数列知识点归纳及习题总结

1、等差与等比数列知识与方法总结一、知识结构与要点定义 通项等差中项 a、b、c成等差基本概念 推广 前n项和等差数列 当d0(0) 时为递增（减）数列 当d=0时为常数 基本性质 与首末两端等距离的项之和均相等 中共成等差则也成等差定义: 通项 等比中项：a b c成等比数列基本概念 推广前n项和 等比数列 与首末两端等距离的两项之积相等 成等比，若 成等差则 成等比 基本性质 当 或 时 为递增数列 当 或 时 为递减数列 当 q0时 为摆动数列 当 q=1时 为常数数列二、等差数列、等比数列基础知识与方法概括（一）一般数列数列的定义及表示方法；数列的项与项数；有穷数列与无穷数列；递增（减）、

2、摆动、循环数列；数列an的通项公式an；数列的前n项和公式Sn；一般数列的通项an与前n项和Sn的关系： （二）等差数列1等差数列的概念定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。 即：2等差数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列。 （2）等差中项法：对于数列，若，则数列是等差数列。3等差数列的通项公式如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为。说明：该公式整理后是关于n的一次函数。4等差数列的前n项和 （1） （ 2.） 说明对于公式2整理后是关于n的没有常数

3、项的二次函数。5等差中项如果，成等差数列，那么叫做与的等差中项。即：或说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。6等差数列的性质（1）等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有（2）.对于等差数列，若，则。也就是：，如图所示：（3）若数列是等差数列，是其前n项的和，那么，成等差数列。如下图所示：（4）设数列是等差数列，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和，则有如下性质：奇数项 偶数项 所以有 ； 所以有（5）若等差数列的前项的和为，等

4、差数列的前项的和为，则。（三）等比数列1等比数列的概念定义：等比中项如果在与之间插入一个数，使，成等比数列，那么叫做与的等比中项。也就是，如果是的等比中项，那么，即。2等比数列的判定方法（1）定义法：对于数列，若，则数列是等比数列。 （2）等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。3.等比数列的通项公式如果等比数列的首项是，公比是，则等比数列的通项为。4.等比数列的前n项和5.等比数列的性质（1）等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第项，且，公比为，则有（2）.对于等比数列，若，则也就是：。如图所示：（3）若数列是等比数列，是其前n项的和，那么，成等比数列。如下图所示：

5、三、数列的通项求法1.等差，等比数列的通项；2.3.迭加累加 ，迭乘累乘， ， ， ， ， ， 注：4. 数列间的关系(1) (2)（3）递推数列能根据递推公式写出数列的前n项由 解题思路：利用 变化（）已知 （）已知若一阶线性递归数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；四、数列的求和方法（详细讲解见六）1.等差与等比数列求和公式2.裂项相消法： 如：an=1/n(n+1)3.错位相减法：, 所以有如：an=(2n-1)2n4.倒序相加法：如已知函数求：。5.通项分解法：如：an=2n+3n五、其它方面1、在等差数

6、列中,有关Sn 的最值问题常用邻项变号法求解：(1)当,d0时，满足 的项数m使得取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。2、三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,a+d,a+3d3、三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (为什么？)4、求数列an的最大、最小项的方法： an+1-an= 如an= -2n2+29n-3 (an0) 如an= an=f(n) 研究函数f(n)的增减性 如an=六、专题讲座一 数列求和题的基本思路和常用方法一、利用常用求和公式求和 1、 等差数列求和

7、公式： 2、等比数列求和公式：3、 4、5、 例1 已知数列，（x0），数列的前n项和，求。解：当x=1时， 当x1时，为等比数列，公比为x由等比数列求和公式得 （利用常用公式） 【巩固练习】1：已知数列的通项公式为，为的前n项和，（1）求； （2）求的前20项和。 解：二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列anbn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列.例2 求和：（）当x=1时，当x1时， . 两边同乘以x得 （设制错位）得 （错位相减）再利用等比数列的求和公式得： 【巩固练习】2：求数列前n项的和.解：由题可知，的

8、通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积设 （设制错位）得 （错位相减） 三、反序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3 求证：证明： 设. 把式右边倒转过来得 （反序） 又由可得 . +得 （反序相加） 【巩固练习】3：求的值解：设. 将式右边反序得 （反序） 又因为 +得 （反序相加）89 S44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.形如：的形式，其中 an 、 bn 是等差数列、等比数列

9、或常见的数列.例4 求数列的前n项和：，解：设将其每一项拆开再重新组合得 （分组）当a1时， （分组求和）当时，【巩固练习】4：求数列n(n+1)(2n+1)的前n项和.解：设 将其每一项拆开再重新组合得 Sn （分组） （分组求和） 五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：（1） （2）（3） （4）（5）(6) （7）（8）= （9）例5 求数列的前n项和.解： （裂项）则 （裂项求和） 【巩固练习】5：在数列an中，又，求数列bn的前n项的和.解： （裂项

10、） 数列bn的前n项和 （裂项求和） 求证：解：设 （裂项） （裂项求和） 原等式成立 求和：六、合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn. 例6 求cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179的值.解：设Sn cos1+ cos2+ cos3+ cos178+ cos179 （找特殊性质项）Sn （cos1+ cos179）+（ cos2+ cos178）+ （cos3+ cos177）+（cos89+ cos91）+ cos9 （合并求和） 0【巩固练习】6：在各项均为正数的等比数

11、列中，若的值.解：设由等比数列的性质 （找特殊性质项）和对数的运算性质 得（合并求和） 10七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例7 求之和.解：由于 （找通项及特征） （分组求和）【巩固练习】7： 已知数列an：的值.解： （找通项及特征） （设制分组） （裂项） （分组、裂项求和）高考递推数列题型分类归纳解析 类型1 解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。例1. 已知数列满足，求。变式: 已知数列，且a2k=a2k1+(1)k, a2k+1=a2k+3k, 其中k

12、=1,2,3,.（I）求a3, a5；（II）求 an的通项公式.类型2 解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例1:已知数列满足，求。例2:已知， ，求。变式:（2004，全国I,理15）已知数列an，满足a1=1， (n2)，则an的通项 类型3 （其中p，q均为常数，）。解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。例:已知数列中，求.变式:（2006，重庆,文,14）在数列中，若，则该数列的通项_变式:（2006. 福建.理22.本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；（II）若数列bn滿足证明：数列bn是等差数列；（）

13、证明：类型4 （其中p，q均为常数，）。 （或,其中p，q, r均为常数） 。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再待定系数法解决。例:已知数列中，,，求。变式:（2006，全国I,理22,本小题满分12分）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为其中s，t满足解法二(特征根法)：对于由递推公式，给出的数列，方程，叫做数列的特征方程。若是特征方程的两个根，当时，数列的通项为，其中A，B由决定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）；当时，数列的通项为，其中A，B由决

14、定（即把和，代入，得到关于A、B的方程组）。解法一（待定系数迭加法）:数列：， ，求数列的通项公式。例:已知数列中，,，求。变式:1.已知数列满足（I）证明：数列是等比数列；（II）求数列的通项公式；（III）若数列满足证明是等差数列 2.已知数列中，,，求3.已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。类型6 递推公式为与的关系式。(或)解法：这种类型一般利用与消去 或与消去进行求解。例：已知数列前n项和.（1）求与的关系；（2）求通项公式.（2）应用类型4（其中p，q均为常数，）的方法，上式两边同乘以得：由.于是数列是

15、以2为首项，2为公差的等差数列，所以变式:（2006，陕西,理,20本小题满分12分) 已知正项数列an，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列an的通项an 变式: (2005,江西,文,22本小题满分14分）已知数列an的前n项和Sn满足SnSn2=3求数列an的通项公式.类型7 解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列。例:设数列：，求.变式:（2006，山东,文,22,本小题满分14分）已知数列中，在直线y=x上，其中n=1,2,3 ()令 ()求数列()设的前n项和,是否存在

16、实数，使得数列为等差数列？若存在试求出 不存在,则说明理由.类型8 解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为，再利用待定系数法求解。例：已知数列中，求数列变式:（2005，江西,理,21本小题满分12分）已知数列（1）证明 （2）求数列的通项公式an.变式:（2006,山东,理,22,本小题满分14分）已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1 类型9 解法：这种类型一般是

17、等式两边取倒数后换元转化为。例：已知数列an满足：，求数列an的通项公式。变式:（2006，江西,理,22,本大题满分14分）1.已知数列an满足：a1，且an（1） 求数列an的通项公式；（2） 证明：对于一切正整数n，不等式a1a2an2n！2、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式。3、已知数列满足时，求通项公式。4、已知数列an满足：，求数列an的通项公式。5、若数列a中，a=1，a= nN，求通项a 类型10 解法：如果数列满足下列条件：已知的值且对于，都有（其中p、q、r、h均为常数，且），那么，可作特征方程,当特征方程有且仅有一根时,则是等差数列;当特征方程有两个相异的根、时，则是等比数列。例：已知数列满足性质：对于且求的通项公式. 例：已知数列满足：对于都有（1）若求（2）若求（3）若求（4）当取哪些值时，无穷数列不存在？变式:（2005，重庆,文,22,本小题满分12分）数列记（）求b1、b2、b3、b4的值； （）求数列的通项公式及数列的前n项和类型11 或解法：这种类型一般可转化为与是等差或等比数列求解。例：（I）在