积分敛散性的判断

1、.目 录摘要.2引言.31无穷积分.51.1无穷积分的概念.51.2无穷积分敛散性的柯西准则 .51.3无穷积分敛散性的比较判别法.61.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.72瑕积分.82.1瑕积分的定义.92.2瑕积分的敛散性的比较判别法. .102.3.瑕积分敛散性的柯西判别法.102.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法. .123瑕积分与无穷积分之间的关系. .13总 结. .13参考文献. .14判断反常积分敛散性的方法谢鹏 数学与计算机科学学院 摘 要： 反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及

2、绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法On Convergence of The Method of Judging Abnormal IntegralName of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer ScienceAbstract: The convergence of improper

3、integrals is one of the difficulties in mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. Whats more, it also describes the concept of absolute convergence and con

4、ditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison Tests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function, Dirichlet, Abel Discriminant discri

5、minant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better.Key words: Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flaw integral1 引言定积分有两个明显的缺陷：其一,积分区间必须是有限区间；其二,若,则,使得对于任意的,（即有界

6、是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十

7、分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述： 例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解 设地球半径为，火箭质量为，地面上的重力加速度为，按万有引力定律，在距地心处火箭受到的引力为于是火箭上升到距地心处需作的功为.当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功再由能量守恒定律，可求得初速度至少应使 . 例2 圆柱形桶的内壁高为,内半径为,桶底有一半径为的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解 由物理学知

8、识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为,其中为重力加速度.设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系：由此得所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：.但是，被积函数在上是无界函数，所以它的确切含义应该是.相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1 无穷积分1.1 无穷积分的概念设函数在上有定义 . 且 ,记称之为在上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积分发散 .类似地，可定义在(上的无穷积分：对于在()上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：其中为

9、任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 注1 无穷积分的收敛性与收敛时的值,都和实数的选取无关. 注2 由于无穷积分是由,来定义的,因此,在任何有限区间上,首先必须是可积的. 注3 收敛的几何意义是：若在上为非负连续函数，则介于曲线，直线以及轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积 由定义知道，无穷积分收敛与否，取决于积分上限函数在时是否存在极限因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则1.2 柯西准则 无穷积分收敛的充要条件是：任给0，存在G，只要，便有 此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质； 性质1若与都收敛，,为任意常数，则也收

10、敛，且 性质2 若在任何有限区间)上可积，且有收敛，则亦必收敛，并有 证 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给，存在G，当时，总有 .利用定积分的绝对值不等式，又有.再由柯西准则(充分性)，证得收敛又因，令 取极限，立刻得到不等式.当收敛时，称为绝对收敛性质2指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛1.3比较判别法 首先给出无穷积分的绝对收敛判别法由于关于上限是单调递增的，因此收敛的充要条件是存在上界根据这一分析，便立即导出下述比较判别法： 定理1(比较法则) 设定义在)上的两个函数和都在任何有限区间上可积，且满足 则当收敛时必收敛

11、(或当发散时，必发散) 例3 讨论的收敛性解 由于，而为收敛，故为绝对收敛当选用作为比较对象时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法) 推论1 设定义于 ()，且在任何有限区间上可积，则有： (i)当 ,且时, 收敛; (ii)当且时, 发散.推论2 设定义于)，在任何有限区间上可积，且则有：(i)当 时, 收敛; (ii)当 时, 发散.推论3 若和都在任何)上可积，且则有 (i)当时，由收敛可推知也收敛；(ii)当时，由发散可推知也发散.1.4狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法定理(狄利克雷判别法) 若在)上有界，在上当时单调趋于，则无穷积分收敛 定

12、理(阿贝尔(Abel)判别法) 若收敛，在)上单调有界，则无穷积分收敛 用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 例4 讨论与的收敛性 解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论下面分两种情形来讨论： (i)当1时绝对收敛这是因为 而当1时收敛，故由比较法则推知收敛.(ii)当时条件收敛这是因为对任意1，有，而当时单调趋于，故由狄利克雷判别法推知工当时总是收敛的 另一方面，由于，其中-是收敛的，而是发散的，因此当时该无穷积分不是绝对收敛的所以它是条件收敛的 例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的证 前两个无穷积分经换元得到由例4知它们是条件收敛的对于第三个无穷积分，经换元而得

13、，它也是条件收敛的从例5中三个无穷积分的收敛性可以看到，当时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛2 瑕积分2.1 瑕积分的定义定义 设函数定义在区间上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积.如果存在极限则称此极限为无界函数在区间上的反常积分，记作 .并称反常积分收敛. 如果极限不存在,这时亦称反常积分发散. 在上述定义中，被积函数在点的近旁是无界的，这时点称为的瑕点，而无界函数反常积分又称为瑕积分. 类似地,可定义瑕点为时的瑕积分. . 其中函数定义在区间上，在点的任一左邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积. 若函数的瑕点,则定义瑕积分 .其中函数定义在

14、区间上，在点的任一邻域内无界，但在任何内闭区间和上都有界且可积. 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若两点都是的瑕点,而在任何有界且可积,这时定义瑕积分 ,其中为内任一实数.同样地, 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. 瑕积分的收敛判别2.2比较判别法 定理2 设f(x), g(x) 均为a,b)上的非负函数，b为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使a, b), 则1） 如收敛，则也收敛.2）如发散，则也发散 比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式 对以b为唯一瑕点的两个瑕积分与 如果f(x), g (x) 是非负函数，且 则（1）当,

15、 且收敛时，则也收敛（2）当，且发散时，则也发散2.3 柯西判断法 设x=a是f(x)在a,b上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1） 如0f(x) (c0), p0), p1, 则发散瑕积分的Cauchy判断法的极限形式为 定理3 设如0, , 则收敛如0, , 那么发散例6 判别下列瑕积分的敛散性.(1) (2) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 =由知瑕积分收敛（2）0与都是被积函数的瑕点先讨论 由知: 当p1时, 瑕积分收敛; 当p1时,瑕积分发散再讨论 因所以当 q1时, 瑕积分收敛，当q1时，瑕积分发散综上所述，当p1且q1时, 瑕积分收敛; 其他情况发散 定理4若下列两

16、个条件之一满足，则收敛：（b为唯一瑕点）2.4 （1）（Abel判别法）收敛, 在上单调有界(2) (Dirichlet判别法) =在a, 上有界, g(x) 在(上单调, 且. 例7 讨论广义积分的敛散性， 解 令f(x)=, g(x)=cosx则当x时，f(x)单调下降且趋于零，F(A)= =在a,上有界由Dirichlet判别法知收敛，另一方面因发散，收敛从而非负函数的广义积分发散由比较判别法知发散，所以条件收敛 例8 讨论广义积分的敛散性 解 由上一题知，广义积分收敛, 而arctanx在a, +上单调有界，所以由Abel判别法知收敛.另一方面, 当时, 有前面已证发散由比较判别法知发

17、散, 所以条件收敛.当然判断反常积分是否收敛的方法还有很多在此就不一一例举了.3 瑕积分与无穷积分的关系 设函数连续 , 为瑕点. 若 令,则 , ,，从而有这样瑕积分就化成了无穷积分；设, 若令,则 , ,总结本文根据对反常积分的定义及其性质的分析， 总结了反常积分敛散性判别的多种方 法与技巧，并且辅以例题使其直观.经过本文的讨论，反常积分敛散性判别法主要有定 义，柯西收敛准则，绝对收敛判别，比较法则及其极限形式，狄利克雷判别法和阿贝尔 判别法.适当而准确的运用这些方法，我们可以方便快捷的判别一个具体的反常积分的 敛散性，更好的解决我们在反常积分的计算上的问题，帮助我们对微积分有一个更好的 认识.然而数学的世界是探索不尽的，反常积分的敛散性的判别方法