齐次方程的分离变量法

1、第八章 分离变数(傅里叶级数)法,分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的,第一节、齐次方程的分离变数法,一）分离变数法介绍,研究两端固定的均匀弦的自由振动，即,边界,初始,征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况,个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本,各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解成几,这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射,同频率的反向波形成驻波,在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节,驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方,此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式,把上式代入振动方程和边界条件可

2、得,与t无关,式随时间t振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是,x的函数X（x），则驻波的一般表达式为,对于方程,同除,则可得,左边是时间t的函数，与坐标x无关，右边是坐标x的函数，与,就把原方程分为两个常微分方程，即,我们先来求解X，根据,的不同来考察,1,时间t无关，显然不等，除非等于常数，记常数为,方程的解是,积分常数由初始条件确定,由此可得,即,驻波,没有意义，故排除,2,此时方程的解是,积分常数由初始条件确定,由此可得,即,没有意义，故排除,2,此时方程解为,积分常数由初始条件来确定,此时如果,仍然可得,从而,应该予以排除,只剩下一种可能,则,即,而此时,C2为任意常数,

3、由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数,不能,为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能,使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做本征值,而此时T的方程应该写成,此方程的解为,其中，A，B为积分常数,把X（x）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解,相应的解叫做本征函数，即构成本征值问题,这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个,在,共计n1个点上,则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点,相邻节点间隔l/n为半波长，故波长应为：2l/n,本征振动的角频率为,则频率为,当n=1的驻波,除了两端x=0和x=l之外没有其他的节点,波长2l在,N1的各个驻波叫做

4、n次谐波,波长2l/n是基波的1/n,频率na/2l,驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动,所有本征振动里边是最长的,频率最低,这个驻波叫做基波,是基波的n倍,以上的本征振动是满足弦振动方程,和边界条件,的线性独立的特解,由于方程和边界,条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加,仍然满足,原方程和边界条件,此即满足方程的一般解,其中A,B为任意常数,但此时未考虑初始条件,以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适当的,把上述一般解代入初始条件,可得,叠加系数An和Bn,满足初始条件,左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数,展开成,傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到An和Bn,这样

5、,我们就得到了原定解问题的解,系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由,第一类边界条件确定的,偏微分 方 程,分离 变数,常微分方程2,解2,本 征 解 解2解1,齐次边 界条件,分离 变数,解1,本征函数,所求解,初始 条件,关键在于分离变数，使偏微分问题化为常微分问题，同时把边界,分离变数法,条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值问题。可以推广到,线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中,求解,二）例题,例1,磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的,边界条件,初始条件,泛定方程,解,分离变量,代入泛定方程和边界条件,即,均匀杆，作纵振动，定解问题如下,对于方

6、程,化为,两边分别是x和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为,则,于是可分解为关于X和T的常微分方程,1,2,对于本征值问题（1,如果,则X（x）恒为零，无意义,如果,则方程的解是,代入常微条件得：D00,则,为对应于本征值,的本征函数,如果,方程,的解是,积分常数满足,故C20,若C10，则无意义,则,可得,即,相应的本征函数为,以下把,的情况合二为一,C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族,将本征值代入T的方程,可以得到,解分别为,其中系数均为独立的任意常数,把X（x），T（t）分别代回,得到本征振动如下,注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族,所有本征振动叠加即得一般解,其

7、中系数由初始条件,确定,把一般解代入初始条件，可以得到,把左边的函数,展开成傅里叶余弦级数，比较系数,由上可知，A0和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于,例2,研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端,一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件,类齐次边界条件所决定的,不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二,另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化,温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变,可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件,这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得,代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及

8、条件,及关于T的常微分方程,则当,时得到常微方程的通解为,代入常微分方程的初始条件，可得,除非是,否则还是得到无意义的解,则此时可得,C20,即,这里给出本征值，相应的本征函数为,而关于T的方程,此时变为,此方程的解为,U（x,t）的一般解是,其中Ck由初始条件确定,左边是以,为基本函数族的级数，启发我们把右边,也展开成以,为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数,比较系数可得,此时可得最后结果为,注,对于本征函数即,既不同于第一类齐次边界条件,又不同于第二类齐次边界条件的,边界条件,表明应该把导热细杆从区间0，l偶延拓到l，2l,延拓后条件为,一，三决定了本征函数为,n是正整数,第二个条件则,限定

9、n只能是奇数,边界条件,若n为偶数，则,不为零，综上所述可得本征函数为,即,注,对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0,则,随k的增大而增大，一般解级数发散,此时无意义。杆上的温度分布总是趋于某种平衡状态，且只要,另一方面，对于当前时刻以后的时刻，t0,却不能反推早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点,从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但,边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态,随k的增大而急剧减小，此时一般解级数,收敛很快，在t0.18l2/a2时，可以只保留第一项k0，此时误差,例3,散热片的横截面为矩形，一边yb处于较高温度U，其他,不超过1,解横截面上的稳

10、定温度分布u（x，y），即定解问题,三边y0，x0和xa处于冷却介保持较低的温度u0，求,如右图所示,解,这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值,把u（x，y）分解为v（x，y）和w（x，y）的线性叠加,其中v和w分别满足一组齐次边界条件即,化为齐次的，可以带来方便,是齐次的，此时恒为零，但可以把边界,问题，没有初始条件，边界条件不能都,可以验证，把w和v的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程,把v和w的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为,另解,令,把原来的温度U0作为新,的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得,分离变数令,问题解出,求解v和w，而此时v和w各有两个齐次边界条

11、件可以利用本征值,代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和Y的常微分方程 和X的边界条件,1,2,则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为,本征函数为,将本征值代入（2）可得,分离解为,叠加即得一般解,为确定系数An和Bn,j将上式代入非齐次边界条件,右边展开比较系数,由此可得,可得最后结果,例4,带电的云跟大地之间的静电场,可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直,表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限,在xy平面的剖面是个圆：x2+y2=a2,a为半径,解,柱外空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程,柱外空间,长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在xy平面研究,体圆柱如何改

12、变静电场,无限远”的静电场保持匀强，现在来看导,临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱,输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷,水平架设的输电线处在静电场中，如图,对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同,分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但 边界条件为,不能分解为X（x）或Y（y）的边界条件，无法进行下去,边界是圆，提示我们采用平面极坐标系,在极坐标系中，方程可表示为,其中,为极径,为极角,导体电势为零表示为齐次的边界,如下,又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件,在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，Ey0，ExE0,即,隐含着非齐次边界条件,

13、现在问题转化成极坐标系中的定解问题,解,分离变数设,代入泛定方程可得,左边与,无关，右边与,无关，除非为一常数,把此常数记为,此时分解为两个常微分方程,对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差,的整数倍，但电势在某点是确定值，故,即,自然的周期条件,此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解,从而可求得本征值和本征函数,把本征值代入常微分方程,可得,欧拉型常微分方程,作代换,方程可化为,由此我们可得到分离变数形式的解为,拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加,为了确定上式中的系数，先代入齐次边界条件,一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即,再来看非齐次边界条件,对

14、于非常大的,一般解中的,远远小于,可以略去，代入非齐次边界条件可得,这里如果出现,则主要部分就不是,而是,主部,故可得,由第一项,可得,可得,最后我们可得柱外的静电势为,对于此一般解，中间一项，即,是原来静电场的电势,分布，最后一项,当,充分大时，可以忽略，代表,在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响,对于,系数是任意常数，表明有不确定的因素,在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正 是圆柱原来带的电量,讨论,设原来圆柱体不带电，则D00，此时,若只看y轴下方，则如图，可以看成平行,此时，上下两端，即A和B点的电场强度为,是原来电场的两倍！且与半径无关,此处最容积击穿,

15、Y轴上的电势,与导体圆柱相同,电容器的极板必须加工的非常平滑,两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压,此突起的电场强度是其他匀强电场强度的,板电容器之间的静电场，但上面带有突起,例5,长为l的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为,另一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡,解,初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始,条件，这里的定解问题是没有初始条件的,稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则,代入泛定方程，可得X的常微分方程,方程的解为,故,第二项是电源发出的波，第一项是反射波,系数A和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式,由物理定律可得电流：（具体参看相关资料,把v和j分别代入边界条件可得,则稳恒振荡由,给出，系数A和B由上面的关系给出,输入端电压同电流之比叫做输入阻抗,当,此时对电源来说