黄冈市2013年春季高二年级期末调研考试(理)

1、1 - 黄冈市黄冈市 2013 年春季高二年级期末调研考试年春季高二年级期末调研考试 数学试题（理科）数学试题（理科） 本试卷分第本试卷分第卷卷( (选择题选择题) )和第和第卷卷( (非选择题非选择题) )两部分两部分. .共共 150150 分分, ,考试时间考试时间 120120 分钟分钟. . 第第卷卷( (选择题共选择题共 5050 分分) ) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。一项是符合题目要求的。 ） 1、复数、复数 ( )

2、2 12 i i A B. C. D 43 55 i 43 55 i i i 2、若直线、若直线 的的方向向量为的的方向向量为,平面平面的法向量为的法向量为,则能使则能使的是的是( )la n lA A B (1,0,0),( 2,0,0)an (1,3,5),(1,0,1)an C D(3, 1,3),(0,3,1)an (0,2, 1),( 2, 1,2)an 3、已知条件、已知条件，条件，条件，则，则是是 q q 的（的（ ） 1 :1p x :| 1qx p A A充分不必要条件充分不必要条件 B B必要不充分条件必要不充分条件 C C充要条件充要条件 D D即非充分也非必要条件即非充

3、分也非必要条件 4、双曲线、双曲线的实轴长是虚轴长的的实轴长是虚轴长的 2 倍倍, ,则则 m 等于（等于（） 22 1xmy-= ABCD 1 4 4 1 2 2 5、演绎推理、演绎推理“因为对数函数因为对数函数是增函数是增函数,而函数而函数是对数函是对数函log(01) a yx aa且 1 2 logyx 数数,所以所以是增函数是增函数”所得结论错误的原因是所得结论错误的原因是( ) 1 2 logyx A大前提错误大前提错误B小前提错误小前提错误C推理形式错误推理形式错误D大前提和小前提错误大前提和小前提错误 6、如右图中阴影部分的面积、如右图中阴影部分的面积 S 是是的函数的函数(其

4、中其中),则该函数的大致图象为则该函数的大致图象为( )h0hH 7、抛物线、抛物线的焦点为的焦点为，点，点为该抛物线上的动点，又点为该抛物线上的动点，又点，则，则的的 2 4yx F ( , )P x y( 1,0)A | | PF PA - 2 - 最小值是最小值是（） ABCD 1 2 2 2 3 2 2 2 3 8、若函数、若函数为其定义域上的增函数，则实数为其定义域上的增函数，则实数的取值范围是（的取值范围是（ ） 2 ( )ln 2 x f xxaxa A B C D(0,)0,( 2,0)2, 9、某命题与正整数某命题与正整数 n n 有关，有关，若当若当 n=k（kN*）时该命

5、题成立，那么可推得当）时该命题成立，那么可推得当 n=k+1 时该命时该命 题也成立，现已知当题也成立，现已知当 n=7 时该命题不成立，那么可推得（时该命题不成立，那么可推得（） A当当 n=6 时该命题不成立时该命题不成立 B当当 n=6 时该命题成立时该命题成立 C当当 n=8 时该命题不成立时该命题不成立 D当当 n=8 时该命题成立时该命题成立 10、设定义在、设定义在上的函数上的函数是最小正周期为是最小正周期为的偶函数的偶函数, ,是是的导函数的导函数. .当当R xf2 x f xf 时时, ,; ;当当且且时时, ,. .则函数则函数, 0 x 10 xf, 0 x 2 x 0

6、 2 xfx 在在上的零点个数为（上的零点个数为（ ） xxfycos3 ,3 A4 B5 C6 D7 第第卷卷( (非选择题共非选择题共 100100 分分) ) 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填写在答题卡的相应位置。分，把答案填写在答题卡的相应位置。 ） 11、由曲线由曲线sin ,cosyx yx与直线与直线0, 2 xx 所围成的平面所围成的平面 图形图形( (右图中的阴影部分右图中的阴影部分) )的面积是的面积是_. 12、分别在曲线、分别在曲线与直线与直线上各取一点上各取一点与与, ,则则 x ye1yex

7、MN 的最小值为的最小值为_._.MN 13、已知、已知 a,b,c 是互不相等的正数，则使不等式是互不相等的正数，则使不等式 成立的最大实数成立的最大实数 m 为为_. 111m abbccaabc 14、在等比数列在等比数列中，若中，若是互不相等的正整数，则有等式是互不相等的正整数，则有等式成立成立. .类类 n a, ,r s t1 r ss tt r trs aaa 比上述性质，相应地，在等差数列比上述性质，相应地，在等差数列中中, ,若若是互不相等的正整数，则有等式是互不相等的正整数，则有等式 n b, ,r s t _成立成立. . 15、已知函数已知函数 2342013 ( )1

8、 2342013 xxxx f xx , , 2342013 ( )1 2342013 xxxx g xx , , 设函数设函数( )(3)(4)F xf xg x, ,且函数且函数( )F x的零点均在区间的零点均在区间 - 3 - ),(,Zbababa内内, ,则则ba的最小值为的最小值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ） 16、 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 已知已知的解集为的解集为 M,M,若若 a,bM,a,bM,证明证明: :. .|1|1

9、| 4xx2| |4|abab 178、 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板, ,其周长为其周长为 4 4 米米, ,这种薄板须沿其对角这种薄板须沿其对角 线折叠后使用线折叠后使用. .如图所示如图所示, ,为长方形薄板为长方形薄板, ,沿沿ACAC折叠后折叠后, ,交交DCDC于点于点P P. .当当()ABCD ABAD AB 凹多边形凹多边形的面积最大时制冷效果最好的面积最大时制冷效果最好. .ACB PD (1)(1)设设ABAB= =x x米米, ,用用x x表示图中表示图中DPDP的长度

10、的长度, ,并写出并写出x x的取值范围的取值范围; ; (2)(2)若要求制冷效果最好若要求制冷效果最好, ,应怎样设计薄板的长和宽应怎样设计薄板的长和宽? ? 18、 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 在棱长为在棱长为2的正方体的正方体 1111 DCBAABCD 中，中， FE, 分别为分别为 CDBA, 11 的中点的中点 （1）求直线）求直线EC与平面与平面所成角的正弦值；所成角的正弦值； 11 A ADD （2）求二面角）求二面角 BAFE 的余弦值的余弦值 A B CD B P - 4 - 19、 （本小题满分（本小题满分 12 分）分） 观察下列各式观察下列各式 1 1

11、 2 11 11 23 1111113 1 2345672 111 1.2 2315 1115 1. 23312 . （1）从上述不等式归纳出一个与正整数）从上述不等式归纳出一个与正整数有关的一般不等式；有关的一般不等式；n （2）证明你归纳得到的不等式）证明你归纳得到的不等式. 20、 （本小题满分（本小题满分 13 分）分） 如图，椭圆如图，椭圆 C：的左焦点为的左焦点为 F F1 1，右焦点为，右焦点为 F F2 2，离心率，离心率. .过过 F F1 1 22 22 1(0) xy ab ab 1 2 e 的直线交椭圆的直线交椭圆 C 于于 A A、B B 两点，且两点，且ABFABF

12、2 2的周长为的周长为 8.8. （）求椭圆）求椭圆 C 的方程的方程. . （）在椭圆）在椭圆 C 上是否存在一点上是否存在一点 M M，使，使 M M 到左准线的距到左准线的距 离离|MN|MN|是是|MF|MF1 1| |和和|MF|MF2 2| |的等比中项？若存在，求出的等比中项？若存在，求出 点点 M M 的坐标；若不存在，说明理由的坐标；若不存在，说明理由. . （）设是）设是 E,F 是椭圆是椭圆 C 上的两个动点，若上的两个动点，若和和 E 3 (1, ) 2 P 连线的斜率与连线的斜率与 P 和和 F 连线的斜率互为相反数，证明直线连线的斜率互为相反数，证明直线 EF 的斜

13、率为定值，并求出这个的斜率为定值，并求出这个 定值。定值。 21、 （本小题满分（本小题满分 14 分）分） 设函数设函数的图象在的图象在处的切线与直线处的切线与直线 322 ( )21(2)f xxmxm xm m 2x 垂直。垂直。5120 xy （1）求函数）求函数的单调区间与极值；的单调区间与极值；( )f x A C B1 C1 A1 B P - 5 - （2）设）设，若对任意，若对任意，存在，存在，使，使成成 1 ( )ln x g xx kx 1 0,1x 2 (0,1x 12 ()()f xg x 立，求实数的取值范围。立，求实数的取值范围。 黄冈市黄冈市 2013 年春季高二

14、年级期末调研考试年春季高二年级期末调研考试 参考答案（理科）参考答案（理科） 一、选择题一、选择题 DCAB ADBD AC 二、填空题二、填空题 11、2 22 12、 13、 14、 15、10 2 2 1 1 e e 9 2 ()()()0 trs rs bst btr b 提示：函数的导数为 20132013 232012 1 ()1 1 1 ()1 xx fxxxxx xx ，当时，(, 1)x ，当时，。又 111 11 10 232013 f 。当1x 时，( )f x A( 1,)x ( )f x A ( )0f x ，又(0)10f ，所以在( 1,0)上函数有且只有一个零点

15、，即3f x在( 4, 3)上函 数有且只有一个零点. ，当时， 2013 232012 (1) 1 1 x gxxxxx x (, 1)x ，当时，.当时，又( )g x A( 1,)x ( )g x A1x ( )0g x ，所以在(1,2)上函数( )g x有且只有一个零点，即 111 11 10 232013 g (2)0g 4g x在(5,6)上函数有且只有一个零点，又函数( )F x的零点均在区间),(,Zbababa内， 所以6,4ba ，即10ba，所以ba的最小值为 10. 三、解答题三、解答题 16、解：解：原不等式等价于原不等式等价于或或或或, , 3 分分 1 24 x

16、 x 11 24 x 1 24 x x 解得解得或或或或. .所以所以. . 6 分分21x 11x 12x( 2,2)M 22222222 4()(4)4164(4)(4)ababa babab ,. . 10 分分,a bM 22 4,4ab 22 (4)(4)0ab . . 12 分分 22 4()(4)2| |4|abababab 17、解解:(1):(1)由题意由题意, , ,. .因因, ,故故 2 分分ABx2BCx2xx12x 设设, ,则则. . DPyPCxy 因因, ,故故. . ADPCB PPAPCxy 由由 , ,得得 ( ().). 6 分分 222 PAADDP

17、 2221 ()(2)2(1)xyxyy x 12x (2)(2)记记的面积为的面积为, ,则则 ADPS ( ().). 8 分分 21114 (2)(1)(2)3() 22 Sxxxx xx 12x 于是于是, , 3 3 22 142 (2)02 2 x Sxx xx 关于关于的函数的函数在在上递增上递增, ,在在上递减上递减. . 所以当所以当时时, ,取得最大值取得最大值 xS 3 (1, 2) 3 ( 2,2) 3 2x S 故当薄板长为故当薄板长为米米, ,宽为宽为米时米时, ,制冷效果最好制冷效果最好. . 12 分分 3 2 3 22 - 6 - 18、解、解:（1）解法一：

18、建立坐标系如图）解法一：建立坐标系如图,平面平面的一个法向量为的一个法向量为 )0 , 1 , 0( 1 n .因为因为 11 A ADD )2 , 1 , 2(E)0 , 2 , 0(C ， )2, 1 , 2(EC ，可知直线，可知直线EC 的一个方向向量为的一个方向向量为 )2, 1 , 2(d .设直线设直线EC与平与平 面面成角为成角为，d与与 1 n 所成角为所成角为，则，则 11 A ADD 3 1 19 1 cossin 1 1 dn dn , 直线直线EC与平面与平面成角的正弦值为成角的正弦值为6 分分 11 A ADD 1 3 解法二：解法二：平面平面平面平面，直线直线EC

19、与平面与平面成角，即为直线成角，即为直线EC 11 A ADD 11 B BCC 11 A ADD 与平面与平面成角成角. 1 EB 平面平面 11BCC B ，即，即 CB1 为为EC在平面在平面 11BCC B 内的内的 11 A ADD 11 B BCC 射影，故射影，故 1 ECB 为直线为直线EC与平面与平面 11BCC B 所成角，在所成角，在 CEBRt 1 中，中， 22, 1EB 11 CB , 4 2 22 1 tan 1 1 1 CB EB ECB故 .直线直线EC与平面与平面成角的正弦值为成角的正弦值为 6 分分 11 A ADD 1 3 （2）解法一：建立坐标系如图平

20、面）解法一：建立坐标系如图平面ABCD的一个法向量为的一个法向量为 ) 1 , 0 , 0( 1 n 设平面设平面AEF的一个法向量为的一个法向量为 ),( 2 zyxn ，因为，因为 )0 , 1 , 2(AF ， )2 , 1 , 0(AE 所以所以 02 02 zy yx ，令，令 1x ，则，则 1, 2zy) 1, 2 , 1 ( 2 n 6 6 141 1 cos 21 21 nn nn 由图知由图知,二面角二面角 BAFE 为锐二面角，故其余弦值为为锐二面角，故其余弦值为12 分分 6 6 解法二：过解法二：过E作平面作平面ABC的垂线，垂足为的垂线，垂足为 E ， EEG 即为

21、所求即为所求 ABE ，过，过 E 作作AF的垂线设垂足为的垂线设垂足为G， ADF AGE 5 2 1 EG AF AD EA EG 即即 5 2 EG 在在 QEERt 中中 5tan EG EE EEG y x z - 7 - 所以二面角所以二面角的余弦值为的余弦值为. 12 分分EAFB 6 6 19、解：（、解：（1）由不等式构造的特点可以得到）由不等式构造的特点可以得到: 5 分分 * 1111 1.() 234212 n n nN （2）下面用数学归纳法证明）下面用数学归纳法证明 * 1111 1.() 234212 n n nN 当当时时,由题设可知由题设可知,显然成立显然成立

22、.1n 假设当假设当时时,有有成立成立. 7 分分nk 1111 1. 234212 k k 则当则当时时,1nk 左边左边= 11 11111111 1. 234212212221 kkkkk k 10 分分 2 111 . 2222 k kk kk 个 即即时时,不等式成立不等式成立.1nk 综上所述综上所述,对于一切正整数对于一切正整数,都有都有成立成立. 12 分分n * 1111 1.() 234212 n n nN 20、解：（、解：（）|AB|+|AF|AB|+|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=8|=8，即即|AF|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|+|AF|+|AF

23、2 2|+|BF|+|BF2 2|=8|=8， 又又|AF|AF1 1|+|BF|+|BF1 1|=|AF|=|AF2 2|+|BF|+|BF2 2|=2a.|=2a. 4a=8.a=2.4a=8.a=2. 2 分分 又又,c=1.,c=1. . . 1 2 c e a 22 3bac 故椭圆故椭圆 C C 的方程为的方程为. . 4 分分 22 1 43 xy （）假设存在满足题设的点）假设存在满足题设的点 M.由椭圆的第二定义可得由椭圆的第二定义可得, 1 |1 |2 MF e MN . 又又|MN|MN|是是|MF|MF1 1| |和和|MF|MF2 2| |的等比中项的等比中项, ,

24、1 | 2|MNMF 2 12 |MNMFMF . 2 112 4|MFMFMF 12 4| |MFMF 121 4 | 4|1 5 MFMFMFac 不存在点不存在点 M, 使使|MN|MN|是是|MF|MF1 1| |和和|MF|MF2 2| |的等比中项的等比中项. . 8 分分 （）设直线）设直线 PE 方程为：方程为：，代入，代入得得 3 (1) 2 yk x 22 1 43 xy 222 3 (34)4 (32 )4()120 2 kxkk xk 设设,因为点因为点在椭圆上，所以在椭圆上，所以(x ,y ) EE E(x ,y ) FF F 3 (1, ) 2 P , 10 分分

25、2 2 3 4()12 2 34 E k x k 3 2 EE ykxk 又直线又直线 PF 的斜率与的斜率与 PE 的斜率互为相反数，在上式中以的斜率互为相反数，在上式中以代代，可得，可得kk - 8 - , 2 2 3 4()12 2 34 F k x k 3 2 FF ykxk 所以直线所以直线 EF 的斜率的斜率 ()21 2 FEFE EF FEFE yyk xxk k xxxx 即直线即直线 EF 的斜率为定值，其值为的斜率为定值，其值为。 13 分分 1 2 21、解：（解：（1）， 22 ( )34fxxmxm 2 (2)1285fmm 。17mm 或 又又，. 2 分分2m 1m 由由,解得解得.列表如下列表如下: 2 ( )3410fxxx 12 1 1, 3 xx x 1 (, ) 3 1 3 1 ( ,1) 3 1 (1,) ( )fx 00 (