第一轮复习排列组合常见题型及解法

1、学习好资料欢迎下载排列组合常见题型及解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口，实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。一.处理排列组合应用题的一般步骤为： 明确要完成的是一件什么事（审题）有序还是无序分步还是分类。二处理排列组合应用题的规律（1）两种思路：直接法，间接法。（2）两种途径：元素分析法，位置分析法。1重复排列“住店法”重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题。例1 8名同学争夺3项冠军，

2、获得冠军的可能性有（）2. 特殊元素（位置）用优先法：把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），可优先将它（们） 安排好，后再安排其它元素。对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。例1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？例2 （2000年全国高考题）乒乓球队的 10名队员中有3名主力队员，派 5名参加比赛，3名主力队员要安排在第三、五位置，其余 7名队员选2名安排在第二、四位置，那么不同的出场安排共有 种（用数字作答）例3 5个“ 1”与2个“ 2”可以组成多少个不同的数列?3. 相邻问题用捆绑法：对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”

3、 “捆绑”为一个“大元素：与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。例1.5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？例2 （1996年上海高考题）有8本不同的书，其中数学书 3本，外文书2本，其他书3本，若将这些书排成一列放在 书架上，则数学书恰好排在一起，外文书也恰好排在一起的排法共有种（结果用数字表示）。4. 相离问题用插空法：元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素 插入已排好的元素位置之间和两端的空中。例5 （2003年北京春季高考题） 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目。如 果将这两个节目插

4、入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（）A 6 B 12 C 15 D 30学习好资料欢迎下载例3. 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？5. 定序（顺序一定）问题用除法：对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。例1、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（）（用数字作答）。例2.由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有 多少个？6. 多排问题用直排法：对于把几个元素分成若干排的排列问题，若没有其他特殊要求，可采取统一成 一排的方法求解。

5、例5. 9个人坐成三排，第一排2人，第二排3人，第三排4人，则不同的坐法共有多少种？7. 至少问题正难则反“排除法”：有些问题从正面考虑较为复杂而不易得出答案，这时，可以采用转 化思想从问题的反面入手考虑，然后去掉不符合条件的方法种数往往会取得意想不到的效果。在应用 此法时要注意做到不重不漏。例1.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有（） A. 150 种 B. 147 种 C. 144 种 D. 141 种8.先选后排“综合法”：“先选后排”是解排列组合问题的一个重要原则。一般地，在排列组合综合问题中，我们 总是先从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安

6、排到一定位置上。例.对某产品的6件不同正品和 4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止。若所有次品恰好在第5次时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能？9.递推法例八 一楼梯共10级，如果规定每次只能跨上一级或两级，要走上这10级楼梯，共有多少种不同的走法？10.用转换法解排列组合问题例.某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种.例2:个人参加秋游带10瓶饮料，每人至少带 1瓶，一共有多少钟不同的带法.例3.从1，2，3，1000个自然数中任取10个不连续的自然数，有多少种不同的去法.例4某城街道呈棋盘形，南北向大街5条，东西向大街

7、4条，一人欲从西南角走到东北角，路程最短的走法有多少.例5 一个楼梯共18个台阶12步登完，可一步登一个台阶也可一步登两个台阶，一共有多少种不同的走法.例6求（a+b+c） 10的展开式的项数.学习好资料欢迎下载例7亚、欧乒乓球对抗赛，各队均有5名队员，按事先排好的顺序参加擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者淘汰,胜者再与负方2号队员比赛，直到一方全被淘汰为止，另一方获胜，形成一种比赛过程那么所有可能出现的比赛过 程有多少种？11.错位排列问题：错位排列问题是一个古老的问题，最先由贝努利（Bernoulli ）提出，其通常提法是：n个有序元素，全部改变其位置的排列数是多少？所以称之为“错位”问题

8、。例1.五个编号为1、2、3、4、5的小球放进5个编号为1、2、3、4、5的小盒里面，全错位排列（即 1不放1 , 2不放2, 3不放3, 4不放4, 5不放5,也就是说5个全部放错）一共有多少种放法？例2.五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种?例3.同室四人各写一张贺卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的卡片，则不同的分配方法有1个，有多少种方法？）12.分球问题“隔板法”：常用于解决整数分解型排列、组合的问题。例1.求方程x+y+z=10的正整数解的个数。（即：10个相同的小球分给三人，每人至少例1.求方程x+y+z=10的非负整数解的个数。例.将20个相

9、同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数,求放法总数。例：为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添 2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？例.有10个三好学生名额，分配到6个班，每班至少1个名额，共有多少种不同的分配方案？ 解：6个班，可用5个隔板，将10个名额并排成一排，名额之间有 9个空，将5个隔板插入9个空, 每一种插法，对应一种分配方案，故方案有：|：（种）13 分球入盒问题例32:将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？ 小球不同，盒子不

10、同，盒子不空 小球不同，盒子不同，盒子可空 小球不同，盒子相同，盒子不空 小球不同，盒子相同，盒子可空 小球相同，盒子不同，盒子不空 小球相同，盒子不同，盒子可空 小球相同，盒子相同，盒子不空 小球相同，盒子相同，盒子可空例33、有4个不同的小球，放入 4个不同的盒子内，球全部放入盒子内（1 ）共有几种放法？（答：44）（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：c2a3 =144 ）（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答： 同上C：代=144 ）14分组问题与分配问题分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每

11、组个数 2，3，4。上述问题各有多 少种不同的分法？例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得 2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法?3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该例25 （06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资 外商不同的投资方案有（）A.16 种B.36种C.42种D.60种15.合并单元格解决染色问题得使用同一颜例7 （全国卷（文、理）如图1, 一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不 色，现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种（以数字作答）。16、比赛计数问题根据比赛规则，比赛计数问题主

12、要分为四类，每类比赛都有对应的解题方法，如下所示:霸决出冠军（或冠、亚军1祷决出第K 2.（或前四塔、比赛场庆比奏场次出赛粪型1循坏赛*单循坏赛|注意：单循环赛，即任意两队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题；双循环赛，即任意两个队打两场比赛,和顺序有关，所以是排列问题。例1. 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛多少场？（）A . 90 B . 95C. 98 D. 100例2足球世界杯决赛圈有 32支球队参加，先平均分成八组，以单循环方式进行小组赛；每组前两名的球队再 进行淘汰赛。直到产生冠、亚、季军，总共需要安排（）场比赛。A . 48 B . 63 C . 64 D . 6517.多元问题用分类法对于多个元素问题，有时有多种情况需要进行分类讨论， 然后根据分类计数原理将各种可能性相加 即得。需要注意的是，分类时要不重复不遗漏。例1在一块并排10垄的田地中，选择 2垄分别种植 A、B两种作物，每种作物种植一垄。为有利于作物生长， 要求A、B两种作物的间隔不小于 6垄，则不同的选垄方法共有 种例2有11名翻译人员，其中 5名英语翻译员，4名日语