命题q的关系.)2 2C. x -y =2 2D. y2- x2=187.中心在原点，且过（0, 3）的等轴双曲线方程为（2 2 2 2A . X2-y2=9B . y2- x2=9考点双曲线的标准方程.专题计算题.分析 设出等轴双曲线的方程，把双曲线经过的点的坐标代入方程，求出待定系数，进而得到所求的双曲线的方 :程.解答 解：设等轴双曲线方程为 y2-x2=a,:把（0, 3）代入方程得：a=9,所求的等轴双曲线方程为 y2 - x2=9 ,故选B .点评本题考查等轴双曲线方程的特征，应用待定系数法求方程.&关于x, y的方程Ax2+Cy2+F=0的图形

12、是双曲线的充要条件是（）A. AC0B . AC v 0C. ACv 0, AF 0D. ACv0, F和考点：双曲线的标准方程.专题：探究型.，利用分母异号和可求.分析：方程可化为：解答：丫 ,解：方程可化为：一一 =1k C AC v 0, F老时，方程Ax2+Cy2+F=0的图形是双曲线故选D.点评：本题以方程为载体，考查双曲线的标准方程，关键是化为标准方程的形式.9.已知m, n为两个不相等的非零实数，则方程mx - y+n=0与nx2+my2=mn所表示的曲线可能是（）考点 双曲线的标准方程；直线的一般式方程.专题规律型.分析解答方程mx - y+n=0 定表示直线，方程 nx2+m

13、y2=mn，如果m, n同正，则表示椭圆，如果一正一负，则表示双 曲线，从而可得结论.解：方程mx - y+n=0表示直线，与坐标轴的交点分别为（0, n）,（ , 0）若方程nx2+my2=mn表示椭圆，则m, n同为正，v 0,故A, B不满足题意；r若方程nx2+my2=mn表示双曲线，则 m, n异号，.丄-11,故C符合题意，D不满足题意故选C点评 本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，判断曲线的类型是关键，属于基础题.10.若双曲线的焦点为（0, 4）和（0,- 4）,虚轴长为，则双曲线的方程为（考点双曲线的标准方程.专题计算题.分析根据双曲线的性质c2=a2+b2，由焦点，

14、虚轴长是4. 1,分别求出半焦距c和半虚轴b,即可求出半实轴a的值, :然后根据焦点在y轴上，从而求得的双曲线标准方程.解答解：根据题意可知2c=8, 2b=4二解得c=4 , b=2.；根据双曲线的性质可得 a2=c2 - b2=4:又双曲线的焦点为（0, 4）和（0，- 4）双曲线在y轴上2 2双曲线的标准方程为-兰一二1412故选B点评此题考查学生掌握双曲线的性质，会利用待定系数法求双曲线的标准方程，是一道基础题.2 211 .若方程x sin a- y cos a=1 （0w a 2 n）表示等轴双曲线，则角a的值为（C .卫或4或B普或考点：双曲线的标准方程.专题：计算题.分析：利用

15、等轴双曲线的定义，可得sin a=cos a,所以tan a=1，结合0 0. sin 0- 2 v 0,2 2方程.7. 一 1所表示的曲线是：2sin0 +3 sin9 2表示焦点在x轴上的双曲线，故选C.点评：本题考查双曲线的标准方程的特征，正弦函数的值域，利用好曲线的标准形式，是解题的关键.2的双曲线方程是（）2 2B . y2- x2=2r22亠22D . x - y =2 或 y - x =213. 以坐标轴为对称轴、渐近线互相垂直、两准线间距离为2 2A. x - y =2c22亠22C. x - y =4或y - x =4 考 双曲线的标准方程.占八、专计算题.分首先根据焦点在

16、不同的坐标轴上分别设出双曲线的方程，然后由焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y=:x,析-I2准线方程为x= 土卫，焦点在y轴上的双曲线的方程为c列出方程组分别解之即可.准线方程为y=2:，且均有性质Cc2=a2+b2，则解答解：若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为y=x，准线方程为ax= _ 因为它的渐近线方程为解得 a2=b2=2,所以焦点在x轴上的双曲线的方程为同理设焦点在y轴上的双曲线的方程为 三-三二1,所以焦点在y轴上的双曲线的方程为匚亠2 2-12 2r2 2因此满足要求的双曲线的方程为去一-工一二12 2或2 2=1故选D .点本题主要考查焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程及性

17、质，同时考查解方程组的能力，此题要注意分别设 评 在x轴和y轴上的双曲线方程进行解答.属于基础题.? 214. （理科做）方程 丄口一二1表示双曲线，则k的取值范围是（）1+k 1 _ kD. k 1 或kv - 1A . - 1v kv 1B . k 0C. kN）考点：双曲线的标准方程.专题：计算题.分析：根据双曲线的标准方程，可得只需k+1 与 1- k只需异号即可，则解不等式（k+1）（ 1- k）v 0即可求解.解答：解：由题意知(k+1)( 1 - k)v 0,即(k+1)( k- 1) 0解得k 1或k v- 1.故选D.点评：本题主要考查了双曲线的定义，属基础题，解答的关键是根

18、据双曲线的标准方程建立不等关系.15. 方程x=：|所表示的曲线是（）A .双曲线B .椭圆C .双曲线的一部分D .椭圆的一部分考点 双曲线的标准方程.专题计算题.分析方程两边平方后可整理出双曲线的方程，由于x的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个双曲线的:一部分.解答| 2口 解：- 1两边平方，可变为y2-号=1 （xN）,表示的曲线为双曲线的一部分；故选C.点评 本题主要考查了曲线与方程.解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想.16.A.2 2-二=1205（2012?湖南）已知双曲线的焦距为10,点P （2, 1）在C的渐近线上，则C的方程为（2二=120亠-二=120

19、80考点： 专题： 分析：解答:解：双曲线C:工1=1的渐近线方程为厂+直双曲线的简单性质；双曲线的标准方程. 计算题.2 2利用双曲线C:二-工_=1的焦距为10,点P （ 2, 1 ）在C / b 2 岂字=1的右焦点为（3, 0）,则该双曲线的离心率等于（ / 5的渐近线上，可确定几何量之间的关系，由此可求双曲线的标准方程.双曲线C ：=-=_=1的焦距为10,点P （2, 1 ）在C的渐近线上2 .2a b 2c=10, a=2bT c2=a2+b22 2a =20 , b =52 2C的方程为2 -仝二1205故选A.17.（2012?福建）已知双曲线点评：本题考查双曲线的标准方程，

20、考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线的几何性质是关键.A.考点：双曲线的简单性质.专题：计算题.分析：22根据双曲线兰=1的右焦点为5解答:3, 0），可得a=2,进而可求双曲线的离心率.2X2 y5解：双曲线的右焦点为（3, 0）,-a +5=9- a2=4a=2* c=3一2 &匕卡故选C.点评：本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，正确运用几何量之间的关系是关键.2 218.（ 2011?湖南）设双曲线的渐近线方程为3x翌y=0,则a的值为（）a 勺A . 4B . 3C . 2D . 1 考点：双曲线的简单性质.专题：计算题.分析：.先求出双曲线；7.- 的渐近线方程，再求a

21、的值.a 解答:22解：X三严1宫0的渐近线为y=2 a9 y=土丄占3x2y=0重合，a-a=2.a故选C.点评:本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的灵活运用.19.（ 2010?福建）若点O和点F （- 2, 0）分别是双曲线-（a0）的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 耳.-=的取值范围为（）A .归-切”B . 3+2 転 +8） C ._q）D .马住） 考双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算. 占八、专计算题.先根据双曲线的焦点和方程中的b求得a,则双曲线的方程可得，设出点P,代入双曲线方程求得 yo的表达式，根据P, F, O的坐标表示出-p,进而求得I

22、 -：的表达式，利用二次函数的性质求得其最小值，则的取值范围可得.解解：因为F （ - 2, 0）是已知双曲线的左焦点，答卫 m口所以a2+1=4，即a2=3，所以双曲线方程为- y2-l,3因为 1- : :,-v. I设点 P (X0, y0),22则有 灯gA屈，解得y02_1 (円)i . iH |-|i4 X n所以 0吓二逊（切+2）+y=xo （xo+2） +号-1此二次函数对应的抛物线的对称轴为垃-1,so 4因为叱佰所以当时,取得最小值|x3+sV5 -心恥，故的取值范围是匸-+ I故选B.点 本题考查待定系数法求双曲线方程，考查平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与

23、最值等，考查了 评同学们对基础知识的熟练程度以及知识的综合应用能力、运算能力.20.2005?安徽）已知双曲线A.:B .:2C.T考点双曲线的简单性质.专题计算题.分析由双曲线的一条准线为解答解：由题意可知,23e=一h故选D.点评- y=l（30）的一条准线为a则该双曲线的离心率为（D.可以得到J ：二号，解得a2=3，或孑二-号（舍去）本题考查双曲线的离心率，解题时注意审题.，由此可以求出该双曲线的离心率21.设集合 P= (x, y) I、:. -1, Q= ( x, y)A . 3个B . 1个|x- 2y+仁0，记A=P QQ,则集合A中元素的个数有（C . 2个D . 4个考点：

24、交集及其运算；双曲线的简单性质.专题：计算题.分析：求出集合p与Q表示的直线与双曲线的位置关系，即可得到集合A中元素的个数.解答：、？ n1解：由于直线x - 2y+1=0与双曲线专-y =1的渐近线y节x平行，所以直线与双曲线只有一个交点, 故选B .A的元素的个数，是解题的关键.点评：本题是基础题，考查双曲线的渐近线与直线的关系，从而推出集合22.双曲线C的方程为(a0, b0) ”是 双曲线C的渐近线方程为y=一” 的( aA .充分非必要条件C.充要条件B .必要非充分条件D .既非充分又非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；双曲线的简单性质. 专题：综合题.分析：判断充

25、分与必要的条件关系，关键是看题设与条件能否互推，此题双曲线的双曲线是不唯一的，从而进行求解.解答：22解：双曲线C的方程为丄-工一二1 (a0, b0) ”2 12a b根据双曲线C的渐近线的定义可得：y=b工;C的渐近线方程为土上富a双曲线C的方程为竺-疋一二1 (a0, b0) ?双曲线C的渐近线方程为y=若双曲线C的渐近线方程为y= +丄.产土Jx;_ a 2a2a双曲线2耳-423 (4b) 2C的方程还可以为:2：二1k 2 2 -双曲线C的渐近线方程为y= 士一丄推不出双曲线C的方程为-.&a2 b22 2y=丄的充分不必要条件;a双曲线C的方程为 毛-冬二1 (a0, b0) ”

26、是 双曲线C的渐近线方程为 故选A.点评：此题是一道基础题，主要考查充分条件和必要条件的定义，不过这类基础题也是高考中经常考的.解答解：双曲线2 2Z_ -乙=1和椭圆2 22=1 (a 0, mb0)的离心率互为倒数，所以m2 b所以b2m2-a2b2 - b4=o即m2=a2+b2，所以以a, b, m为边长的三角形是直角三角形. 故选C.点评 本题是中档题，考查椭圆与双曲线基本性质的应用，三角形形状的判断方法，考查计算能力.24.已知点F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点，若 ABF2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A.

27、( 1, + B .C. (1 , 2)D . （1，1+逅）考双曲线的简单性质；双曲线的应用.占八、专计算题. 题分析解答由过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于 A、B两点可知 ABC为等腰三角形，所以 ABF2为锐角三角形只要 / AF2B为锐角即可，由此可知 丄C2叱，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围.a解：由题设条件可知 ABC为等腰三角形，只要/ AF2B为锐角即可，2所以有一二.”，即 2acc2- a2,解出 e . _ 1,a故选D.点本题考查双曲线的离心率和锐角三角形的判断，在解题过程中要注意隐含条件的挖掘. 评2 225.点P为双曲线ci：令-牛1冷0, bQ)和

28、圆C2：a2 b2x2+y2=a2+b2的一个交点，且2 / PFiF2=Z PF2F1，其中F1, F2为双曲线C1的两个焦点，则双曲线 C1的离心率为()A .打；B .C .八7考双曲线的应用.占八、专计算题.由题意：PF1 丄PF2，且 2/ PF1F2=Z PF2F1，故/ PF1F2=30 / PF2F1 =60 设 |PF2|=m，贝U |PF1|=Jm, |F1 F2|=2m.由e=能求出双曲线的离心率.解 解：由题意： PF1 丄 PF2，且 2 / PF1 F2= / PF2F1,答 / PFiF2=30 / PF2F1=6O :设 |PF2|=m,则 |PFi|=_ ；m

29、,|FiF2|=2m.2c 二 iFil =血2a iPFj I - 旧卩故选C.点 本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，灵活运用双曲线的性质，合理地进行等价转化. 评26.2 2双曲线r _ -7=1 (a，b，l) a2 b2的离心率为2,则的最小值为（/3B. -；.；C. 2D. 1:3YA.考点双曲线的应用.专题计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程.分析2 2根据双曲线2 1 2 1a b（a,b羽）的离心率为2,可得a, b的关系，代入卑旦化简，禾U用单调性，即可V3a求得的最小值.解答2 2解：双曲线斗-J二1 （a,b）的离心率为2,a2 b2- b2=3a23a|在

30、1, + a）上单调增a厂：迥 3故选A.点评 本题考查双曲线的几何性质，考查函数的单调性，正确运用双曲线的几何性质是关键.27.双曲线- /, ( n1)的两焦点为Fl、F2, P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2 |:，则 PTLF1F2的面积为()A . 1B . 1C. 2D. 42 考点双曲线的应用.专题计算题.分析 设F1、F2是双曲线的左右焦点，然后得到两个关于|PF1与 |PF21的等式，然后分别求解，最后得出|PF1|PF2|=2:，解出结果.解答 解：不妨设F1、F2是双曲线的左右焦点，:P为右支上一点，|PF1|- |PF2|=2 i |PF1|+|PF2|=2W,由解得：|PF1|=】|PF2|= |- n,222得：|PF1| +|PF2| =4n+4=|F1F2| ,二 PF1 丄 PF2,又由分别平方后作差得：|PF1|PF2|=2,故选B点评 本题考查双曲线的应用，通过设出双曲线的焦点，建立等式，并求解，本题考查