初中数学开放性探究性试题及解题策略

1、初中数学开放性探究性试题及解题策略随着基础教育课程改革和素质教育的全面推进，近几年在初中数学教学中和各省、市的中考题中，出现了一批符合学生年龄特点和认知水平、设计优美、个性独特的开放题。开放题打破传统模式，构思新颖，使人耳目一新。数学开放题被认为是当前培养创新意识、创造能力的最富有价值的数学问题，加大数学开放题在中考命题中的力度，是应试教育向素质教育转轨的重要体现，对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势，是培养学生主体意识的极好材料。一、数学开放题的概述1、关于数学开放题的几种论述：什么是数学开放题，现在还没有统一的认识，主要有如下的论述：（1）答案不固定或者条件不完备的习题，我们称为开放

2、题；（2）开放题是条件多余需选择、条件不足需补充或答案不固定的题；（3）有多处正确答案的问题是开放题。这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会，在解题过程中，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，学生可以把自己的知识、技能以各种方式结合，去发现新的思想方法；（4）答案不唯一的问题是开放性的问题；（5）具有多种不同的解法，或有多种可能的解答的问题，称之为开放题；（6）问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余，称之为开放题。数学开放题，通俗地说就是给学生以较大认知空间的题目。2、开放性试题特征：（1）数学开放题内容具有新颖性，条件复杂、结论不定、解法灵活、无现成模式可套用。题材广泛，贴近

3、学生实际生活，不像封闭性题型那样简单，靠记忆、套模式来解题。（2）数学开放题形式具有多样性、生动性，有的追溯多种条件，有的追溯多种条件，有的探求多种结论，有的寻找多种解法，有的由变求变，体现现代数学气息，不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述。（3）数学开放题解决具有发散性，由于开放题的答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方向。（4）数学开放题教育功能具有创新性，正是因为它的这种先进而高效的教育功能，适应了当前各国人才竞争的要求。三、开放题的分类及解题策略：1条件开放型此类题型的明显特征是缺少确定的条件，问题

4、所需补充的条件不是得出结论的必要条件，既所需补充的条件不能由结论推出。一般来说，其答案包括：将所缺的条件补充完整以及根据自己所补条件形成的封闭题做出完整解答等两部分。此类题目一般采用逆向思维，从结论出发，逆向追索，逐步探寻结论成立的条件，所以所填条件是开放的，答案是不唯一的。例1如图， D、E分别在AC、AB上，且DE与BC不平行，请填上一个你认为合适的条件：_，使得ADEABC.ABCDE分析：这是一道条件开放题，只要寻求其成立的一个充分条件即可.如ADE=B或AED=C或AD：AB=AE：AC等B或AED=C或AD：AB=AE：AC等. 练习：1、已知：ABC内接于O，过点A作直线EF，如

5、图，AB为直径，要使得EF是O的切线，还需添加的条件是：（只须写出三种情况） （1）（2）（3）分析：根据题目所给条件，要使得EF是O的切线，关键是找到ABEF的条件即可解决问题。解：（1）CAE=B （2）ABEF （3）BAC+CAE=90 （4）C=FAB （5）EAB=BAF二、结论开放型此类题型给出问题的条件，让考生根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者相应的结论的“存在性”需要考生进行推断，甚至要求考生探求条件在变化中的结论。它要求考生充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论。（图4）例2、如图AB是O的直径，BC是O弦ODCB于点E，交于点D（

6、1）请写出三个不同类型的正确结论：（2）连结CD，设CDB=，ABC=，试找出与之间的一种关系式并给予证明.解：（1）不同类型的正确结论不惟一以下答案供参考： BE = CE； = ； BED = 90； BOD =A； ACOD；ACBC； ； SABC = BCOE； BOD是等腰三角形； BOE BAC；等等（2）与的关系式主要有如下两种形式 答；与之间的关系式为-=90. 练习：1、在多项式4x2+1中添加一个条件，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式是 （只写出一个即可）。分析：要使多项式4x2+1成为一个完全平方式，可添加一次项，也可添加二次项，还可添加常数项。解：（1）添加4x

7、可得完全平方式（2x+1）2 （2）添加-4x可得完全平方式（2x-1）2（3）添加-1可得完全平方式（2x）2 （4）添加-4x2可得完全平方式122、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是 （只需写出一个方程）分析：如果一元二次方程有解，则有两个解，题目给出方程有一个根为1，我们可以将此一元二次方程写成（x-1）（x+a）=0的形式，则问题可以解决在上述问题中，在一定条件下，探求问题的结论，具有开放性。考生解决此类问题时，可自主探索，自由发展，通常采用“执因索果”的策略进行探求。它主要考查考生发散性思维和所学基本知识的应用能力。三、条件、结论双开放型此类题型的特点是：只给出若干论

8、断，题目条件和结论都不确定，要根据给出的论断组合成一个真命题，不同的组合方式会产生不同的真命题。根据给出的论断组合成一个真命题，具有条件、结论双开放性。例3、(安徽省中考)已知等腰三角形的两边分别是5和6，求它的周长。解：当5作为底时，周长为6+6+5=17；当6作为底时，周长为5+5+6=16。例4、(江苏省中考)如图2，四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE ，BE，给出下列五个关系式： ADBC，DE=CE，1=2，3=4，AD+BC=AB，将其中的三个关系式作为题设，另外两个作为结论，构成一个命题。（1）用序号写出一个真命题（书写形式如果XXX，那么XXX），并给出证明；（2）用序

9、列号再至少写出三个真命题（不要求证明）；4321EDCBAF图2解（1）如果，那么证明：如图，延长AE交BC的延长线于FADBC，1=F又AED=CEF，DE=EC，ADEFCEAD=CF，AE=EF 1=F，1=22=F 3=4 AD+BC=CF+BC=BF=AB（2）如果，那么 如果，那么如果，那么 如果，那么在上述问题中，条件和结论都具有开放性。考生解决此类问题时，可多角度、多策略思考问题，尝试解释不同答案的合理性。它主要考查考生对知识点的整合能力，它一改过去的传统模式，鼓励探究、关注过程。四、策略开放型此类题型一般指解题方法不唯一或解题途径不明确的问题，这就是我们以往常谈的一题多解。这

10、类问题要求考生不要墨守成规，善于标新立异，积极发散思维，优化解题方案和过程。例5（常州市中考）小明为班级设计了一个班徽，图中有一菱形。为了检验小明画的菱形是否准确，请你用带有刻度的三角尺为工具，帮小明设计一个检验方案： 。解：用三角尺测量四条边是否相等或测量对角线是否平分。例6（湖北黄冈中考）在一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料。现找出其中的一种，测得C90，ACBC4，今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在ABC的边上，且扇形的弧与ABC的其他边相切。请设计出所有符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出扇形，并直接写出扇形半径）。解：根据题意，可考虑圆心在顶点和直角边、斜边上，设计出符合题意的方案示意图。可以设计如下图的四种方案：ACBBCABBCCAA在上述问题中，是解答过程与方法都具有开放性。考生解决此类问题时，可通过一题多解，一题多变，一题多思，优化解题方案和过程。它主要考查考生的发散性思维和应用所学知识解决实际问题的能力。 开放性试题作为考查考生创新意识的渠道之一，有利于