高数课件同济书

1、第七节 初等函数的连续性与 连续函数的性质,一、连续函数的运算性质,二、初等函数的连续性,三、闭区间上连续函数的性质,第一章 函数与极限,一、连续函数的运算性质,四则运算性质,定理1 若函数f(x),g(x)在点x0皆连续，那么函数 在点x0也是连续的,利用连续函数的定义及函数极限的四则运算性质很容易得到,例1 由于函数y=sinx，y=cosx在 整个实数范围内都是连续的，因此三角函数 在其定义域内都是连续的,所有的三角函数在其定义域内都是连续的,2反函数的连续性,定理2 若函数y=f(x)在区间Ix上单调增加 且连续, 那么它的反函数x=f-1(y)在区间Iy上单调增加 且连续，其中Iy

2、=y|y=f(x), xIx,由此我们有下面的,或单调减少,或单调减少,例2 由于函数y=sinx在 内单调增加且连续，由定理2，它的反函数y=arcsinx在闭区间-1,1上也是单调增加且连续的,以此类推,所有的反三角函数在其定义域内都是连续的,由于对任意的x0， ，即指数函数 在定义域内是连续的，同时，它也是单调的 因此，由定理2，它的反函数 在 内也是连续的且单调的,所有的指数函数和对数函数在其定义域内都是连续的,3复合函数的连续性,定理3 (1)设函数y=fg(x)是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成, 且在x0的某邻域U(x0)内有定义 (2) 函数u=g(x)在点x0连续

3、, (3) 函数y=f(u)在点u0连续， 其中g(x0)=u0. 则复合函数y=fg(x)在点x0 也连续.即有,例3 证函数y=sin(x+1),y=cos(x-2)2在实数范围内都是连续的,证明 函数y=sin(x+1)是由y=sinu和u=x+1复合而成的,函数y=cos(x-2)2是由y=cosu和u=v2及v=x-2复合而成的,由复合函数的连续性，它们都是连续的,定理3的简单表述,对复合函数fg(x)，若g在x0点连续，f在点u0=g(x0)连续，则有,f连续,g连续,该如何利用前面的结论来说明幂函数的连续性,例4 幂函数y=x在(0,+)是连续的,y=x=e lnx由指数函数y=

4、eu及对数函数u= lnx复合而成,证明,而y=eu及u=lnx都是连续的, 由定理3,幂函数y=x在区间(0,+)内连续,该函数由lnu和 复合而成，lnu是连续的，但 在x=0处是不连续的，因而不能直接使用定理3下面的定理4是定理3的推广,定理4 设有复合函数y=fg(x)，函数g(x)在x0点的某去心邻域内有定义，且 ，而函数f在点y0连续则有,定理4的简单表述,您看出来定理3与定理4的区别了吗? 观察两定理的简述中的式子,您看它们有什么特点?您有何考虑,它们的区别在于对内层函数的要求不同,定理3中要求内层函数连续,而定理4中仅要求内层函数极限存在. 从两个式子可以看出若函数连续,则极限

5、号可以移到函数符号里面,当“外”函数连续时，有,f连续,于是,g不一定连续,f连续,g连续,解,分析 函数 是如何复合的,它们都连续吗,例5 求,显然该函数是由两个连续函数 与 复合而成的,这里用的是哪个定理？为什么,因此,注 把定理4中的 换为 ，而其他不变，结论仍成立,例6 求 并求,分析 第一个式子分母中的x应如何处理? 第二题与第一题之间有何联系,解,对 令ax-1=t,则x=loga(1+t),并且x0时t0 ,于是,这里用的是哪个定理？为什么,解,分析 该式可通过适当的变形将其和第二个重要极限联系起来,例7 求,因此,这里用的是哪个定理？为什么,一般地，对形如 的函数 （通常称为幂

6、指函数），如果,那么,其中 都是自变量的同一变化过程中的极限,二、初等函数的连续性,基本初等函数在其定义域内都是连续的,一切初等函数在其定义区间内都是连续的,例如 上面的例5，求 ，根据复合函数的连续性，我们知道 在 点是连续的，而且 ，因此有,利用连续的定义，若y=f(x)在x0点连续，如果要求函数y=f(x)在xx0时的极限，那么由 ,就把求极限的问题就转化为求函数值的问题了,例9的整个解题过程,可以认为分两步,您看是哪两步?通过本题的解法,有何体会,解,第一步 通过变形“去掉”可去间断点; 第二步 对连续函数求极限,例9 求,分析 函数在x=0点连续吗？是否可以将其转化为求连续函数的极限

7、,三、闭区间上连续函数的性质,有界性与最大值、最小值定理,从这个图形可以看到,在闭区间上连续的函数是有界的, 而且能够取到最大和最小值，这就是定理5,定理1中的“闭区间”,“连续”两个条件能不能缺少,缺一不可,定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值,再如，函数,该函数在 x=1 处不连续,在定义区间0, 2上虽有界,但取不到最大值和最小值,定理1 在闭区间上连续的函数在该区间上有界，并且在该区间上，它取得最大值与最小值,注：若f(x0)=0，称x0为函数 f(x) 的零点,定理2(零点定理) 设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续,在区间两端点上的函数

8、值分别f(a)为和f(b)，且f(a)f(b)0,那么，在区间(a,b)内至少存在一点 ，使得f()=0,2零点定理与介值定理,证,要证方程f(x)=0在一个区间上有实根相当于求函数f(x)在这个区间上有零点。因此利用零点定理，关键是要找到函数f(x)和相应的(闭)区间,例10 证明x3-x2-1=0在区间(0,2)内至少有一个根,令f(x)=x3-x2-1 ,它在 0,2上连续, 且 f(0)=-10,由推论2,在区间(0,2)内至少存在一点,使得f()=0也就是,这说明方程x3-x2-1=0在区间(0,2)内至少有一个根,讨论：方程的根与零点有关系吗？利用零点定理，我们需要做是什么,函数和区间应该怎么找?您有何考虑,证明方程,有一小于2的正根,即要证明函数f(x)=x3-x2-1有一小于2的正零点,这个闭区间可以考虑0,2,定理3 （介值定理） 设函数y=f(x)在闭区间a,b上连续，在该区间的两端点处分别取值A,B(AB)，那么对A,B之间的任意一个数C，在开区间(a,b)内至少存在一点，使得f ()=C,不仅如此，如果把区间两端点改为最大最小值点，有,推论与定理3，两者的区别是什么,推论 闭区间上的连续函数必取得介于其最大值与最小值之间的任意一个