工程数学教案 (500字)

1、工程数学教案 (500字)ok3w_ads(“s004”);ok3w_ads(“s005”); 课 程 教 案 20112012学年第一学期 课 程 编 号 课 程 名 称 工程数学 主 讲 教 师 胡丽姣 职 称 助教 系（部）名称 公共课部 2011年09月28日 题目：数列极限的定义 函数的极限 课时：2 教学目的、要求： 理解数列极限的概念,会用数列极限的性质求一些数列的极限,理解函数极限的概念；会用函数极限的定义和性质求一些函数在某点处的极限； 重点：数列极限的定义，用数列极限的性质求一些数列的极限, 函数极限的定义，求函数在某点处的极限； 难点：计算数列极限, 函数在无穷远处的极限

2、的概念的理解。 内容： 1数列的定义 无穷多个数 是通项。 x1,x2,x3,?,xn,?按某些规律一个一个地进行排列，xn为数列的第n项，又 1?1?1111:1,?,?lim?0?n?n234n例：（1）?n?; 趋近于0 1111?1?1?1?:2,1?,1?,1?,?,1?,?lim?1?1?n?n234n?n?（2 ?; 趋近于1 （3）?2n?:2,4,6,8,?,2n,? 1?1?:2,0,2,0,?,2,0,? （4）?n?1 （5）?C?:C,C,?,C,?C是常数? n?limC?C 分析以上五个数列的特性，得出数列的极限概念。 2、极限的定义：设有数列?xn?，A为常数，

3、当n无限增大时，xn无限趋近于A，则数列极 ?xn?收敛于A。记为 限存在或收敛，极限是A或n?limxn?A或xn?A?n? 若?xn?极限不存在，则?xn?发散。 x1,x2,x3,?,xn,?在数轴上一一表示出来，当n无限增大时，数数列的几何解释：将A及 列?xn?对应的点xn聚集在A点附近且无限趋近于A点。 ?xn?单调增加； x1?x2?x3?xn?，则单调数列： ?xn?单调减少； x1?x2?x3?xn?，则?xn?严格单调增加； x1?x2?x3?xn?，则 ?xn?严格单调减少。 x1?x2?x3?xn?，则 ?1? 例，?n? 3、数列极限的性质：（1）若收敛，则极限唯一。

4、 （2）若数列收敛，则有界。 1?1?。 注：有界数列不一定有极限，如?n?1 （3）单调有界数列必存在极限。 4、收敛数列运算法则：（1）若lixnm?A，liymn?B,n?n?则lim(xn?yn)?limxn?limyn?A?Bn?n?n?。 n n?n?1例： lim （2）若n?limxn?A，limyn?B,n?则n?lim(xnyn)?(limxn)(limyn)?ABn?n?。 3clim;(c为常数，k为正整数)n?n2n?nk例： 推广：。 lim （3）若n?limxn?A，limyn?B?0,n?则limxnAxnlim()?n?n?ylimynBnn?。 例2n2?

5、3n?2limn?n2?1， a0nk?a1nk?1?a2nk?2?aklim,(k,m?,k?m),ai,bj(i?0,1,2,?k,j?0,1,2,mm?1m?2n?bn?bn?b2n?bm01 ?,m)是与n无关的常数，a0?0,b0?0. x?x0时函数f(x)的极限 讨论抛物线y?x2在x?2处的切线的斜率问题。 定义：设函数f(x)在x0的附近（在点x0也可以无意义）有定义，A是一个确定的常数若当x无限趋近于x0时，函数f(x)无限趋近于常数A，则称A是 函数f(x)在点x0的极限（或f(x)在点x0的极限存在），记为 x?x0limf(x)?A或f(x)?A (x?x0) 两个常

6、用结论：（1）limC?CC为常数； x?x0? （2）limx?x0. x?x0 例：（1）lim 2.单侧极限 x-41limsinxlimsin （2） （3） x?ax?4x2?16x?0x 左极限 如果函数f(x)当x从x0的左侧(即x?x0)趋于x0时以A为极限，则A称为f(x)在x0 f(x)?A或f(x0?0)?A lim?x?x0 右极限 如果函数f(x)当x从x0的右侧(即x?x0)趋于x0时以A为极限，则A称为f(x)在 x0 x?x0?limf(x)?A或f(x0?0)?A 左极限与右极限皆称为单侧极限，它与函数极限(双侧极限)有如下关系： x?x0limf(x)?A的

7、充要条件是f(x0?0)?f(x0?0)?A 3.x?时函数f(x)的极限 例。讨论函数f(x)? 的变化情况。 函数在正无穷远处的极限：limf(x)?A或者f(x)?A (x?)。 x?1，当（1）x?0,?；（2）x?,0?;(3) x?,? x 函数在负无穷远处的极限：limf(x)?A或者f(x)?A (x?-?)。 x?-? 函数在负无穷远处的极限：limf(x)?A或者f(x)?A (x?)。 x? 题目：无穷大与无穷小，函数极限的运算法则，符合函数的极限，两个重要极限。 课时：2 重点：掌握极限的性质及四则运算法则。 了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要

8、极限求极限的方法。 理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 难点：无穷小的比较方法，两个重要极限的灵活运用。 内容： 1. 无穷小的定义：如果在自变量x的某种趋向下，函数f(x)以0为极限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量。（书中例子） 注意：无穷小时一个以0为极限的函数，不能把它与很小的常数等同，在常数中（除0外）没有无穷小 无穷小的性质： (1) 有限个无穷小的代数和是无穷小。 (2) 有界函数与无穷小的乘积还是无穷小。 2. 无穷大的定义：如果在自变量x的某种趋向下，函数f(x)的绝对值以?为极限，则称在 （书中例子） x的这种趋向下，函数f(

9、x)是无穷大量。 注：这时函数的极限不存在但仍记做limf(x)?，表示函数在x的变化过程中的变化趋x?x0 势。 无穷大的性质： （1） 两个无穷大的乘积仍然是无穷大。 （2） 有界函数与无穷大的和是无穷大； （3）无穷小和无穷大的关系 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1为无穷小；反之，如果f(x)f(x) 为无穷小，且f(x)?0则1为无穷大 f(x) 即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当xn?0时：有 lim?0?limx?1? x?xn 3. 无穷小的比较： 设f(x)和g(x)都是同一变化过程下的无穷小，且g(x)?0。 （1） 若limf(x)?0，则称f(

10、x)是关于g(x)的高阶无穷小，记为f(x)?(g(x)，g(x) 也称g(x)是关于f(x)的低阶无穷小； （2） 若limf(x)f(x)?a?0，则称f(x)和g(x)是同阶无穷小，特别当lim?1，则g(x)g(x) 称f(x)和g(x)是等价无穷小，记为f(x)g(x)。 分析书中例题。 4. 函数极限的运算法则 定理1.9 若limf(x)?A，limg(x)?B，则有： x?x0x?x0 x?x0lim(f(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?A?B； x?x0x?x0 x?x0lim(f(x)?g(x)?limf(x)?limg(x)?AB； x?xx?x00 li

11、mf(x)?f(x)?xA?x0?lim?(limg(x)?B?0)。 x?x0?g(x)?limg(x)Bx?x0?x?x0 推论1.3 黑板演示书中例题1.10，1.11，1.12. 5.复合函数的极限运算法则 回忆初等函数，复合函数的概念 设函数y?fg(x)是由函数y?f(u)与u?g(x)复合而成，fg(x)在点x0的 某去心邻域内有定义，若limg(x)?u0，limf(u)?A，且存在?0?0，当x?x?x0u?u0u(x0,?0)0 时，有g(x)?u0，则 x?x0limfg(x)?limf(u)?Au?u0 6.两个重要极限 通过书中的表格分析推出该结论。 （1）limsi

12、nx?1 x?0x 例： limtanx1?cosx lim 2x?0x?0xx arcsinxlim x?0x 1x) x 1（2）lim(1?x?1x例：lim(1?)，lim(1?x)x x?0x?x 分析书中例题。 题目：函数的连续性 课时：2 重点：理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、 最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 难点：判别函数间断点的类型，应用函数的性质解题。 内容： 1.左连续，右连续 左连续的定义：若函数f在点x0有f(x0?0)?f(x0)，则称函

13、数f在点x0左连续； 右连续的定义：若函数f在点x0有f(x0?0)?f(x0)，则称函数f在点x0右连续； 连续的定义：函数f在点x0连续，当且仅当该点的函数值f(x0) 、左极限f(x0?0)与右极限f(x0?0)三者相等： f(x0?0)?f(x0)?f(x0?0) 或者：当且仅当函数f在点x0有极限且此极限等于该点的函数值 。 limf(x)?f(x0) x?x0 函数在区间（a,b）连续指：区间中每一点都连续。 函数在区间a,b连续指在区间（a,b）连续，且在左端点处右连续，在右端点处左连续。 注：左右连续，在区间上连续(注意端点) 连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线 连续函数的

14、四则运算： 1）.limx?x0f(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)， x?x0 ?f(x)?g(x)?f(x0)?g(x0) ?lim?x?x0 2）.limx?x0f(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)， x?x0 0lim?f(x)?g(x)?f(x0)?g(x0) ?x?x 3). x?x0limf(x)?f(x0)且limg(x)?g(x0)?0， x?x0 ?limx?x0f(x)f(x0)? g(x)g(x0) 并且连续的，x?Df是严格单调增加（减少） ?12.反函数连续定理：如果函数f:y?f(x)则存在它的反函数f 连续的。 注： 1）反函数的定义域就

15、是原来的值域。 ?1：x?f?1(y)y?Df并且f也是严格单调增加（减少）并且 2）通常惯用X表示自变量，Y表示因变量。反函数也可表成 y?f?1(x)x?Df?1 3. 复合函数的连续性定理： 设函数f和g满足复合条件?g?Df，若函数g在点x0连续；g(x0)?u0，又若函数f在点u0连续，则复合函数f?g在点x0连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： x?x0limf(g(x)?f(limg(x) x?x0 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且：初等函数在其定义区间内连续。 4.间断点 若：f(x0?0)?f(x0)

16、?f(x0?0)中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、 第一类间断点： f(x0?0)?f(x0?0) 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 例：见教材。 2 、第二类间断点x0：左极限f(x0?0)与右极限f(x0?0)两者之中至少有一个不存在 例：见教材。 3.若f(x0?0)?f(x0?0)，但f(x0?0)?f(x0)，且f(x0?0)?f(x0)，则称x0是函数f(x)的可去间断点。 例：见教材。 5.闭区间上连续函数的性质 1）、（有界性定理）：如果函数f在闭区间?a,b?上连续，则它在?a,b?上有界。 2).（最大、最小值定理）设函数：y?f(x),x?D在上有界，现在问在值域 D1?yy?f(x),x?D? 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点x0?D的函数值 y0?f(x0)，则记y0?max?f(x)?叫做函数在D上的最大值。 x?D 类似地，如果 Df中有一个最小实数，譬如说它是某个点x