曲线积分与曲面积分

1、曲线积分与曲面积分,实验目的,学习用软件计算曲线积分、曲面积分,实验内容,曲线积分,1、对弧长的曲线积分,若L： t，则,若L： t，则,例1计算 ， 为 x2+y2=a2 中的 一段弧,解 方法：选x 为参数，则,y,x,A,B,0,方法：选y为参数，则,方法：选t为参数，则有参数方程,syms t I=int(x*y*sqrt(diff(x)2+diff(y)2), atan(sqrt(3),pi/2,运行结果： I =1/8*a2*(a2)(1/2) I=simple(I) 运行结果： I=1/8*a3,2、对坐标的曲线积分,L是二维有向曲线： t,是三维有向曲线,t,例2计算x3dx+

2、3zy2dy-x2ydz，其中 是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0） 的直线段,解直线段 的方程为 化为参数方程 t：10,syms t x=3*t; y=2*t; z=t; I=int(x3*diff(x)+3*z*y2*diff(y) -x2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： I =-87/4,3、格林公式,设闭区域D由分段光滑的曲线L围成， 函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶 连续偏导数，则有,其中L是D的取正向的边界曲线,例3计算曲线积分 L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy， 其中L是区域0 x1，0y1的边界 正向。 解令P（x,y）=x2+xy Q

3、（x,y）=x2+y2 由格林公式得,syms x y P=x2+x*y; Q=x2+y2; I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： I =1/2,二、曲面积分,1 、对面积的曲面积分,若曲面的方程为:z=z(x,y),则,例4计算曲面积分 其中为锥面 被曲面x2+y2=2ax 所截得的部分,解：步骤,1)由的参数方程 作曲面的图形和在xoy平面的投影 区域Dxy的图形,0t2,2)建立直角坐标系下的被积函数,3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分,5)化简积分结果,程

4、序,2、对坐标的曲面积分,化为二次积分,例5计算 ，其中是上半球面 的上侧,解步骤： 1、作上半球面的图形及其在三个坐标 平面的投影图形； 2 、计算,II1I2I3,3、高斯公式设空间闭区域是由 分片光滑的闭曲面所围成，函数 p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在上具有一 阶连续导数，则有,例6用高斯分式计算例5,解分析：积分曲面不是封闭 曲面，添加平面1:z=0 使构成封闭 曲面1。 步骤,1)计算沿封闭曲面的积分 令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,2)计算1上的曲面积分,3,syms a x y z s r t P=x*z2; Q=x2*y-z2;

5、R=2*x*y+y2*2; f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z); f=subs(f,x,y,z,r*sin(s)*cos(t), r*sin(s)*sin(t),r*cos(s); I1=int(int(int(f*r2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： I1 =2/15*a5*pi,I2=int(int(2*x*y,y,-sqrt(a2-x2), sqrt(a2-x2),x,-a,a) 运行结果： I2 =0 I=I1-I2 运行结果： I = 2/15*a5*pi,上机实验题,1、计算下列曲线积分,其中L为摆线一x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0t2,其中L为圆周x2+y2=a2,直 线y=x及轴在第一象限内所围成的 扇形的整个边界,其中L是抛 物线y=x2上从点（1,1）到点（1,1） 的一段弧,其中L为圆周(x-1)2+y2=2， 逆时针方向,2 、计算下列曲面积分,其中为平 面2