题库-几何探究题

1、几何探究题类型一动点问题1. 如图，在菱形 ABCD中，/BAD=120,边长AB=6,对角线AC、BD交于点 0,线段AD上有一动点P，过点P作PH丄BC于点H，交直线CD于点Q,连接0Q, 设线段PD=m.(1) 求线段PH的长度； 设ADPQ的面积为S,求S与m之间的关系式；(3)在运动过程中是否存在点 P,使OPQ的面积与厶CQH的面积相等，若存在，请 求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由.第1题图解:(1) v四边形ABCD是菱形，BC/AD, AB=AD=CD=6, VzBAD=120,/.zADC=60, zACD是等边三角形，如解图，过点 C作CG丄AD于G, 在RtACD

2、G中，/CDG=60,CD=6,DG=3, CG=3- 3 ,TBC/AD, PH丄BC, CG丄AD,四边形CHPG是矩形，/.PH=CG=3 3 ,H第1题解图(2) 在 Rt/PDQ 中，/PDQ=60DP二m,PQ=3m,S二SmDQ=DP PQ二丄mx 3m=m2, (Ovm6)222存在，理由：vzDPQ的面积与厶CQH的面积相等，点Q在线段CD上，AD /BC,/CHQs/dpq,/DPQ的面积与厶CQH的面积相等时，只有 CHQ幻JDPQ,1CQ=DQ= CD=3,2在 RtZPQD 中，/PDQ=60,DQ=3,/DP=-,2即：m=3时，ADPQ的面积与厶CQH的面积相等.

3、22. 已知：D , E是RtABC斜边AB上点，满足/ DCE=45(1) 如图，当AC=1, BC= 3，且点D与A重合时，求线段BE的长；(2) 如图，当ABC是等腰直角三角形时，求证：AD2+BE2=DE2；(3) 如图，当AC=3, BC=4时，设AD=x, BE=y,求y关于x的函数关系式，并 求x的取值范围.图图图第2题图(1) 解：如解图 ，丁 ZACB=90,BC=73, AC=1, AB=2, 过B作BF /AC交CE的延长线于F,zF=zACE,VzBCA=90,QCE=45.zBCE=ZDCE, .zBCE=ZF, BF=BC=. 3,v/BEFs/AEC,匹車“3,A

4、E ACBE=3- . 3 ;F图图图第2题解图(2)证明：如解图,过点A作AF丄AB,使 AF=BE，连接 DF , CF,v在/ABC 中，AC=BC,ZACB=90,.zCAB=ZB=45, zFAC=45 ZCAF丸BE (SAS),CF二CE, ZACF=ZBCE,v/ACB=90,QCE=45,zACD+/BCE=ZACB- ZDCE=90-45 45/zACF=ZBCE,/.zACD+ZACF=45,即 ZDCF=45,.zDCF=ZDCE, 又vCD=CD,/CDF望DE (SAS,DF二DE,2 2 2v在 Rt/ADF 中，AD +AF =DF ,.AD2+BE2 二DE2

5、；解：如解图 ，作zBCEzECE, GCD幻ACD，延长DG交EF于H,/zHFG = ZB,ZHGF=ZCGD=ZA,ZA+ZB=90, /.zDHF=90,VFG=CF-CG=BC-AC=1,ZB=ZF,4 3 2 , _2HF二，HG=- ,-.EH +HD =ED ,5 5 (y-)2+(x+-)2=(5- x-y)2,55y=60 -28x21 5x113. 如图，直线AM丄AN, AB平分/MAN,过点B作BC丄BA交AN于点C;动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2m/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1m/s 的速度沿射线AM方向运动；已知AC=6cm,设动点D, E的运

6、动时间为t.(1) 试求/ACB的度数；(2) 当点D在射线AM上运动时满足Sedb : Sbec=2： 3,试求点D, E的运动时间 t的值；(3) 动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得EADB与E3EC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由.第3题图解：(1)如解图中，TAM丄AN,zMAN=90,TAB 平分/MAN,zBAC=45,CB 丄 AB,第3题解图如解图 中，作BH丄AC于H, BG丄AM于G.VBA 平分 /MAN,/.BG=BH,Skdb: S们ec=2:3 , AD=t, AE=2t,1 1 2?t?BG: 2?(6

7、-2t)?BH=2:3 ,t=12 s .当 t=12 s 时，满足 Saadb : Sec=2：3 .77(3) 存在.TBA二BC,/BAD=ZBCE=45,当AD=EC 时，MDB望QEB,t=6-2t,/-t=2s,满足条件的t的值为2s.类型二平移变换问题1. 如图，AABC中AB=AC,点D从点B出发沿射线BA移动，同时，点E从点C出发沿线段AC的延长线移动，已点知 D、E移动的速度相同，DE与直线BC相交于点F.(1) 如图1,当点D在线段AB上时，过点D作AC的平行线交BC于点G,连接CD、GE，判定四边形CDGE的形状，并证明你的结论；(2) 过点D作直线BC的垂线垂足为M，

8、当点D、E在移动的过程中，线段BM、MF、CF有何数量关系？请直接写出你的结论.第1题图备用图解：(1)四边形CDGE是平行四边形.理由如下：如解图 ：VD、E移动的速度相同， BD二CE,VDG /AE,zDGB=ZACB, TAB二AC, zB=zACB,.zB=ZDGB,/.BD=GD=CE,又 VDG /CE,四边形CDGE是平行四边形；B图IA第1题解图(2) BM+CF二MF;理由如下：如解图 由(1) 得: BD=GD=CE,-.DM 丄 BC,BM二GM,VDG /AE, GF二CF,BM+CF二GM+GF二MF.2. 两个全等的直角三角形 ABC和DEF重叠在一起，其中/A=

9、60,C=1，固定ABC不动，将ADEF进行如下操作： 如图，ADEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、 FB，四边形CDBF的形 状在不断变化，但它的面积不变化，请求出其面积.猜想论证 如图，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并 说明理由. 拓展研究 如图，ADEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向 旋转ADEF，使DF落在AB的边上，此 时F点恰好与B点重合，连接 AE,求sina的值.E第2题图解：（1）如解图，-ZDEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），CF二AD, AC=DF ,二四边形ACFD为平行四边形,AD

10、 /CF,-SDCF =sbcf=sAacd ,S 四边形 CDBF =S:DB +SBCF =S:DB +S4ACD =S4ACB ,在 RtmCB 中，T/A=60,BC= . 3 AC=3 ,BC= 2 XX 3 = # ,-S四边形cdbf = 22 四边形CDBF为菱形.理由如下:如解图，丁点D为斜边AB的中点,/.DC=DA=DB，VCF/AD，CF=AD,CF二BD, CF /DB,四边形CDBF为平行四边形,而 DC=DB,第2题解图作DH丄AE于H，如解图在 RtAACB 中,vzA=60,AB=2AC=2,点 D 为 AB 的中点，1/.AD=BD =丄 AB=1,2绕D点

11、按顺时针方向旋转 DEF,使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合,zEFD=90,EB= J3 , DE二AB=2,在 RtZABE 中，AE = . BE2_AB2( 3)2 22 “ 7 ,1 iT DH ABAD_EB,2 2 _在 Rt星DH 中，sin a3. 在正方形ABCD中，动点E,F分别从D,C两点同时出发，以相同的速度在直线DC,CB上移动.(1) 如图，当点E自D向C,点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P,请你写出AE与DF的关系，并说明理由； 如图，当点E,F分别移动到边DC,CB的延长线上时，连接AE和DF,(1)中的结论还成立吗？(请直接回答“是”或“否”

12、，不须证明) 如图，当E,F分别在CD,BC的延长线上移动时，连接AE和DF , (1)的结论还成立吗？请说明理由； 如图，当E,F分别在DC,CB上移动时，连接 AE和DF交于点P.由于点E,F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点 P运动路径的草图.若AD=2,试求出线段CP的最小值.图图第3题图解:(1)AE二DF,AE丄DF.理由：T四边形ABCD是正方形，AD二DC, ZADC=ZC=90,VDE=CF,.zADEzDCF,AE二DF, /DAE二/CDF, 由于 ZCDF + ZADF=90, zDAE+ZADF=90AE 丄 DF;是；成立.理由：由(1)同理可证，AE=DF ,

13、 ZDAE=ZCDF,第3题解图zADG+/DAE=90,AE丄 DF.画出草图如解图，由于点P在运动中保持/ APD=90点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为0,连接0C,交弧于点P,此时CP的长度最小,在 Rt8DC 中，0C二.CDOD、22 12 = 5 ,CP=OC-OP= 5 -1.第3题解图类型三折叠问题1.将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，0为原点，C在x轴上，0A=6, OC=10.(1)如图，在0A上取一点E,将勒0C沿EC折叠，使点0落在AB边上的D点,求E点的坐标;(2) 如图，在OA、0C边上选取适当的点E、F，将牢OF沿EF折叠，使0点落在AB边上D

14、点，过D作DG /0A交EF于T点，交0C于G点，设T的坐标为(x,y),求y与x之间的函数关系式，并求出自变量 x的取值范围;(直接写出结果即可)解：(1) T将ZEOC沿EC折叠，使0点落在AB边上的D点,DC=0C=1O. 在 RtBCD 中，t/B=9O,BC=0A=6, DC=10, /.BD= 、DC2-BC2=8.在 RSED 中,vZDAE=90,AD=2, DE=OE, AE=6-OE,DE 2=AD 2+AE 2，即 OE2=22+(6-0E) 2,解得牢,10E点的坐标为（0,可）;3T将ZEOF沿EF折叠，使0点落在AB边上D点,QEF = /OEF, DE=OE,VD

15、G /AO,.zOEF=ZDTE,.zDEF = ZDTE,.DT二DE=OE,TG二AE,T （x, y）, AD=x, TG=AE=y, DT二DE=OE=6-y.在 Rt AADE中，t/DAE=90, .AD2+AE2二DE2,即卩 x2+y2= （6-y） 2, 整理，得y x+3;12由（1）可得AD=OG=2时，x最小，从而x2, 当EF恰好平分/OAB时，AD最大即x最大，此时G点与F点重合，四边形AOFD为正方形，即x最大为6,从而x6, 故自变量x的取值范围是2x6,与x之间的函数关系式为丫=-1+3 (2x6)厂.1ElD M710GF C x第1题解图3） VT 的坐标

16、为（x, y）, y二-丄x2+3, OG=23,1 /.GT=y xi2+3=2, AD=OG=2 3 ,ED二AD 2+AE2=4,si n/3二AEED30 =30 DT=6-2=4 , 作 FM 丄 AB 于 M，贝S FM 二BC=6,/FMD=90=ZA, / + /2=90,由折叠的性质得：/ EDF=ZAOC=90, / + /3=90z2=Z3,/DMFs/EAD,DF FMED 一 ADDF 6 3ED 4 = 2，设 EO=ED=x，则 AE =6-x,在 RtADE中，由勾股定理得：(2 3)2+ (6-x) 2=x2,解得：x=4,OF二DF=4、3，/.GF=OF-

17、 OG=2 3 , ZDTF 的面积=1 DT?GF=1 X4X2、3=4.3 .2 22.如图，在四边形 ABCD 中，ZD=ZBCD=90, B=60,AB=6, AD=9,点 E 是 CD 上 的一个动点(E不与D重合)过点E作EF /AC,交AD于点F(当E运动到C时,，EF 与AC重合)，把ADEF沿着EF对折，点D的对应点是点G,设DE=x,/GEF与四 边形ABCD重叠部分的面积为y.(1) 求CD的长及的度数；若点G恰好在BC上,求此时x的值；(3) 求y与x之间的函数关系式，并求x为何值时,y的值最大？最大值是多少？GC第2题图解：（1）如解图，过点A作AH丄BC于点H ,v

18、在RtAHB 中，AB=6,/B=60AH二AB si nB=6=3.3 ,2/JD=ZBCD=90,四边形AHCD为矩形,/CD=AH = 3.3,第2题解图CDvta n/CAD二CDADzCAD=30VEF /AC, /二/CAD=30;若点G恰好在BC上，如解图，由对折的对称性可知 RtFGE织tzFDE ,GE二DE二x,由(1)知，/ 仁30O,A0EG=ZFED=60, zGEC=60vEG是直角三角形， zEGC=30,1 1在RtEG 中，EC-EGmx ,1由 DE+EC二CD 得 x 23,3 ,C第2题解图DFjvx， y = SEDF(3)分两组情况讨论:当OVX2.

19、3时，如解图 ，在 RtZDEF 中，tan/仁tanBO DF=-DEDF = txL/3x =旋 x2 ,2 2_ _ 2拧0,对称轴为y轴, 当0 X 2.3 , y随x的增大而增大, 当 x =2、3 时， y最大值= 孑(2 一3)2=6、3 ；EC当2 x 3 3时，如解图,D第2题解图设FG,EG分别交BC于点M、N,vDE=x,.EC=3、3-x , NE=2(3、3-x), NG=GE-NE= x -2(3#3 X)= 3x -,又t/MNG二/ENC=30=90MG二NGtan30並(3x-6妁,3SmngLNgMG =pxr d) 出(3x-63)3(3x-6=)2 ,2

20、236y = S EGF - S MNG=3x23(3x_6、,3)22 6二-J3x2 18x-18 , 3二 - J3(x-33)2 9.3 ,6 3 9、3 ,综上所述，当x=3、3时，y有最大值，且y的最大值为9,3.3如图，四边形ABCD是矩形纸片,AB=2,对折矩形纸片ABCD,使AD与BC重合,折痕 为EF,展开后再过点B折叠矩形纸片，使点A落在EF上的点N处，折痕BM与EF相交 于点Q,再次展开，连接BN,MN,延长MN交BC于点G.(1) 求AM的长；判断ABMG的形状，并说明理由；(3)若点P为线段BM上一动点，H是BN的中点，当PN等于多少时，APNH的周长 最小？并求出

21、最小值(计算结果保留根号)第3题图解：(1)如解图，连接AN,VEF 垂直平分 AB, AAN=BN,根据折叠的性质，可得 AB=BN, ZABM=ZNBM,AN二AB二BN,/ABN为等边三角形,zABN=60.zABM=ZNBM=30,在RtBM 中，AM=ABtan302 &竽；第3题解图(2) /BMG为等边三角形.理由如下：v/ABM= ZMBN=30 ZBNM= /BAM=90 zfiMG=90 -ZMBN=90 -30 =60 ZMBG= ZABG -ZABM=90 -30 =60 ； zfiGM=180 -60 -60 =60 :.zMBG = ZBMG= ZBGM=60 :z

22、BMG为等边三角形;v A与N关于BM对称， PA=PN, PN+PH二PA+PH，即当AH与BM交于P时， PHN的周长最小.v / GBN= / ABG -/ABN=90-6030,EN/ BC, / ENB= / NBG=30v Z MBN=30, Z QBN= Z QNB, QB=QN ,点Q,点A均在线段BN的垂直平分线上，v点H是BN的中点，点A,Q,H在一条直线上，即点P与点Q重合时， PHB的周长最小，此时 PN+PH=AH=AB 冶inZ ABH=2 冷in60 J3.又 BN=AB=2, NH=1. PNH的周长最小值为1+ ,3.类型四旋转变换问题1. 如图，在 ABC

23、和ADE 中，AB=AC, AD=AE,ZBAC=ZDAE，连接 B D, CE,BD和CE相交于点F，若ABC不动，将ADE绕点A任意旋转一个角度.(1) 求证：ABAD幻AE.(2) 如图，若Z BAC=ZDAE=90，判断线段BD与CE的关系，并说明理由；(3) 如图，若Z BAC=ZDAE=60，求启FC的度数；(4) 如图，若Z BAC=ZDAE=A,直接写出Z BFC的度数(不需说明理由)(1) 证明：t/BAC二/DAE,zBAC+/CAD二/DAE+/CAD,AB = AC即/BAD二/CAE 在ABAD 与MAE 中，BAD = CAE ,IAD =AE /BAD坐 AAE

24、(SAS),解：BD丄CE, BD=CE. 理由如下：由(1)知，ABAD坐AAE (SAS),./bd=zace, bd=ce,v/3AC=90,.zCBF+ZBCF=ZABC+ZACB=90,/3FC=90BD 丄 CE.解:由(2) 得zcbf+zbcf=zabc+zacb,v/3AC=ZDAE=60,.zCBF+ZBCF=ZABC+ZACB,/.zBFC=ZBAC zBFC=60. /BFC=90【解法提示】 由 得/CBF+ZBCF二ZABC+ZACB, v/3AC=ZDAE= a,.zCBF+ZBCF=ZABC+ZACB,/.zBFC=ZBAC, zBFC二 a2. 如图 所示，将

25、一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2,宽为1的长方形CEFD拼 在一起，构成一个大的长方形 ABEF，现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD，旋转角为a(1) 当边CD恰好经过EF的中点H时，求旋转角a的大小；(2) 如图 ，G 为 BC 中点，连接 GD,DE,且 0a 90，求证：GD二ED;(3) 小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中， eCD与壬CD能否全等?若能，直接写出旋转角a的大小；若不能，说明理由.图第2题图(1)解：如解图,边CD恰好经过EF的中点H ,EH二丄 EF=1=CE, EH为等腰直角三角形,zECH=45, a=45第2题解图证明：TG为BC中

26、点,CG=1,/CG=CE,T长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CEFD,zDCE二/DCE=90,CE二CE二CG,/.zGCD=ZDCE=90+aCD二 CD在GCD和ECD 中，山 GCD=/DCE ,3 = CE/./GCD望CD (SAS),GD=ED; 解：能.理由如下：T四边形ABCD为正方形，CB二CD, vCD=CD, zBCD与/DCD为腰相等的两等腰三角形，当 ZBCD=ZDCD时，dCD坐/CD,90，当/BCD与/DCD为钝角三角形时，则旋转角a = 180 竺=135,21当/BCD与/DCD为锐角三角形时，/ BCD=ZDCD=丄 ZBCD=452则 a=360 亜

27、=315,2即旋转角a的值为135 或315时，BCD与/DCD全等.3. 如图，已知 ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90,点M是BC的中点，作正方 形MNPQ，使点A、C分别在MQ和MN上，连接AN、BQ.(1) 直接写出线段AN和BQ的数量关系是 .(2) 将正方形MNPQ绕点M逆时针方向旋转0 (0其360) 判断(1)的结论是否成立？请利用图证明你的结论； 若BC=MN=6,当0(00360 )为何值时，AN取得最大值，请画出此时的图形，并直接写出AQ的值.图图第3题图解：(1) BQ=AN.【解法提示】如解图 ，丁公BC是等腰直角三角形，/ BAC=90点 M 是 BC 的中点

28、，/.AM丄BC, BM二AM, /./AMB=ZAMC=90. 丁 四边形 PQMNBM =AM是正方形， /.QM=NM. 在SMB 和ZNMA 中， QMB =/AMN ,QM =NM/./QMBJNMA (SAS),BQ二AN.第3题解图 BQ=AN成立. 理由：如解图 ，连接AM, 在RtBAC中，M为斜边BC中点，AM二BM, AM丄BC,/.zAMQ+ZQMB=90.T四边形PQMN为正方形，/.MQ=NM，且ZQMN=90,/.zAMQ+ZNMA=90, zfiMQ=ZAMN.MQ = MN在ABMQ 和 AAMN 中，BMQ = MNBM = AM/./BMQzAMN (SA

29、S),BQ二AN;第3题解图由得，BQ=AN,当BQ取得最大值时，AN取得最大值.如解图，当旋转角8=270时，BQ二AN (最大)，此时ZAMQ=90.VBC=MN=6, M 是 BC 的中点，1MQ=6, AM=BC =3, 在RtAXMQ 中，由勾股定理得 AQ= . AMMQ ,32 62 =3.5 .类型五 类比、拓展探究问题1. 如图，在正方形ABCD与等腰直角三角形BEF中，/BEF=90,BE二EF,连接DF , 点P是FD的中点，连接PE、PC.(1) 如图，当点E在CB边上时，求证：PE二CE;(2) 如图，当点E在CB的延长线上时，线段PC、CE有怎样的数量关系，写出 你

30、的猜想，并给与证明.图图第1题图解：(1)延长EP交DC于点G,如图 所示:VzFEC=ZDCE=90,EF /CD,/.zPFE=ZPDG,又v/EPF=ZGPD, PF=PD,PFE =/PDG在ZPEF 禾和GD 中， EPF =/GPD,PF = PD/./PEFzBGD (AAS),PE二PG, EF=GD,BE二EF,BE二GD.CD二CB,CG二CE,GE是等腰直角三角形，1CP丄GE, CP=EG二PE, PE是等腰直角三角形.PE二 12 CE;2I)i)图图第1题解图2) PC呼 CE,理由如下：如图 所示：延长EP交CD的延长线于点G,VzFEB+ZDCB=180, EF

31、 /CD,/.zPEF=ZPGD,又v/EPF=ZGPD, PF=PD,NPFE =NPDG在ZPEF 禾口PGD 中， PE是等腰直角三角形. NEPF =NGPD ,fF = PD EF坐GD (AAS ),PE二PG, EF=GD,BE二EF,BE二GD.VCD=CB ,/.CG=CE , GE是等腰直角三角形，CP丄GE, CP=丄EG=PE,222. 如图， ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90 D为AC延长线上一点，连接DB, 将DB绕点D逆时针旋转90得线段DE，连接AE.(1)如图，当CD=AC时，请直接写出线段AE,AB,AD的数量关系； 如图，当CDM AC时，(1)中

32、的结论是否成立？说明理由；(3) 当点D在射线CA上时，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？若成立，请说明 理由，若不成立，请求出 AE,AB,AD的数量关系式.第2题图解：(1)AB+AE= 2AD;【解法提示】由题知AC=CD, AB=BD=DE,贝S AB丄BD,又由题意可得BD丄DE, AB=BD=DE=AE, 又 v AB丄BD，二四边形ABDE为正方形，贝卩AB=AE=. 2 AC, AD=2AC, AB+AE=2、2 AC. 2 AD.成立理由如下：如解图，作DF /BC交AB延长线于F,第2题解图v/ABC为等腰三角形，/ ACB=90 BC=AC,/ BAC= / ABC=45,v DF / BC, / ADF= / ACB=90, / F=Z ABC=45. AD=FD,又 v / BDE=90 / BDF=