完美版圆锥曲线知识点总结

1、圆锥曲线的方程与性质1.椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点 F1、F2的距离的和等于常数2a （大于 厅店2丨）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若 M为椭圆上任意一点，则有| MF1 | |MF2| 2a。上）。椭圆的标准方程为:2 2xy2,2ab0）（焦点在x轴上）2y_2a2x笃 1 (a b 0)b2（焦点在注：以上方程中a,b的大小a b 0,其中b21两个方程中都有a0的条件，要分清焦点的位置，只要看x2 和 y2的分母的大小。例如椭圆2ynn）当m n时表示焦点在x轴上的椭圆;表示焦点在y轴上的椭圆。（2）椭圆的性质2x范围：由标准方程

2、笃a2y1知|x| a , |y| b，说明椭圆位于直线 x a ,b所围成的矩形里;对称性：在曲线方程里,若以y代替y方程不变，所以若点（x, y）在曲线上时,占八、（x, y）也在曲线上,所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，则曲线关于 y轴对称。若同时以x代替x , y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心; 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令x 0，得y b，则B1（0, b） , B2（0,b）是椭圆与y轴的两个

3、交点。同理令y 0得x a，即A（ a,0）,A（a,O）是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b , a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ；在Rt OB2F2中，|OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a , 且 |OF2 |2 | B2F2 |2 |OB2 |2，即 c2 a2 b2 ；c 离心率：椭圆的焦距与长轴的比 e 叫椭圆的离心率。：a c 00 e 1，且e越接近1, c就a越接近a，从

4、而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0 ,从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当 a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。2.双曲线(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(| PR I | PF2 II 2a )。注意：式中是差的绝对值，在0 2a IRF2I条件下；|PF, | | PF2 | 2a时为双曲线的一支；|PF2| I PF, I 2a时为双曲线的另一支(含F,的一支)；当2a |F,F2|时，| PF, | |PF2| 2a表示两条射线；当 2a I F1F21 时，|PFi IIP

5、F2II 2a不表示任何图形；两定点F1,F2叫做双曲线的焦点,IF1F21叫做焦距。(2)双曲线的性质范围：从标准方程2 2务 占 1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a bx a的外侧。即29x a , x a即双曲线在两条直线 x a的外侧。2 2对称性：双曲线 务 葺 1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点 a b22是双曲线令 牛 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。a b顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2 2务 1的方程里，对称轴是 x,y轴，所a b22以令y 0得x a，因此双曲线和x轴有两个交点 A (

6、a,0)A2(a,0)，他们是双曲线 令 1的顶点。 a b令x 0,没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。，双曲线的顶点分别是实轴的两个1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点）端点。2）实轴：线段 A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于 2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从2 2图上看，双曲线 笃 告 1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。a b 等轴双曲线：1） 定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线

7、。定义式：a b ；2） 等轴双曲线的性质：（1 ）渐近线方程为：y x ；（ 2）渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其 他几个亦成立。2 23）注意到等轴双曲线的特征b，则等轴双曲线可以设为：x y （0），当0时交点在x轴，0时焦点在y轴上。2 2注意_16921与y-92x161的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标轴也变了。3.抛物线抛物线的概念平面内与一定点 F和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线（定点F不在定直线I上）。定点F叫做抛物线的焦点，定直线 I叫做抛物线的准线

8、。2方程y 2 px p 0叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（卫，0 ），它的准线方程是 x -；2 2（2）抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：2 2 2y2px , x2py , x2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如F表:标准方程y2 2px(p O)yy22px(P O)x2(P2pyO)x22py(p O)图形1ukt咳l焦点坐标(-,0)2p(亍,o)p(o，)2p(O, 2)准线方程xP2x卫2y舟V范围x Ox Oy oy o对

9、称性x轴x轴y轴y轴顶点(O,O)(O,O)(O,O)(O,O)离心率e 1e 1e 1e 1说明：(1)通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；(2)抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；(3)注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=O 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条

10、曲线叫做方程的曲线。点与曲线的关系：若曲线 C的方程是f(x,y)=0 ，则点Po(x o,y 0)在曲线C上 f(x o,y o)=0 ;点Po(x o,y o)不在曲线 C 上f(x o,y o)丰 O。两条曲线的交点：若曲线Ci, C的方程分别为fi(x,y)=O,f2(x,y)=O,则点Po(x o,y o)是C, C2的交点 fl(xo,yo) O方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没f2(xo,yo) O. . . . 2 2 22、方程：标准方程：圆心在 c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a) +(y-b) =r圆心在坐标原点，半径为

11、 r的圆方程是x2+y2=r2一般方程：当 D2+W-4F 0时，一元二次方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为 (,)半径2 2. rDE22是.D E 4F。配方，将方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 化为(x+ ) 2+(y+ ) 2= D E - 4F4 当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-D ,-)；2 2 当D2+E2-4F V 0时，方程不表示任何图形.(3) 点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x o,y 0)，则丨MC| V r 点M在圆C内，丨MC| =r 点M在圆C上,MCI r点 M在圆 C内，其中丨 MC|=

12、（x0-a）2 （y0 -b）2。有两个公共点；直(4) 直线和圆的位置关系：直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d Aa Bb CVA2 B2与半径r的大小关系来判定。三、圆锥曲线的统一定义：平面内的动点 P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线I的距离之比是一个常数e(e 0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数 e称为离心率。当0v ev 1时，轨迹为

13、椭圆；当 e=1时，轨迹为抛物线；当 e 1时，轨迹为双曲线。四、椭圆、双曲线、抛物线:定义椭圆1 .到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F 1F2I)的点的轨迹2 .与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1)双曲线1. 到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1)抛物线与定点和直线的距离相等的点的轨迹轨迹条件点集：（M I I MF+ I MF I=2a, I F 1F2 I V 2a.点集：M| I MF I - I MF I .= 2a, I F2F2 I 2a.点集M I I MF I =点M到直线I的距离.图形17i丫is方 程标准方程2 25 1(

14、 a b0) ab2 2 XyP Z_1(a0,b0)aby22 px参数方程x a cos y bsi n（参数为离心角）x asec y bta n（参数为离心角）2x 2 pt (t为参数) y 2pt范围a x a, b y b|X|a , y Rx 0中心原点0( 0, 0)原点0(0, 0)顶点(a,0), ( a,0),(0,b) , (0, b)(a,0), ( a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴； 实轴长2a,虚轴长2b.X轴焦占八 、八、Fi(c,0), F2( c,0)F1(c,0), F2( c,0)F&0)准线2亠a x= 土 c准线

15、垂直于长轴，且在椭圆外2亠a x= 土 c准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-卫2准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等.焦距2c (c= Ja2 b2)1 2 .22c (c=a b )离心率e c(0 e 1)ae -(e 1) ae=1【备注1】双曲线:等轴双曲线：双曲线 X2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y x，离心率e 、2 .共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴， 实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线2 y b2互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线:2 X2 a共渐近线的双曲线系方程:2 X2 a2牛 （0）的渐近线方程为2話0如果双曲线的渐近线为2

16、它的双曲线方程可设为 乞2 a2b2(0).【备注2】抛物线：(1)抛物线y2 =2px(p0)的焦点坐标是(E ,0)，准线方程x=-，开口向右；抛物线 y2 =-2px(p0)的焦点坐 2 2，准线方程x=P，开口向左；抛物线 x2 =2py(p0)的焦点坐标是(0,卫)，准线方程y=-卫 ，开2 2 2标是(-,0)2口向上；抛物线x2=-2py ( p0)的焦点坐标是(0,-)，准线方程y=，开口向下2 2(2)抛物线y2=2px(p0)上的点M(xO,yO)与焦点F的距离 MFp2X。；抛物线 y =-2px(p0)上的点 M(xO,yO)与焦点F的距离MFXo(3)设抛物线的标准方

17、程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为-，顶点到准线的距离卫，焦点2 2到准线的距离为 p.(4)已知过抛物线2y =2px(p0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2),则弦长AB=x,x2 +p 或 AB兰(a为直线AB的倾斜角)，y2sin2p2, NX?, AF4Xi2叫做焦半径).五、坐标的变换:(i)坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程(2)坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单

18、位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平 移，简称移轴。(3)坐标轴的平移公式：设平面内任意-中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点点M,它在原坐标系xOy中的坐标是(x,y)，在新坐标系O在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则x h或y k yO, yhk叫做平移(或移轴)公式(4)中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表:方程焦占八、八、焦线对称轴椭圆(x-h)2 |(y-k)2=12.21ab( c+h,k)2,a - x= +hcx=hy=k(x-h)2 +(y-k)21.2 2 =1 ba(h, c+k)2,a , y= +k cx=hy=k双曲线(x-h)2(

19、y-k)2 =1( c+h,k)2丄a,x= +kcx=hy=k2.2ab(y-k)2(x-h)2 -2 . 2 1 ab(h, c+h)2,a , y= +kcx=hy=k抛物线2(y-k) =2p(x-h)(-+h,k)2x=- +h2y=k2(y-k)=-2p(x-h)(-+h,k)2xP +h2y=k(x-h) 2=2p(y-k)(h,卫 +k)2y=- +k2x=h2(x-h) =-2p(y-k)(h,-& +k)2=卫+k2x=h六、椭圆的常用结论:1. 点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的外角.2. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是

20、以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切5.若Po(xo, yo)在椭圆2 X -2 a2占 1上，则过F0的椭圆的切线方程是bayoyb21.6.若Po(Xo,yo)在椭圆2X2ab 1外，则过R作椭圆的两条切线切点为P、Pa,则切点弦PP的直线方程是XoX2ayoyb21.7.2椭圆ab2(a b 0)的左右焦点分别为Fi, Fa,点P为椭圆上任意一点F1PF2，则椭圆的焦点角形的面积为S F1PF2b2 tan .22b2(a b 0)的焦半径公式8. 椭圆耸aIMF1Iaexo,IMF2|

21、 aexo(F,c,0) ,F2CO)M(Xo,y。).9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于 M N两点，贝U MFL NF.10. 过椭圆一个焦点 F的直线与椭圆交于两点 P、Q, Ai、A为椭圆长轴上的顶点，AP和AQ交于点M AP和AQ交于点N,贝U MFL NF.2x11. AB是椭圆a2 y b21的不平行于对称轴的弦，M(Xo,yo)为AB的中点，贝y koM kABK AB12.若Po(x,yo)在椭圆2爲 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是b2XoX2a2X。2ab X0。a y【推论】：2“”

22、x仁右Po(xo,y。)在椭圆a22吿 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 笃 ba2 y b2X)xTa(a b o)的两个顶点为Ai( a,0) , A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于Pi - Pa时A Pi与A2P2交点的轨迹方程2y_b21.22、过椭圆笃ay21 (a o, b o)上任一点A(Xo, yo)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBCb2Xo2 a yo(常数).3、若P为椭圆2b 1(abo)上异于长轴端点的任一点尸，F2是焦点,PF1F2PF2F1,贝 H tan co t .a c 22224、设椭圆 务 每 1 (a b o)

23、的两个焦点为F1、F2,P (异于长轴端点)为椭圆上任意一点，在PFF2中，记a bsincF1PF2, PF1F2,F1F2P ，则有e.sin sin a22_5、 若椭圆 1 (a b o)的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为L,则当ovew 2 1时，可在椭圆上a b求一点P,使得PR是P到对应准线距离 d与PF的比例中项.2 26、 P为椭圆 令 岭 1 (a b o)上任一点,F 1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Ua b2a | AF2 | | PA| | PF1 | 2a | AF11,当且仅当A, F2,P三点共线时，等号成立7、椭圆2(x X0)2a2(y y0)1

24、与直线Ax By C 0有公共点的充要条件是b2(Axo2By。 C).2x&已知椭圆a1 (a b 0), O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP OQ. (1)12|OP|12|OQ|-1； (2) |OP|2+|OQ|2 的最大值为 4；(3) S opqba b2b2的最小值是 a2 .a b9、过椭圆(ab 0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则四|MN |10、已知椭圆2y_b2b 0) ,A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,O),2.2则 a_aXoa2b211、设P点是椭圆2 x 2 a(a b 0) 上异

25、于长轴端点的任一点,FF2为其焦点记F1 PF2，则 | PF1 | PF2 |-.(2)1 cosPF1F2b2 ta n212、设 A、2B是椭圆务a2y_b2(a b0)的长轴两端点，P是椭圆上的一点,PABPBABPAe分别是椭圆的半焦距离心率，则有22ab |cos | (1)|PA| a2 c2cos2tan tan21 e .(3)S PABbcot13、已知椭圆22xy2,2ab1 ( a b 0)的右准线I与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC x轴，则直线AC经过线段EF的中点.14、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长

26、轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直15、 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16、 椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点)17、 椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18、 椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项七、双曲线的常用结论：1、点P处的切线 PT平分 PF1F2在点P处的内角.2、PT平分 PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影H点的轨迹是以长

27、轴为直径的圆，除去长轴的两 个端点3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线 相交4、 以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切(内切：P在右支；外切：P在左支)2x5、右P)(x0, y0)在双曲线一2a2yy 1 ( a 0,b 0)b2上,则过F0的双曲线的切线方程是 竽ayoy 1 了 1.2 卄x6、右P)(x01 y0)在双曲线a2y71 ( a 0,b 0)b2，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是XoXyoy1.27、双曲线一2ab2(a 0,b 0)的左右焦点分别为F1, F2,点P为双曲线上任意一点F1PF2，则双曲线的焦点角形的面

28、积为S RPF2b2cot .2b21 (a 0,b 0)的焦半径公式：( c,0)F2(c,0)当M (xo, yo)在右支上时,| MF11 exo a,|MF2 ex a ；当 M (x, yo)在左支上时，MF, exo a , | MF2 | exo a。9、 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于 焦点F的双曲线准线于 M N两点，贝U MFL NF.10、 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、Q, A、A为双曲线实轴上的顶点，AP和AQ交于点M, A2P 和AQ交于点N,贝U MF丄NF.2 211、AB是

29、双曲线笃每a b1(a0,b 0)的不平行于对称轴的弦，M；Xo,yo)为AB的中点，则Km Kabb2Xo2 ，a yo12、若R(Xo, yo)在双曲线2 X2 ay2b21( a 0,b 0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是XoX2 ayoyb222 ayLb213、若Po(x), yo)在双曲线2 X2 a2 y b21 (a 0,b 0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2 X 2 ay2XoXT ayoyb2即Kab【推论】：b2Xo2a yo21、双曲线冷a22、过双曲线笃a(a0,b o)上任一点 A(x, y)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且

30、kBCb2x (常数)a y。23、若P为双曲线务a1 (a 0,b 0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点,PF1F2PF2 F1，则tan cot (或2 2空 tan cot). c a24、设双曲线笃a2yb2(a0,b 0)的两个焦点为 Fi、F2,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在厶PF1F2中，记 f1pf2PF1F2F1F2P，则有sinc e.(sin sin ) a25、若双曲线笃a2 y_ b21 (a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当1v e的比例中项.2笃 1 (a 0,b 0)的两个顶点为 A( a,0) , A

31、2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时b2A1P1与AP2交点的轨迹方程是 笃a2X6、P为双曲线一a|AF2| 2a | PA|1 (a,b 0)上任一点，为二焦点，a为双曲线内一定点，则IPF1I,当且仅当 代F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立27、双曲线X?ay2b21 (a 0,b 0)与直线 Ax By C 0有公共点的充要条件是“22A aC2.&已知双曲线2x2ab21 (ba 0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ .1|OQ |24； (2) |OP|2+|OQ|2的最小值为字%; (3) S OPQbb a2b2的最小值是乎

32、Jb2 a22 29、过双曲线X2占a b1 (a 0,b 0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN勺垂直平分线交x轴于P,则1 PF 1 e| MN |22 2x y10、已知双曲线 2 1( a 0,b 0 ),A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x,O),a ba2 b22 b2 则x a或a11、设P点是双曲线2 y b21 (a 0,b 0) 上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记F1PF2，则2b21 PF1珏1飞.(2)2be%.12、设 A、B是双曲线2 y b21 ( a 0,b 0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PABPB

33、ABPA2ab |cos |c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) |PA| a c cos | tantan 12e .(3) S PAB , 2bc 2, 22a b 丄cota213、已知双曲线务a2y21 (a0,b 0)b2的右准线I与x轴相交于点E，过双曲线右焦点 F的直线与双曲线相交于A B两点,点C在右准线I上，且BCx轴，则直线 AC经过线段EF的中点.14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直16、 双曲线焦三角形中，外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在双曲线焦