第七章直线和圆的方程知识点总结及基础训练题

1、第七章 直线和圆的方程知识点：一直线的倾斜角：1. 定义：把x轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I重合时所转的最小正角记为：，：就叫做直线的倾斜 角。当直线I与x轴重合或平行时，规定倾斜角为0。2 .倾斜角的范围0,二二. 直线的斜率：1. 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k = tan : ( :丰90 ); 倾斜角为90的直线没有斜率；2. 斜率公式：经过两点R(xi,yi)、F2(X2,y2)的直线的斜率为式x?)；Xi -X23 应用：证明三点共线：kAB =kBC。三. 直线的方程：名称已知条件方程说明斜截式斜率ky轴上的截距by =kx +b不包

2、括垂直于x轴的直线点斜式点卩曲也)，斜率ky y1=k （ x为）不包括垂直于X轴的直线两点式P2(X2,丫2)yy1xX1y2 -y1X2 -X1不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线截距式x轴上的截距a y轴上的截距b以=1a b不包括坐标轴，平行于 坐标轴和过原点的直线一般式Ax+By+C=0A、B不同时为0四. 设直线方程的一些常用技巧：1 知直线纵截距b，常设其方程为y = kx b ；2.知直线过点(X。，y)，当斜率k存在时，常设其方程为y =k(x-x0) y，当斜率k不存在时，则其方程为3 与直线I : Ax By C =0平行的直线可表示为 Ax By C 0 ；4 与直线I :

3、 Ax By 0垂直的直线可表示为 Bx-Ay C 0 .注：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。五. 点到直线的距离及两平行直线间的距离：(1 )点 P(x0,y0)到直线 Ax By 0 的距离 Ax。By。_C ；(2)两平行线 li : Ax By C 0,l2: Ax By C 0 间的距离为 d 二 C1 一。 7AB2六两直线的位置关系11 :12 : y =k2x +b2l : A x+ B1 y+ C1 =0I2 : A2x+ B2y+ C2 =0l1与l2组成的方程组平行=k2 且 b Hb2A1 B1 C1A2 B2 C 2、.A1B2 A

4、2B1=0或丄A1C2 A2C1 式0无解重合& =k2 且 0=6A1B1C1J 看=(2(2 式0)A2 B 2 C2有无数多解相交&式k2式旦A2 B2有唯一解垂直k= 1A A2 + B B2 =0七. 到角和夹角公式：(1) li到12的角是指直线li绕着交点按逆时针方向转到和直线12重合所转的角二，【三0,二且k kitan)=- (k1 k2 = -1)；1 *k2k? - k 1(2) 11与12的夹角是指不大于直角的角(0,且tan二=丨-丨你水2 = -1)。21 +k1k2八. 对称(中心对称和轴对称)问题(1) 点对称(2)轴对称 点关于直线对称直线关于点对称 点关于点

5、对称直线关于直线对称九. 圆1. 圆的定义：平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆-2. 圆的标准方程 ：(x-a)2 (y-b)2 =r2圆心为C(a,b)，半径为r ,若圆心在坐标原点上，这时a =b =0，则圆的方程就是 x2 - yr2 -3 圆的一般方程：只有当D2 E2-4F 0时，x2 y2 Dx Ey - F =0表示的曲线才是圆，把形如的方程称为圆的一般方程-当D2 +E2 4F 0时，表示以(-,-)为圆心，1 (。2 +E2 4F为半径的圆;2 2 -4 圆的参数方程：(1)圆心为原点半径为r的圆的参数方程x=rcos：日为参数-y = rsin 廿(-)圆心为(a,

6、b)原点半径为r的圆的参数方程/-m+rcos?日为参数=b +r sin o十.点与圆的位置关系：给定点 M (x0,y0)及圆 C : (x -a)2 (y -b)2 =r2 . M 在圆 C 内=(x0 a)2 (y0 b)2 :r2 M 在圆 C 上=(xo a)2 (yo b)2 = r2 M 在圆 C 外：=(x0 - a)2 亠(y0 - b)2 . r2十一.直线与圆的位置关系：22o直线l: Ax By C =0和圆C:x-a亠y-b r2 r 0有相交、相离、相切。可从代数和几何两个 方面来判断：(1) 几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，

7、则d r=相交；d r ：=相离；d = r二相切。(2) 代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：厶.0=相交；厶：0=相离；厶=0= 相切；十二.圆与圆的位置关系(用两圆的圆心距与半径之间的关系判断)：已知两圆的圆心分别为0仆O2，半径分别为rn r2，贝y(1) 当|010-r1 - r2时，两圆外离；(2) 当|O1O2 -r-! r2时，两圆外切；(3) 当 rr2|0100在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域 .(虚线表示区域不包括边界直线)-2. 目标函数，线性目标函数线性规划问题，可行解，可行域，最优解-3 用图解法解决简单的线性

8、规划问题的基本步骤：(1) 根据线性约束条件画出可行域(即不等式组所表示的公共区域)；(2) 设z=0,画出直线|0 ；(3) 观察、分析，平移直线|0，从而找到最优解A(x0,y0), B(x1,y1);(4 )最后求得目标函数的最大值及最小值-十四.求曲线方程的一般步骤为：(1)建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M的坐标；(2)写出适合条件 P的点M的集合；(可以省略，直接列出曲线方程 一)3)用坐标表示条件 P (M),列出方程f(x,y) = O;(4)化方程f(x,y) =0为最简形式;(5)证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点-(可以省略不写，如有特殊情况，

9、可以适当予以说明-)练习题：一、直线的方程1、设P为x轴上的点，A(；,8), B(2,14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，求点 P的坐标(答案(-5，0)2、直线 l 的倾斜角) -C ,3 ，则斜率(_：,_1 . 1,；)4 2243、已知P(3,_1), M(6,2), N(_.3, .3)，直线l过点P且与线段MN相交(1) 求直线丨的倾斜角的取值范围;(2) 求直线I的斜率的取值范围.(答案(1)【才善(2)(十-申一 (1：)4二-arctan 55、直线的倾斜角为、二，满足2sin-3cos、，并且在y轴上的截距为1,求此直线方程(答案 3x _2y -2=0 )4、直线l

10、的方向向量为(-5，4)，则直线l的倾斜角为6、若k 0, b ：0时，则直线y =kx b必不通过(BA.第一象限B .第二象限C .第三象限第四象限x y_5=0 或 3x_2y = 0求此直线方程.7、直线l经过P (2, 3),且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 8、已知直线l在y轴上的截距为-4，且它与两坐标轴围成的三角形面积为(答案：x y 4=0 或 x-y-4=0)A. y 一1 =2(x 2)1B. y -1(x 2)2C.y -1 - -2(x 2)D.y-1 二-丄(x 2)210、m ：=R，直线(m-1)x-y 2m 1=0 过定点(D)1A. (1,)B2.(

11、-2,0)C . (2,3)D.(-2,3)9、已知直线l过点P (-2 , 1),倾斜角与直线y=2x-3的倾斜角互补，则直线l的方程是(C )二、两直线的位置关系11、 求经过点M(-2,1)，且与点A(-1,2),B(3,0)距离相等的直线方程(答案：x 2y =0 或 y =1)12、 直线l与直线3x 4y -7 =0平行，并和两坐标轴围成的三角形面积为24,则l的方程为(C )A. 3x 4y U24 =03x 卷 4y_24=0C . 3xU4y_24=0以上都不对13、 平行于直线I :3x _5y 7 =0，并且在两坐标轴上的截距之和为4的直线方程是 3x _5y _30 =

12、014、 已知三角形 ABC的顶点A(5,7)、B(42)、C(8,2)，则过重心且平行于BC边的直线方程为 _ y=115、 已知两点A(20),B(0,4)，则线段AB的垂直平分线的方程是(C)A. 2x y =0 B . 2x_y 4=0C . 2y x _3 =0D . 2x_y 5=016、 若直线I与直线2x _y1 =0垂直，则直线I的倾倾斜角:-的值为 二_arctan丄2 117、 “ m ”是“直线(m 2)x 3my 1 =0与直线(m-2)x (m2)y-3=：0互相垂直”的 充分不必要 条件2318、 求直线l1：y = 2x 3，到直线l2：y =x_的角(用反三角

13、表示)2(答案： 理-arctan3)19、直线 h ：x =3 与 12 : 2x -y 3 =0 的夹角为爲，则 tan ： = ( A)11A. - B . C . 2 D . -222120、 直线I与直线2x y _1 =0的夹角为45，则直线I的斜率是减-丄321、 求过点A(0, ,10)且与坐标原点的距离等于5的直线的方程(答案：x y ；10 = 0 或 x y ：10 =0 )22、平面上点 P(3,m)到直线x=5的距离是(A )A. 2 B . m5C . 5-mD . m -523、直线 I1 : x y=0与I2 ：2x 2y =3 的距离是(A )A . 2、2B

14、.2C2D.-2424、已知实数x、y满足关系式：5x 1260，则,x2 y2的最小值为601325、若点(x,y)在直线x 2y -1 =0上运动，则2x 4y的最小值是26、 点P(3, -1)关于点M(2,-2)的对称点坐标是(1 , -3 )22 927、 点P(2,3)关于直线l:2xy4=0对称点(答案(一，)5 528、 直线y =3x _4关于点M (1,1)对称的直线方程(答案y =3x )29、 求直线2x-y 3 =0关于直线x - y =0对称的直线方程(答案7x y _10 =0 )30、 一条光线从点 A( J3,5)射到直线l :3x _4y=0以后，再反射到一

15、点B(2,15)，求这条光线从 A到B的长度三、简单的线性规划31、 不等式3x_7y 乞0表示的区域为 D,点P12,0), P2(0,1)，则(D )A. RwD且P2 D B . P1 D且P2C .且P?三 DD . R 三 D且P?三 D32、点(3,1)和(/,6)在直线3x _2y a =0的两侧，则(B )A. a： J 或 a 24 B . J：a：24 C . a = _7 或 a =24D 以上都不对33、 点P(a,3)到直线4x_3y 1=0的距离等于4,且在不等式2xy_3：0表示的区域内，贝U P点的坐标为(-3 , 3)x -4y 匕-334、 已知x, y满足

16、下列条件，3x 5251x 1(1 )求z =2x y的最值(2) 求z=2xy的最值(3) 求z二上5的取值范围x +1(4) 求z- . x2 y2的最值(5) 求z =(x -2)2亠y2的最小值123 _答案：(1)Zmax=12,zmin=3 ；(2)zmax =8,zmin =-百；(3)【-2,二；(4)Zmax = 29,zmin= 2 ；510(5) z i25min 17x _335、 不等式组x y -0表示的平面区域的面积等于16x -y 2 _0四、曲线与方程36、 到x轴的距离等于它到直线y=6的距离的点的轨迹方程是( D )A. x = _3B.x =3C. y

17、-3D.y =337、方程(x2-4)22 2、2 -(x -y )所表示的曲线是(B)A.两个点B四个点C.两条直线D.四条直线38、与点A( -1,0)和点B(1,0)两点连线的斜率之积为-1的动点P的轨迹方程为(BA. x2 y2=1B . x2y2=1(x1)C .x2y2=1(x=0)D . y = . 1 _ x2五、圆、直线与圆的位置关系39、 求圆心在C(2,_1)，且截直线y=x_1所得弦长为2. 2的圆的方程(答案:(x -2) 2 (y - 1)2 =4)40、 一个圆经过P(2,_1)点，和直线x_y=1相切，并且圆心在直线y - _2x上，求它的方程(答案:(x -1)2 (y 2)2 =2 或(x _9)2 (y 18)2 =338)41、 已知圆的方程为 x2 y2 =25，过点P(-3，4)的圆的切线方程是 3x -4y *25=042、 已知圆的方程是(x -1)2 y2 =9，求过点(-2，4)的圆的切线方程(答案：x 2=0 或 7x 24y 82 =0)43、 设圆的方程为x2 (y