（江苏专用）202x版高考数学大一轮复习 第四章 4 第四节 函数y= Asin（ωx+φ）的图象及三角函数模型的简单应用

1、第四节函数y= Asin(x+)的图象及三角函数模型的简单应用,1.“五点法”作图,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质,教材研读,考点一 函数y=Asin(x+)的图象和性质,考点二 三角函数模型的简单应用,考点突破,1.“五点法”作图 在确定正弦函数y=sin x在0,2上的图象形状时,起关键作用的五个点的坐标分别是(0,0)、(,0)、(2,0,教材研读,2.函数y=Asin(x+)(A0,0)的性质 若函数y=Asin(x+)(A0,0)表示一个振动量,则A叫做振幅,T=叫做周期, f=叫做频率,x+叫做相位,x=0时 的相位称为初相,3.函数y=sin x的图象经变换得到y

2、=Asin(x+)(A0,0)的图象的步骤如下,1.(教材习题改编)要得到函数y=3sin的图象,只需将函数y=3sin 2x的图象向平移个单位长度,答案左,2.(2018江苏南通高考数学冲刺小练(36)将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得到的图象向右平移 个单位长度得到函数g(x)的图象,则g(x),答案cos,解析将函数f(x)=cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y=cos x的图象,再将其向右平移个单位长度得到函数 g(x)=cos=cos的图象,3.(教材习题改编)若函数f(x)=Asin(x+)(A0,0

3、,0,2)的部分图象如图,则该函数的振幅、频率和初相分别是,答案3,解析由图象可得振幅A=3,最小正周期T=8,则频率f=,=,函 数f(x)=3sin的图象过点(1,3),则f(1)=3sin=3,+=+2k,k Z,则=+2k,kZ,又0,2),则初相,4.(2018江苏如皋高三调研)将函数y=sin的图象向右平移个单 位长度,得到函数y=f(x)的图象,则f的值为,答案,解析将y=sin的图象向右平移个单位长度得到y=sin =sin 2x的图象,所以f(x)=sin 2x, f=sin,5.(2019江苏三校高三模拟)将函数y=2cos的图象向右平移 个单位长度后,所得函数为奇函数,则

4、,答案,解析将函数y=2cos的图象向右平移个单位长度后 得到函数y=2cos的图象,所得函数为奇函数,则-2=+k,k Z,=-k,kZ,又0,则k=-1,考点一 函数y=Asin(x+)的图象和性质 角度一三角函数的图象变换 典例1已知函数y=2sin. (1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”画出它在一个周期内的图象; (3)y=2sin的图象可由y=sin x的图象经过怎样的变换得到,考点突破,解析(1)y=2sin的振幅A=2,周期T=, 初相=. (2)令X=2x+,则y=2sin=2sin X. 列表,描点并画出该函数在一个周期内的图象: (3)把y=sin x的图象上

5、所有的点向左平移个单位,得到y=sin的图,象,再把y=sin的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐 标不变),得到y=sin的图象,最后把y=sin的图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y=2sin的图 象,解析y=2cos 2x=2sin的图象y=2sin 2x的图象 y=2sin的图象, 故将y=2cos 2x的图象向右平移个单位长度即可得到y=2sin的 图象,探究若将本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos 2x”,则如何变换,1)五点法:用“五点法”作y=Asin(x+)的简图,主要是通过变量代换,令z=x+,由z取0,2来求出相应的x的值,通

6、过列表得出五点坐 标,描点,连线后得出图象. (2)图象变换法:由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(x+)的图象有两种途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移,方法技巧 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象的作法,易错警示 三角函数图象左、右平移时应注意的问题 (1)注意平移前后两个函数的名称一致,若不一致,则应先利用诱导公式 化为同名函数. (2)由y=Asin x的图象得到y=Asin(x+)的图象时,需平移的单位数应为,而不是,典例2(1)(2018江苏南京多校高三上学期第一次段考)函数f(x)=Asin(x+ )的部分图象如图所示,则f(0),角度二由图象确定y=A

7、sin(x+)的解析式,2)(2019江苏南通高三模拟)函数f(x)=Asin(x+)的 部分图象如图所示,现将函数y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,得 到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为,答案(1)(2)g(x)=sin,解析(1)由图象可得A=,T=-=,则T=,=2,易知sin=- 1,则=+2k,kZ,又0,则=,则f(x)=sin,则f(0)=sin,2)由题图得A=1,T=-=,所以T=,故=2.所以sin= 1,结合|,得=,所以f(x)=sin,将函数f(x)的图象向右平移 个单位长度后得函数g(x)=sin2+=sin的图象,故g(x),sin,方法技巧

8、 根据函数y=Asin(x+)+b(A0,0)的图象求其解析式时,主要从以下四个方面入手: (1)A的确定:根据图象的最高点和最低点,即A=. (2)b的确定:根据图象的最高点和最低点,即b=. (3)的确定:利用图象先求出周期T,然后由T=(0)来确定,4)的确定:由函数图象的特殊点(如最高点、最低点)得到关于的方程,结合的范围确定,典例3(2018江苏淮安摸底)函数f(x)=Asin(x+)的部分图象如图所示. (1)求函数y=f(x)的解析式; (2)当x时,求f(x)的取值范围,角度三函数y=Asin(x+)的图象与性质的综合应用,解析(1)由题图知,A=2,=-=, 解得T=2, 所

9、以=1,所以f(x)=2sin(x+). 将代入,得2sin=2, 所以sin=1, 所以+=+2k(kZ,即=+2k(kZ),又-,所以=, 所以f(x)=2sin. (2)当x时,x+, 所以sin,2sin-,2, 即f(x)-,2,方法技巧 解决该类问题一般是先由条件确定函数的解析式,再根据解析式的特点,结合三角函数的图象与性质求解,1-1(2018江苏扬州中学高三模拟)函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移个单位后,与函数y=sin的图象重合,则,答案,解析函数y=cos(2x+)(-)的图象向右平移个单位后,得到y= cos=cos(2x-+)的图象,该图象与函数y=sin=

10、cos 的图象重合,则-+=-,1-2(2017江苏常州高三第一学期调研测试)已知函数f(x)=Asin(x+)+b(A0,0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为,答案f(x)=2sin+3,解析由题图可得所以A=2,b=3. 易知=3,故T=12, 所以=. 所以f(x)=2sin+3. 由f(1)=5,得2sin+3=5,即sin=1,可得+=2k+(kZ), 所以=2k+(kZ). 从而f(x)=2sin+3=2sin+3,1-3函数f(x)=sin(x+)的部分图象如图所示,则函数 f(x)的单调减区间为,答案(kZ,解析由图象可知f(x)的最小正周期T=4=,则=2.又f =s

11、in=1,0,则=,所以 f(x)=sin,由+2k2x+ +2k(kZ),解得+kx+k(kZ),即f(x)的单调减区间为 (kZ,典例4如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y= 3sin+k,据此可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为m,考点二 三角函数模型的简单应用,答案8,解析因为函数y=3sin+k的最小值为2, 所以-3+k=2,得k=5, 故这段时间水深的最大值为3+5=8(m,方法技巧 解决三角函数模型实际应用问题的方法 (1)当函数模型已知时,审清题意,根据条件,确定相应的参数和自变量的取值范围. (2)当函数模型不清楚时,按下列步骤进行:审题,理出条件和结论,找到,合适的角作为自变量;建立函数模型,设出三角函数表达式,特别注意自变量的取值范围;用数学知识求出问题的解;