导数在研究函数几何性态中的应用

1、导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.4 函数的单调性,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性,例如,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,曲线的凹凸与拐点,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,曲线的凹凸与拐点,曲线拐点的求法,例,解,注意,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3

2、.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.6 曲线作图,函数的作图需要研究函数的几何性态, 是导数应用的综合考察,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,极小值,单减,单增,拐点,拐点,拐点,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,3.4.1 函数的单调性的判断,例2,解,3.4.2 单调区间求法,如右图，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间 内是单调的，则该区间称为函数的单调区间,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分

3、界点,方法,解,单调区间为,3.4.3利用函数的单调性证明不等式,3.4.4利用函数的单调性证明方程仅有一根,曲线的拐点及其求法,1、定义,2、拐点的求法,例2,解,凹的,凸的,凹的,拐点,拐点,注：拐点是曲线上的点,从而拐点的坐标需用横坐标与纵坐标同时表示,不能仅用横坐标表示.这与驻点及极值点的表示方法不一样,例2,方法2,例3,解,例5 判断曲线 的凹性, 并求其拐点,思考题,思考题解答,例,曲线凹凸的定义,问题:如何研究曲线的弯曲方向,图形上任意弧段位 于所张弦的上方,图形上任意弧段位 于所张弦的下方,利用函数的凹凸性证明不等式,P.200 第2题,例6,例6,证,利用函数的凹凸性证明不

4、等式,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.5 函数的极值,极大值: f(x2), f(x5);极大值点: x2和x5,极小值: f(x1), f(x4) , f(x6); 极小值点: x1, x4和x6,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.5 函数的极值,极大值: f(x2), f(x5);极大值点: x2和x5,极小值: f(x1), f(x4) , f(x6); 极小值点: x1, x4和x6,定理3.5.1,定义

5、,曲线的凹凸与拐点,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.5 函数的极值,不是极值点情形,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.5 函数的极值,例,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点,3.5 函数的极值,求极值的步骤,3.5 函数的极值,极大值,极小值,3.5.3 小结,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值,驻点和不可导点统称为临界点,函数的极值必在临界点取得,判

6、别法,第一充分条件,第二充分条件,注意使用条件,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,函数的最值,步骤,1.求嫌疑点,2. 比较区间端点及嫌疑点的函数值,3. 最大的就是最大值,最小就是最小值,注意,对于实际问题，如果区间内部只有一个极值,则这个极值就是最值,步骤,1.求嫌疑点,2. 比较区间端点及嫌疑点的函数值,注意,3. 最大的就是最大值,最小就是最小值,对于实际问题，如果区间内部只有一个极值,则这个极值就是最值,最大值或最小值,函数的最值,求函数的最值,例1,解,计算,比较得,实际问题求最值应注意

7、,1)建立目标函数,2)求最值,例2,解,在开区间上如何求最值？有这样的结论，实际问题中：可知有最小（大）值存在而函数只有一个极小（大）值，则这个极小（大）就是最小（大）值,注意：最值与极值的关系,小结,注意最值与极值的区别,最值是整体概念而极值是局部概念,实际问题求最值的步骤,思考题,思考题解答,结论不成立,因为最值点不一定是内点,例,在 有最小值，但,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.6 曲线作图,函数的作图需要研究函数的几何性态, 是导数应用的综合考察,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单

8、增,单减,极小值,单减,单增,拐点,拐点,拐点,3.6 函数图形的描绘,图形描绘的步骤,3.6.1 渐近线,3.6.3 作图举例,例2,解,非奇非偶函数, 无周期性,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,拐点,极小值点,作图,拐点,极小值点,思考题解答,思考题,练 习 题,练习题答案,1图,2图,二,三,3.6.2 图形描绘的步骤,拐点,极大值,极小值,3.6.3 作图举例,列表,拐点,极大值,极小值,例3,解,偶函数, 图形关于y轴对称,拐点,极大值,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点,拐点,3.6.4 小结,函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导数应用的综合考察,极大

9、值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,导数与函数几何性态的关系,3.4 函数的单调性 曲线的凹凸与拐点 3.5 函数的极值 函数的最值 3.6 曲线作图 3.7 曲率,3.7 曲率,第七节 曲率,一、弧微分 二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径 四、小结,在生产实践和工程技术中，常常需要研究曲线的弯曲程度，例如，设计铁路、高速公路的弯道时，就需要根据最高限速来确定弯道的弯曲程度,一、弧微分,规定,单调增函数,如图,弧微分公式,例如，铁轨的曲率就是个关键问题,曲率,曲线弯曲的程度,曲率,曲线弯曲的程度,再看同一条曲线,M1,M2,M3,曲率,曲线弯曲的程度,M1,M2,M3,曲率,曲线弯曲的程度,M1,M2,M3,1 与切线转角成正比,曲率,曲线弯曲的程度,A,B,B,1 与切线转角成正比,S,2 与曲线弧长S成反比,S,故定义曲线AB平均曲率,曲线弯曲的程度,曲率,A,二、曲率,返回定义,设曲线C是光滑的,定义,曲线C在点M处的曲率,二、曲率 (定义为正的值,例子,注意,1) 直线的曲率处处为零,2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径越小曲率越大,即直线不弯曲,2、曲率的计算公式,例1,解,显然,定义,三、曲率圆与曲率半径,三、曲率圆与曲率半径,例2,解,设Q为座椅对飞行员的反力, P为飞行员的体重,视