阶微分方程及其建模方法

1、微分方程基础及其数学模型,解,一、微分方程的基本概念,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式,2、微分方程的定义,微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之,分类1: 常微分方程, 偏微分方程,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2,分类3: 线性与非线性微分方程,分类4: 单个微分方程与微分方程组,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之,微分方程的解的分类,3、主要问题-求方程的解,1)通解: 微分方程的解中

2、含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解,解的图象: 微分方程的积分曲线,通解的图象: 积分曲线族,初始条件: 用来确定任意常数的条件,过定点的积分曲线,一阶,二阶,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题,解,所求特解为,补充,微分方程的初等解法: 初等积分法,求解微分方程,求积分,通解可用初等函数或积分表示出来,可分离变量的微分方程,解法,为微分方程的解,分离变量法,1、可分离变量的微分方程,二、一阶微分方程的求解,例1 求解微分方程,解,分离变量,两端积分,解,由题设条件,衰变规律,整理可

3、得,的微分方程称为齐次方程,2).解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1).定义,2、齐次方程,例 1 求解微分方程,微分方程的解为,解,例 2 求解微分方程,解,微分方程的解为,一阶线性微分方程的标准形式,上方程称为齐次的,上方程称为非齐次的,例如,线性的,非线性的,3、一阶线性方程,齐次方程的通解为,1). 线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,使用分离变量法,2). 线性非齐次方程,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法,实质: 未知函数的变量代换,作变换,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,解,例1,微元分析法举例及其特点

4、 湖水污染和净化 化学反应动力学模型,三、微元分析建模方法,如图所示，一容器内，原有100毫升盐水，其中含盐50g，现以流速3毫升/分钟的速度向容器注入盐水，每毫升含盐量为2g。假定流入的盐水和容器内的盐水因搅拌而能瞬时混合均匀，并以同样的速度流出。 建立微分方程，描述容器中含盐量的变化过程，由此计算半小时后容器内剩多少公斤盐,微元分析法举例,解：设t时刻对应的含盐量为y(t) ，y(0)=50，（单位：g） 在任意一段时间内，都有平衡式： 容器内的盐的改变量=流进的盐量流出的盐量。 在tt+t时间段考虑容器内含盐量变化情况： 对应的盐的改变量=y=y(t+t)- y(t)； 流进盐量流出盐量

5、=3 t 2 3 t y(t)/100； 所以 y =6-3 y(t)/100 t， y /t =6-3 y(t)/100 ， 令t0，得微分方程 y =63y/100，且y(0)=50 利用分离变量法，可求出通解为 y=200 c e3t/100， 由初始条件y(0)=50，代入得c =150，所以容器含盐量的变化规律为： y= 200 150 e-3t/100， 当t=30分钟，y(30)=139克。 ？ 上述过程中，为什么要令t0,微元分析法的建模特点 在建立关于函数y=y(t)的微分方程时，常常让自变量在t,t+t的微小区间内活动（区间长度t也可记作dt，称为微元），而方程两端通常用来

6、描述函数y从t t+t 的改变量： 左=y =y(t+ t)y(t) -函数增量 右= f (t , y(t) t -利用问题所涉及的相关知识， 将函数值在t,t+t 内的改变量 用t的一次形式近似表示出来。 则 y /t = f (t , y(t) ，令t 0，得微分方程 d y / d t = f (t, y(t),由于我们描述的函数常常以时间为自变量，因此，用微元分析法建立的微分方程的左端项d y/ d t 的实际含义通常可理解为“速率” （即函数相对于时间的变化率） ，如： 移动速率；温度的冷却速率；化学反应速率；繁殖速率等等。 在这个意义上，微元分析法建立的微分方程又称“速率”方程。

7、 如上例中，可直接建立盐量改变的速率方程： 左=盐量的变化速率=dy/dt；右=盐量的流入速率-流出速率 则有：y =6-3y/100,一热水瓶内装有100摄氏度的热水，放在约20摄氏度的房间内，在24小时后，测得瓶内温度为50摄氏度。假定冷却的速率与温差成正比，试描述热水瓶温度的变化过程，并求出3小时后温度为多少,热水的冷却过程,解：设t时刻热水瓶内对应的温度为y(t)，y(0)=100，（单位：摄氏度） 由冷却定律，t 时刻的冷却速率和 当时热水瓶内温度与室内温度差成正比，设比例常数为k，则 dy/dt = k(y 20) 易求得通解 y(t)=c e kt + 20. 由条件y(0)=1

8、00，得c=80， 和y(24）=50，得k= -0.0409，所以y(t)=20+80 e -0.0409t . 当t=3小时，y(3)=90,y(t)=20+80 e -0.0409t,小时,摄氏度,湖水污染与净化 某工厂常年向一河流排污，该河流径直流过附近的一个很大湖泊，湖泊的容积q约为1015升，且湖泊的水位几乎终年保持不变。在给出合理的假设条件下，回答下列问题： （1）现环保部门在检测湖水质量时，发现湖水污染物的浓度p= 0.03mol/升，并呈逐年上升趋势。而该工厂声称其每年向河流中排放污染物为m=1.01012mol/年，且开工至今以来从未改变，已知河流的流v为1.91014升/

9、年。假设该声称属实，并且该河流为湖泊唯一水源，试推测该河流中还有其他未知污染源吗？ （2）若该工厂是湖泊的唯一污染源，按环保要求，湖水的污染物浓度不得超过0.001mol/升，则关闭该工厂，通过自然净化，至少需要多少年湖水才可能达到环保要求,模型的建立 假设：(i)流经湖泊的河流只有一条，湖水的水位终年不变，且不考虑蒸发、渗漏等因素，即流入水速和流出水速大致相等。 (iii)污染物易溶于水，且流入湖后，与湖水混合均匀所需的时间较短，本模型忽略不计。 记号： q-湖泊容积；v-河水流速； p-环保部门测定的污染物浓度,m-工厂排污的速率； M-向湖泊排污的速率,包括工厂排污和其它排污(若有的话)

10、. 设t时刻对应的污染物为y(t)， 记环保部门测定污染物浓度的时刻t=0，y(0)=p q (污染物含量单位：mol） 则建立微分方程为 d y/d t=Mv (y/q) 且y(0)=p q,模型求解并分析 求解微分方程可简化为 d y/d t= M k y，且y(0)=y0. 其中k=v/q；y0=p q. 利用变量分离法，可求得通解 y (t)=M / k c ekt， 由初始条件y(0)=y0，代入 c=M / k-p q, 所以湖水的污染物含量为 y(t)=M/k （M/k-p q） ekt. 问题1的回答 假定没有其它污染源，且工厂的声明属实，M=m. 代入m,v,q,p的具体数值

11、，得 y(t)=5.31012+ 2.51013 e0.19t 其函数图象如右,很显然，湖中污染物的含量将呈逐年下降的趋势，这与环保部门监测结果矛盾。 所以，没有其它污染源和工厂的声明属实的假定，二者至少有一不真。若工厂的声明属实，则有其它污染源,问题2的回答 若已知该工厂是湖泊的唯一污染源，则其声称有假。为了达到湖水的污染物浓度不得超过0.01mol/升，则关闭该工厂对湖水进行自然净化,下面我们描述在自然净化的情况下，湖水污染物含量y(t). 即上述模型中，M=0的情形，方程变为: d y/d t= k y， 且y(0)=pq. 其解为： y(t)= p q ekt， 即y(t)=31013

12、 e0.19t. 要达到环保部门要求， 31013 e0.19t /1015 0.001 解不等式：t18年. 可见污染容易，净化较难。 (左图为浓度变化曲线,年份,浓度,p(t)=0.03 e0.19t,化学反应动力学模型 在化学反应过程中，通常存在各化学成份的质的变化和量的变化。一般化学学科着重研究各化学成份性质的变化规律；而化学动力学则侧重于研究各化学成份数量的变化过程。 一个非常有效的手段就是建立该化学反应的微分方程，其中涉及到化学反应的速率问题，不难理解：参加化学反应的各物质浓度越大，反应速度将越快。 常见的如正比速度化学反应模型（即假定化学反应速度与各反应物的浓度成正比） 1.一级

13、反应 由一分子反应物A生成一分子产物 p 的反应：Ap. 设t时刻A的浓度为y(t)，由正比速度反应的假定，其方程为 d y / d t = k x ，x(0)=x0(初始浓度）。 其解为：x(t)= x0 ekt。 其中k称作反应速度常数，它决定各反应速度的快慢，是化学动力学研究的重要参数,2. 二级反应 由两分子反应物A、B生成一分子产物 p 的反应：A+B p. 设t时刻 A和B 的浓度分别为x(t)、y(t)，由正比速度反应的假定，可建立关于函数x(t)、y(t)的微分方程组： d x / d t = k x y ，x(0)=x0 dy / dt = k x y ，y(0)=y0 其解的 性态应不难讨论（略）. 特别地，A与B相同时，其反应式： 2A p. 设t时刻 A的浓度分别为y(t)，满足： dy / dt = k y2，y(0)=y0， 其解为： y(t)= y0 /(1+k y0 t). 多级反应，以此类推,3. 零级反应 若化学反应速度与反应物的浓度无关，即以恒速进行。 当反应物的浓度很大时，通常会出现零级反应，其反应物的浓度y(t)的微分方程为：d y/ dt=k， y(0)=y0. 其解为：