勾股定理知识点梳理.

1、勾股定理知识点梳理1直角三角型有哪些特殊的性质 ；角，直角三角型的两锐角互余；边，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，用符号表示：在Rt ABC中，a2 bC2 ；面积，两种计算面积的方法。2. 如何判定一个三角形是直角三角形呢？有一个内角为直角的三角形是直角三角形；两个内角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长为 a、b、c满足a2 .b2二c2，那么这个三角形是直角三角形3 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理； 联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。4.互逆命题的概念这样的两个命题叫做互逆a

2、2 b c2 中，a , b , c 为如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 5.勾股数能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即 正整数时，称a , b , c为一组勾股数记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25 , 8,15,17 ；9,40,41 等6.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出

3、等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法4 S：;. - S正方形 EFGH = S正 方形 ABCD，1 2 24 2ab (b-a)，化简可证.方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S =4 -ab c2ab c22大正方形面积为 S =(a b) = a ，2ab亠b所以 a2b2 二c2方法三:1 1 122(a b) (a b)，弘形=2S Ade Sb2 2ab討，化简得证bC典型例题类型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC中，/ C=90已知 a=6,c=10，求 b,(2)已知 a=40, b=9，求 c

4、；(3)已知 c=25, b=15，求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾 股定理的变形使用。举一反三?【变式】：如图/ B=Z ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少？类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，丄.,二_ .求：BC的长.A思路点拨：由条件想到构造含 角的直角三角形，为此作 二于 D,则有BD = -AB52，再由勾股定理计算出出BC的长.举一反三 【变式1】如图，已知:P.求证：.ZC = 90 AM = CM MP LAB 于AD、DC的长，进而求【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90,Z A=60

5、, AB=4, CD=2。求：四边形 ABCD的 面积。AC类型三：勾股定理的实际应用(一)用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东 60方向走了一到达B点，然后再沿北偏西30方向走了 500m到达目的地C点。(1) 求A、C两点之间的距离。(2) 确定目的地 C在营地A的什么方向。举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小i:T卅于CH.如图所示，点 D在离厂门中线0.8米处，且C

6、DXAB, 与地面交于H.(二)用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网 改造，某地有四个村庄 A、B、C D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村 庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下， 哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短， 通过利用勾股定理计算线路长, 然后进行比较，得出结论.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm, BC是上底面的直径只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.解:（提问：勾股定理

7、）AO10.77（ cm）（勾股定理）答：最短路程约为1 0.77 cm .类型四：利用勾股定理作长为而的线段5、作长为的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和1的直角三角形斜边长就是lJ-，类似地可作解析:可以把（丽）举一反三【变式】在数轴上表示 的点。为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1,以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为O类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 .

8、原命题:猫有四只脚.（正确）2 .原命题:对顶角相等（正确）3 .原命题:线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4 .原命题:角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。2 2 27、如果 ABC的三边分别为a、b、c,且满足a+b+c+50=6a+8b+10c,判断 ABC

9、的形状。，在证明中也常举一反三【变式 1】四边形 ABCD中，/ B=90, AB=3, BC=4, CD=12,AD=13,求四边总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的 要用到。形ABCD的面积。【变式2】已知： ABC的三边分别为 且m n）,判断 ABC是否为直角三角形 分析：本题是利用勾股定理的的逆定理， 证明：*广2汙-+ 2 +4 =（w? +屛尸所以 ABC是直角三角形【变式3】如图正方形 ABCD,2 2 2 2m n ,2mn,m +n (m,n 为正整数，只要证明：a2+b2=c2即可2was3 +( +4wV1E为BC中点，F为AB上一点，且 BF

10、= AB。请问FE与DE是否垂直？请说明。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4，斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程（组） 求解。举一反三 【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【变式2】直角三角形周长为 12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3,求n。思路点拨：首

11、先要确定斜边（最长的边）长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8, 15, 17B、4, 5, 6C、5, 8, 10D、8,39,40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，【变式 5】四边形 ABCD中，/ B=90, AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四边形 ABCD 的面积。类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路PQ在点P处交汇，且/ QPN= 30，点A处 有一所中学，AP= 160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪

12、18km/h，那么学校受影响的时间声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为 为多少秒？思路点拨:A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD= 100(m), BD= 60(m), CD= 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/st = 120m 十 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路 MN上沿

13、PN方向行驶时，学校会受到噪声影响， 学校受影响的时间为24秒。，若图形缺少直角条件，则可以通过作总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法 辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园， 有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+4= 7(m)设走“捷径”的路长为故少走的路长为 7 5 = 2(m)又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】4【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形

14、，这样的三角形称为单位正三角形。(1) 直接写出单位正三角形的高与面积。(2) 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多 少？(3) 求出图中线段 AC的长(可作辅助线)类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC, D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、 AC边上的点，且 DE丄DF,若BE=12, CF=5.求线段 EF的长。4、如图所示，已知ABC中，/ C=90,Z A=60思路点拨:由，十-，再找出-、-的关系即可求出 和：的值。思路点拨：现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在冋一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角