微积分定理和公式

1、.一、函数【定义1.1】 设在某一变化过程中有两个变量和,若对非空集合中的每一点,都按照某一对应规则,有惟一确定的实数与之相对应,则称是的函数,记作称为自变量,称为因变量,称为函数的定义域,的取值范围即集合称为函数的值域.平面上点的集合称为函数的图形.定义域(或记)与对应法则是确定函数的两个要素.因此称两个函数相同是指它们的定义域与对应法则都相同.（二）函数的几何特性1单调性（1）【定义1.2】 设函数在实数集上有定义,对于内任意两点,当 时,若总有成立,则称内单调递增（或单增）；若总有 成立,则称在内严格单增,严格单增也是单增.当在内单调递增时,又称内的单调递增函数.单调递增或单调递减函数统

2、称为单调函数.2有界性【定义1.3】 设函数,若存在实数0,使得对任意,都有,则称在内有界,或称为内的有界函数.【定义1.4】 设函数,若对任意的实数0,总可以找到一,使得,则称在内无界,或称为内的无界函数.【定义1.5】 设函数在一个关于原点对称的集合内有定义,若对任意,都有,则称为D内的奇（偶）函数.奇函数的图形关于原点对称,当为连续的函数时,=0,即的图形过原点.偶函数的图形关于y轴对称.关于奇偶函数有如下的运算规律：设为奇函数,为偶函数,则为奇函数；为偶函数；非奇偶函数；为奇函数；均为偶函数.常数C是偶函数,因此,奇函数加非零常数后不再是奇函数了.利用函数奇偶性可以简化定积分的计算.对

3、研究函数的单调性、函数作图都有很大帮助.4周期性【定义1.6】 设函数,如果存在非零常数T,使得对任意,恒有成立,则称为周期函数.满足上式的最小正数T,称为的基本周期,简称周期.我们熟知的三角函数为周期函数(考纲不要求),除此以外知之甚少.是以1为周期的周期函数.与的图形分别如图1-1(a)和图1-1(b)所示.（三）初等函数1基本初等函数（1）常数函数 ,定义域为(-,+),图形为平行于轴的直线.在轴上的截距为.（2）幂函数 ,其定义域随着的不同而变化.但不论取何值,总在（1,+）内有定义,且图形过点（1,1）.当0时,函数图形过原点（图1-2）（a） (b)图1-2（3）指数函数 ,其定义

4、域为（-,+）.当01时,函数严格单调递减.当1时,函数严格单调递增.子数图形过点（0,1）.微积分中经常用到以为底的指数函数,即（图1-3）（4）对数函数 ,其定义域为（1,+）,它与互为反函数.微积分中常用到以e为底的对数,记作,称为自然对数.对数函数的图形过点（1,0）（图1-4）(图1-3) (图1-4) 另有两类基本初等函数：三角函数与反三角函数,不在考纲之内.对基本初等函数的特性和图形要熟练地掌握,这充分条件判断、导数和定积分应用中都很重要.例如,设0.则 (1)在内严格单调减少；（2）在上为凸弧,均不充分.此题可以用举例的方法来说明（1）、（2）均不充分.由初等函数的图形可知,为

5、凸弧.=在（,）上严格单调递减,但=-120,因此（1）,（2）均不充分,故选E.此题若把题干改成0,则（1）,（2）均充分,差别就在等于零与不等于零.可见用初等函数图形来判断非常便捷.2反函数【定义1.7】 设函数的定义域为,值域为,如果对于每一个,都有惟一确定的与之对应,且满足是一个定义在以为自变量的函数,记作并称其为反函数.习惯上用作自变量,作因变量,因此反函数常记为.函数与反函数的图形关于直线对称.严格单调函数必有反函数,且函数与其反函数有相同的单调性.互为反函.0,+的反函数为,而（,0）的反函数为（图1-2（b）.3复合函数【定义1.8】 已知函数.又,uR,若非空,则称函数为函数

6、的复合函数.其中称为因变量,称为自变量,称为中间变量.4初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算而得到的一切函数统称为初等函数,初等函数在其定义域内有统一的表达式.（四）隐函数若函数的因变量明显地表示成的形式,则称其为显然函数.等.设自变量与因变量之间的对应法则用一个方程式表示,如果存在函数（不论这个函数是否能表示成显函数）,将其代入所设方程,使方程变为恒等式：其中为非空实数集.则称函数由方程所确定的一个隐函数.如方程可以确定一个定义在0,1上的隐函数.此隐函数也可以表示成显函数的形式,即但并不是所有隐函数都可以用的显函数形式来表示,如因为我法用初等函数表达,故它不是初等函数.

7、另外还需注意,并不是任何一个方程都能确定隐函数,如.（五）分段函数有些函数,对于其定义域内的自变量的不同值,不能用一个统一的解析式表示,而是要用两个或两个以上的式子表示,这类函数称为分段函数,如都是定义在（,）上的分段函数.分段函数不是初等函数,它不符合初等函数的定义.二、极限（不在考试大纲内,只需了解即可）极限是微积分的基础.（一）数列极限按照一定顺序排成一串的数叫做数列,如称为通项.1极限定义【定义1.9】 设数列,当项数无限增大时,若通项无限接近某个常数,则称数列收敛于A,或称A为数列的极限,记作否则称数列发散或不存在.2数列极限性质（1）四则极限性质 设,则（2） （为任意正整数）.（

8、3）若,则数列是有界数列.（4）夹逼定理 设存在正整数,使得时,数列满足不等式.若,则.利用此定理可以证明重要极限 （e2.718,是一个无理数）.（5）单调有界数列必有极限 设数列有界,且存在正整数,使得对任意都有（或）,则数列的极限一定存在.利用此定理可以证明重要极限 （e2.718,是一个无理数）.（二）函数的极限1时的极限【定义1.10】 设函数在上有定义,当时,函数无限接近常数A,则称当时以A为极限,记作当或时的极限当沿数轴正（负）方向趋于无穷大,简记（）时,无限接近常数A,则称当（）时以A为极限,记作3时的极限【定义1.11】 设函数在附近（可以不包括点）有定义,当无限接近时,函数

9、无限接近常数A,则称当时,以A为极限,记作4左、右极限若当从的左侧（）趋于时,无限接近一个常数A,则称A为时的左极限,记作 或 若当从的左侧（）趋于时,无限接近一个常数A,则称A为时的右极限,记作 或 （三）函数极限的性质1惟一性若,则A=B.2局部有界性若.则在的某邻域内（点可以除外）,是有界的.3局部保号性若.且A0（或A0,则存在的某邻域（点可以除外）,在该邻域内有0（或0。若。且在的某邻域（点可以除外）有0（或0，则必有A0（或A0）。4不等式性质若，且AB，则存在的某邻域（点可以除外），使.若，.且在的某邻域（点可以除外）有或（），则AB。5四则运算同数列（四）无穷小量与无穷大量1无

10、穷小量的定义【定义1.12】 若，则称是时的无穷小量。（若则称是时的无穷大量）。2无穷小量与无穷大量的关系无穷小量的倒数是无穷大量；无穷大量的倒数是无穷小量。3无穷小量的运算性质（i）有限个无穷小量的代数和仍为无穷小量。（ii）无穷小量乘有界变量仍为无穷小量。（iii）有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。4无穷小量阶的比较设， 5等价无穷小常用的等价无穷小：是，等价无穷小具有传递性，即，又。等价无穷小在乘除时可以替换，即，则第二讲 函数的连续性、导数的概念与计算重点：闭区间上连续函数的性质、导数的定义、几何意义、基本初等函数的求导公式、复合函数求导公式、导数的四则运算。三、函数的连续性（一）函数

11、连续的概念1两个定义【定义1.13】 设函数的定义域为。若，则称点连续；若中每一点都连续，则称点右连续。【定义1.14】 若，则称点右连续。若，则称点左连续。点连续点既左连续又右连续。2连续函数的运算连续函数经过有限次四则运算或复合而得到的函数仍然连续，因而初等函数在其定义区间内处处连续。（二）间断点1若都存在，且不全等于，则称为的第一类间断点。其中若存在，但不等于（或在无定义），则为的可去间断点。若都存在，但不相等，则称为的跳跃间断点。2若中至少有一个不存在，则称为的第二类间断点。（三）闭区间上连续函数的性质若在区间内任一点都连续，又，则称函数在闭区间上连续。1最值定理设在上连续，则在上必有

12、最大值M和最小值m,即存在，使。2价值定理设在上连续，且m,M分别是在上最小值与最大值,则对任意的，总存在一点。【推论1】 设在上连续，m,M分别为最小值和最大值，且mM0,则至少存在一点。【推论1】 设在连续，且，则一定存在使。推论1，推论2又称为零值定理。第二章 导数及其应用一、导数的概念1导数定义【定义2.1】 设y=f(x)在x0的某邻域内有定义,在该邻域内给自变量一个改变量,函数值有一相应改变量,若极限存在,则称此极限值为函数y=f(x)在x0点的导数,此时称y=f(x)在x0点可导,用表示.若在集合D内处处可导（这时称f(x)在D内可导）,则对任意,相应的导数将随的变化而变化,因此

13、它是x的函数,称其为y=f(x)的导函数,记作.2导数的几何意义若函数f(x)在点x0处可导,则就是曲线y=f(x)在点（x0,y0）处切线的斜率,此时切线方程为.当=0,曲线y=f(x)在点（x0,y0）处的切线平行于x轴,切线方程为.若f(x)在点x0处连续,又当时,此时曲线y=f(x)在点（x0,y0）处的切线垂直于x轴,切线方程为x=x0.3左、右导数【定义2.2】 设f(x)在点x0点的左侧邻域内有定义,若极限存在,则称此极限值为f(x)在点x0处的左导数,记为=类似可以定义右导数.f(x)在点x0点处可导的充要条件是f(x)在点x0点处的左、右导数都存在且相等,即存在.若f(x)在

14、（a,b）内可导,且及都存在,则称f(x)在a,b上可导.4可导与连续的关系若函数点可导,则在点处一定连续.此命题的逆命题不成立.邮导数定义,极限存在可知,在点可导,必有,故在点连续.但在点连续只说明当时,也有,而当的无穷小的阶低于时,极限即不存在,故在点不可导.只有与是同阶无穷小,或是比高阶的无穷小时,在点才可导.例如,点连续,但不可导.二、导数的运算1几个基本初等函数的导数（1）（2）（3）（4）2导数的四则运算（1）；（2）；（3）；（4）；3复合函数的导数设函数在x处可导,而函数在相应的点处可导,则复合函数在点x处可导,且.4高阶导数（二阶导数）若函数 区间（a,b）内可导,一般说来,

15、其导数仍然是x的函数,如果也是可导的,则对其继续求导数,所得的导函数称为的二阶导数,记为.【注】 更高阶的导数MBA大纲不要求,二阶导数主要用来判定极值、函数凹凸区间及拐点.导数的计算要求非常熟练、准确第三讲 微分、导数的应用重点：微分的概念及运算、求曲线切线方程的方法、函数单调区间、极值、最值的求法三、微分1微分的概念【定义2.3】 设在的某邻域内有定义,若在其中给一改变量,相应的函数值的改变量可以表示为其中A与无关,则称在点可微,且称A为在点的微分,记为是函数改变量的线性主部.在可微的充要条件是在可导,且.当时,可得,因此由此可以看出,微分的计算完全可以借助导数的计算来完成.（2）微分的几

16、何意义 当由变到时,函数纵坐标的改变量为,此时过点的切线的纵坐标的改变量为dy.如图2-1所示.当dy时,切线在曲线上方,曲线为凸弧.2微分运算法则设可微,则一阶微分形式不变性：设是由可微函数和复合而成,则关于x可微,且由于,不管u是自变量还是中间变量,都具有相同的形式,故称一阶微分形式不变.但导数就不同了：若u是自变量,.若u是中间变量,.四、利用导数的几何意义求曲线的切线方程求切线方程大致有四种情况,最简单的一种是求过曲线上一点的切线方程,此时只需求出,切线方程为.第二种情况是过曲线外一点（a,b）,求曲线的切线方程,此时.设切点为,切线方程为,将点（a,b）代入方程中,有从中求出,化成第

17、一种情况的切线方程,若得到惟一,则切线也不惟一.第三种情况是求两条曲线的公共切线,这两条曲线可能相离,也可能相交.设两曲线为解题方法是设在两条曲线上的切点分别为这两点的切线斜率相等,从而有方程 另外过点（）的切线方程也过点（b,g(b)）,故有由、求出a,b,有了切点,切线方程也就可以写出来了.第四种情况是求两条曲线在某公共点处的公切线.设曲线在某点处相切,求a的值与切线方程.则可设切点为,从而有,由两方程联和可得a的值及切点横坐标.即切点,再由第一种情况,写出切线方程.五、函数的增减性、极值、最值1函数的增减性的判定设函数在闭区间上连续,在（a,b）内可导,若,则在a,b上单调增加（或单调减

18、少）.反之,若在（a,b）上单调增加（或单调减少）且可导,则.二者的差异在于有没有等号.2极值概念与判定【定义2.4】 设在的某邻域内有定义,对该邻域内任意点x,都有（或）,则称为极大值（或极小值）为极大值点（或极小值点）.需要注意的是,极值点一定是内点,极值不可能在区间的端点取到.（1）极值存在的必要条件：若在点可导,且为极值点,则=0.因此,极值点只需在=0的点（驻点）或不存在的点中去找,也就是说,极值点必定是=0或不存在的点,但这种点并不一定都是极值点,故应加以判别.（2）极值存在的充分条件,即极值的判别法,分为第一判别法和第二判别法.第一判别法用一阶导数判定.高在点连续,且=0（或不存

19、在）.若存在,使得当时,有0（或不存在）,当时,有0）,此时为极大（极小）值点.为极大（极小）值.若在的左右不变号,则不是极值点.以上判别法用下表示意更清楚.x+极大值点极小值点不是极值点不是极值点+第二判别法需用二阶导数判定,只适用于二阶导数存在且不为零的点,因此有局限性.当=0,若,则为极小值点,若,为极大值点,判别法失效,仍需用第一判别法.3函数在闭区间a,b上的最大值与最小值.极值是函数的局部性质.最值是函数的整体性质.求最大值与最小值只需找出极值的可疑点（驻点和不可导点）,把这些点的函数值与区间的端点函数值比较,找出最大的与最小的即为最大值和最小值,相应的点为最大值点和最小值点.第四

20、讲 函数图形的凹凸性、拐点、不定积分重点：函数图形凹凸区间及拐点求法、找原函数的换元积分法和分部积分法六、函数图形的凹凸性、拐点及其判定1概念【定义2.5】 若在某区间内,曲线弧上任一点处的切线位于曲线的下方,则称曲线在此区间内是上凹的,或称为凹弧（简记为）；反之,切线位于曲线上方,则称曲线是上凸的,亦称凸弧（简记为）,曲线凹、凸的分界点称为拐点.2凹凸的判定设函数在区间（a,b）内二阶可导,若在（a,b） 内恒有0（或0（或）判定f（x）在该子区间内单调递增（或递减）,同时也可以将极大值点和极小值点求出.求函数曲线的凹凸区间与拐点.只需求二阶导数等于零或二阶导数不存在的点,然后用上面的方法加

21、以判定.第三章 定积分及其应用 一、不定积分1不定积分概念【定义3.1】(原函数) 若对区间I上的每一点x,都有则称F（x）是函数f(x)在该区间上的一个原函数.原函数的特性 若函数f(x)有一个原函数F(x),则它就有无穷多个原函数,且这无穷多个原函数可表示为F（x）+C的形式,其中C是任意常数.【定义3.2】(不定积分) 函数f(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记作.若F(x)是f(x)的一个原函数,则【定义3.3】(原函数的存在性) 在区间I上连续的函数在该区间上存在原函数；且原函数在该区间上也必连续.2不定积分的性质（1）积分运算与微分运算互为逆运算.（2）（3）3基本积分公

22、式4求不定积分的基本方法和重要公式（1）直接积分法所谓直接积分法就是用基本积分公式和不定积分的运算性质,或先将被积函数通过代数或三角恒等变形,再用基本积分公式和不定积分的运算性质可求出不定积分的结果.（2）换元积分法（I）第一换元积分法【公式3.1】 若,则 = .【说明】 1运算较熟练后,可不设中间变量,上式可写作2第一换元积分法的实质正是复合函数求导公式的逆用.它相当于将基本积分公式中的积分变量x用x的可微函数替换后公式仍然成立.用第一换元积分法的思路不定积分可用第一换元积分法,并用变量替换,其关键是被积函数g(x)可视为两个因子的乘积且一个因子的函数（是积分变量x的复合函数）,另一个因子

23、是的导数（可以相差常数因子）.有些不定积分,初看起来,被积函数不具有上述第一换元积分法所要求的特征,在熟记基本积分公式的前提下,注意观察被积函数的特点,将其略加恒等变形：代数或三角变形,便可用第一换元积分法.（II）第二换元积分法【公式3.2】 【说明】 第二换元积分法与第一换元积分法实际上正是一个公式从两个不同的方向运用 用第二换元积分法的思路若所给的积分不易积出时，将原积分变量x用新变量t的某一函数来替换，化成以t为积分变量的不定积分，若该积分易于积出，便达到目的。被积函数是下述情况，一般要用第二换元积分法：1被积函数含根式，求其反函数。作替换，可消去根式，化为代数有理式的积分。2被积函数

24、含根式时，令，求其反函数，作替换可消去根式。被积函数含指数函数，有时也要作变量替换：令，设，以消去。（3）分部积分法【公式3.3】 【说明】 分部积分法是两个函数乘积求导数公式的逆用。用分部积分法的思路(I)公式的意义欲求 求(II)关于选取u和用分部积分法的关键是,当被积函数看作是两个函数乘积时,选取哪一个因子为,哪一个因子为.一般来说,选取u和应遵循如下原则:1选取作的函数,应易于计算它的原函数;2所选取的u和,要使积分较积分易于计算;3有的不定积分需要连续两次(或多于两次)运用分部积分法,第一次选作(或u)的函数,第二次不能选由(或u)所得到的v(或).否则,经第二次运用,被积函数又将复

25、原.()分部积分法所适用的情况由于分部积分法公式是微分法中两个函数乘积的求导数公式的逆用,因此,被积函数是两个函数乘积时,往往用分部积分法易见效.5.求不定积分需要注意的问题(1)由于初等函数在其有定义的区间上是连续的,所以每个初等函数在其有定义的区间上都有原函数,但初等函数的原函数并不都是初等函数.例如等的原函数就无法用初等函数表示.(2)对同一个不定积分,采用不同的计算方法,往往得到形式不同的结果.这些结果至多相差一个常数,这是由于不定积分的表达式中含有一个任意常数所致.第五讲重点：定积分的概念、性质、变限求导、牛顿-菜布尼兹公式、定积分的换元积方法和分部积分法二、定积分1定积分的定义【定

26、义3.1】(定积分) 函数在区间a,b上的定积分定义为，其中.由定积分的定义,可推出以下结论:(1)定积分只与被积函数和积分区间有关;(2)定积分的值与积分变量无关,即;(3),特别地, .定积分的几何意义设在a,b上边续, 在几何上表示介于i轴、曲线y=及直线之间各部分面积的代数和,在x轴上方取正号,在x轴下方取负号.利用定积分的几何意义,可以计算平面图形的面积,也是考纲中要求的定义应用内容.【定理3.2】(可积的必要条件) 若函数在区间a,b上可积,则在a,b上有界.【定理3.2】(可积的充分条件) 若函数在区间a,b上连续,则在a,b上可积.【定理3.4】(可积的充分条件) 在区间a,b

27、上只有有限个间断点的有界函数在该区间上可积.2.定积分的性质设,在a,b上可积(1)为常数;(2);(3)对积分区间的可加性 对任意三个数a,b,c,总有(4)比较性质 设,则.特别地1若,则;2(5).【定理3.5】(估值定理) 若在a,b上的最大值与最小值分别为M与m,则.【定理3.6】(积分中值定理) 若在a,b上连续,则在a,b上至少存在一点,使.上式若写成,该式右端称为函数在区间a,b上的平均值.3.微积分学基本定理【定理3.7】(原函数存在性定理) 若函数在区间a,b上连续,则函数是在a,b上的一个原函数,即.设可导【推论1】 设,则.【推论2】 设,则.【推论3】 ,则.【定理3

28、.8】(牛顿-莱布尼茨公式) 若函数在区间a,b上连续，是在a,b上的一个原函数，则.上述公式也称为微积分基本定理,是计算定积分的基本公式.4.计算定积分的方法和重要公式(1)直接用牛顿-莱布尼茨公式这时要注意被积函数在积分区间a,b上必须连续.(2)换元积分法【公式3.4】 设函数在区间a,b上连续,而函数满足下列条件:1在区间上是单调连续函数;2;3上连续,则 .该公式从右端到左端相当于不定积分的第一换元积分法;从左端到右端相当于不定积分的第二换元积分法,即用定积分的换元积分法与不定积分的换元积分法思路是一致的.作变量替换是,要相应地变换积分上下限.(3)分部积分法【公式3.5】 设函数在

29、区间a,b上有连续的导数,则.用该公式时,其思路与不定积分法的分部积分法是相同的.除此此外,当被积函数为变上限的定积分时,一般要用分部积分法.例如,设,这时,应设.(4)计算定积分常用的公式1.2奇偶函数积分 设上连续,则3.计算定积分,当积分区间为-a,a时,应考虑两种情况:其一是函数的奇偶性;其二是作变量替换,用上述公式3,当公式右端的积分易于计算时,便达目的.4周期函数积分 设是以T为周期的周期函数,则.5若以T为周期且是奇函数,则第六讲重点：广义积分、利用定积分的性质还应平面图形面积(直角坐标系下).5.广义积分前面引进的定积分有两个特点:积分区间为有限区间;被积函数在a,b上为连续函

30、数或只有有限个第一类间断点,从而在a,b上是有界函数.广义积分是指具有下列两个特点之一的积分:积分区间为无穷区间;被积函数为有限区间上的无界函数.MBA大纲只要求无穷区间上的积分.无穷积分在概率中广泛应用.无穷区间上的积分【定义3.4】 函数在区间a,+上有定义,在a,b(ab+)上可积.若极限存在,则称广义积分收敛,并规定若上述极限不存在,则称广义积分发散.类似地,广义积分用极限的存在与否来定义它的敛散性.函数在上的广义积分,定义为其中c是任一有限数,任当等号右端的两个广义积分都收敛时,左端的广义积分才收敛;否则称它是发散的.6.定积分的应用(求平面图形的面积)(1)面积公式1曲线,直线所围

31、图形的面积2曲线,和直线所围图形的面积3曲线,直线所围图形的面积4曲线,和直线所围图形的面积(2)解题程序1据已知条件画出草图;2选择积分变量并确定积分限:直接判定或解方程组确定曲线的交点;3用相应的公式计算面积.【说明】 选择积分变量时,一般情况下计算面积时,图形不分块或少分块为好.第七讲 第四章 多元函数微分学重点：一阶、二阶偏导数的计算(不含复合函数和隐函数)、二元函数无条件极值的求法(必要性和充分性)一、重要定义、定理及公式1.多元函数、极限与连续概念【定义4.1】(二元函数定义) 以x,y为自变量,z为因变量的二元函数记作数对集D是函数的定义域，f是由(x,y)对应z的法则;若记,则

32、Z是函数的值域.几何意义 函数,其图形是空间直角坐标系下一张空间曲面;该曲面在Oxy平面上的投影区域就是该函数的定义域D.【定义4.2】(二元函数的极限) 函数在点的某一邻域内除去点以外都有定义.如果动点P（x,y）与定点之间的距离趋向于0时，趋向于一个常数A，那么就称A为P趋向于时函数的极限，记作【定义4.3】(连续性) 设函数在点的某邻域内有定义,若则称函数在点连续;否则称函数在间断.【定理4.4】(最值定理) 有界闭区域D上的二元连续函数,在D上必有最大值和最小值.2.偏导数【定义4.5】(偏导数定义) 函数在点关于x的偏导数记作;定义为 函数在点关于y的偏导数记作;定义为函数在区域D内每一点(x,y)的偏导数分别记作偏导数存在与连续的关系二元函数在点连续不是偏导数存在的必要条件;偏导数存在也未必连续.【定义4.5】(高阶偏导数) 函数在偏导数、关于x和关于y的偏导数,称为的二阶偏导数,共有四个:【定理4.6】 若函数的二阶混合偏导数和在区域D内连续,则必有=.3.多元函数的极值【定义4.7】(二元函数极限定义) 在函数有定义的点的某邻域内,若有,则称是函数的极大值或极小值,点称为函数的极大值点或极小值点.极值存在的条件【定义4.8】(极值存在的必要条件) 若函数在点存在偏导