平面的法向量与平面的向量表示

1、3.2 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示,理解教材新知,把握热点考向,应用创新演练,考点一,考点二,第三章 空间向量与立体几何,考点三,32.2平面的法向量与平面的向量表示,若l1，l2是两条不同的直线，、是两个不同的平面，且l1，l2. 问题1：若l1l2，则与有什么位置关系？ 提示：. 问题2：若l1l2，则、有什么位置关系？ 提示,1平面的法向量 已知平面，如果向量n的基线与平面 ，则向量n叫做平面的法向量或说向量n与平面正交 2平面的向量表示式 设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，适合条件 n0的点M构成的图形是过点A并且与向量n垂直的 ， 通常称为一个平面的向量表示式,

2、垂直,平面,3两平面平行、垂直的判定 设n1，n2分别是平面，的法向量，则 或与重合 ； 4正射影与三垂线定理 (1)正射影： 已知平面和一点A，过点A作的垂线l与相交于点 A，则A就是点A在平面内的 ，简称,n1n2,n1n2,n1.n2=0,正射影,射影,2)三垂线定理： 如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的 垂直，则它也和这条斜线垂直 (3)三垂线定理的逆定理： 如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在平面内的 垂直,射影,射影,1用向量法证明线线、线面、面面之间的垂直关系，主要是找出直线的方向向量、平面的法向量之间的关系，因此求直线的方向向量及平

3、面的法向量是解题关键 2一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可以根据需要进行选取，一个平面的所有法向量共线,例1已知点A(1，0，0)、B(0，2，0)、C(0，0，3)，求平面ABC的一个法向量,思路点拨,一点通利用待定系数法求法向量的解题步骤,1已知平面内的两个向量a(2，3，1)，b(5，6，4)， 则该平面的一个法向量为 () A(1，1，1)B(2，1，1) C(2，1，1) D(1，1，1,答案：C,思路点拨建立空间坐标系求出平面ADE与平面A1D1F的法向量求解,一点通设直线l的方向向量a(a1，b1，c1)，平面的法向量u(a2，b2，c2)，平面的法向量v(a3，b3，c3

4、)，且l，与不重合，则 (1)lauau0a1a2b1b2c1c20； (2)lau(a1，b1，c1)(a2，b2，c2)； (3)uv(a2，b2，c2)m(a3，b3，c3)； (4)uvu0a2a3b2b3c2c30,3在正方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面A1BD平面 CD1B1,4正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中 点，求证：平面AED平面A1FD1,证明：如图，建立空间直角坐标系Dxyz,例3在正方体ABCDA1B1C1D1 中，求证：A1C平面BDC1,思路点拨根据正方体中的垂直关系，找到A1C在平面ABCD和平面CDD1C1内的射影，由三垂

5、线定理证明BDA1C，C1DA1C,精解详析在正方体中，AA1 平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD 内的射影，又ACBD，所以BDA1C. 同理D1C是A1C在平面CDD1C1内的射影 所以C1DA1C.又C1DBDD，所以A1C平面BDC1,一点通 (1)三垂线定理及其逆定理主要用于证明空间两条直线的垂直问题对于同一平面内的两直线垂直问题也可用“平移法”，将其转化为空间两直线的垂直问题，用三垂线定理证明 (2)当图形比较复杂时，要认真观察图形，证题的思维过程是“一定二找三证”，即“一定”是定平面和平面内的直线，“二找”是找平面的垂线、斜线和斜线在平面内的射影，“三证”是证直线垂直于

6、射影或斜线,5正三棱锥PABC中，求证：BCPA,证明：在正三棱锥PABC中，P在底 面ABC内的射影O为正三角形ABC的 中心，连接AO，则AO是PA在底面A BC内的射影，且BCAO，所以BC PA,6在空间四边形ABCD中，A在平面BCD内的射影O1是 BCD的垂心，试证明B在平面ACD内的射影O2必是ACD的垂心,证明：连接DO1、BO1、AO2、CO2. O1是BCD的垂心，DO1BC. 又AO1平面BCD，BCAD(三垂 线定理) BC是平面ACD的斜线，BO2平面ACD，CO2是BC在平面ACD内的射影， CO2AD(三垂线定理的逆定理)同理，AO2CD. 故O2是ACD的垂心,1确定平面的法向量通常有两种方法： (1)利用几何体中已知的线面垂直关系； (2)用待定系数法，设出法向量，根据它和内不共线 两向量的垂直关系建立方程组进行求解由于一个平面 的法向量有无数个，故可从方程组的解中取一个最简单 的作为平面的法向量 2用空间向量处理平行问题的常用方法： (1)线线平行转化为直线的方向向量平行 (2)线面平行转化为直线的方向向量与平面法向量垂直,3)面面平行转化为平面法向量的