计算方法曲线拟合

1、在生产与科研中常给出一组离散数据 (”办)亦泌),(Xnn) 要确定变量x与y的函数关系y二f(x)近似方法一：构造插值多项式Pn(x),使Pn(x)=ys i=O-N (过点)近似方法二：曲线拟合Problem已知N个观测数据(弘从区旳(xN,yN)求一个多项式P(x)能最好地反映这些点的总趋势。(不过点)设此拟合直线为,=a+bx 显然9(幼二a+bXj主y此时拟合曲线为一直线F它从这些点附近通过记巳尸y厂y(Xj)从而有e1/e2/.eN称之为残差elre2f总体最小e=(e1Ae2/ej的长度最小直线拟合鴛量的长度|x| (x R)介绍如下l|x|2= (x/+x+x,严I lxl l

2、i= lxjl|x|w=max|xi|Problem 已知N组数据(x“y) (x2/y2),.,(xN/yN), 求一条直线y=a+bx (即求a, b),使N二制;二彳 +N + +氐二3；(o +如)F 二min?=1注：使Q(爲b尸mill的“0构成的直线y=m+bx称为Problem的 最小二乘拟合直线。2話 + +殆二必- （d +九）-匸1求拟合直线关键是求ab使Q（可b）最小/ 这可称之为最小二乘拟合。由微积分学知，求QQb）的极小值点可解dO=0=de?爲。一NNNa + 返叫二1=11=1NNN?-li-z-1db=0称*为正规方程组。解*可得ab则y二a+bx为所求。说明

3、：止规方程组的解存在且唯一，且是最小二乘拟合问题的解。例有数据表112345Xi165123150123141Yi187126172125148求其一次拟合曲线0解：因旳从肌必）近似于一直线，固设其最小二乘 拟合直线为y二a+bx,则其正规方程组为5a+702/?二 75870267+99846 = 108396At? = -60.939227 b 二 1.513812所求餉最小二乘拟合直线为y=-60.939227+1.513812x多项式拟合N个点(Xj“j)、从草图上直观判断它们近似于一条m次曲线。Problem：已知(x“y)(xNzyN),求作m 次多项式(mn(x)?其残差Q(a0

4、/a1/.am)=Sp(x1)-yi2二 E % 4)0区)+6 e i(x)+.+an4 nCx-yJ2化求a0,alz.an5 Q(a0,au.an)= min理=0,匹二 0,.一匹=03a0 Da13a n其中*旳丿$（心）丿若令尸二（9思）（叽）由向量的内积得正规方程组为（|）a=b（%切）（包）（%9）（9）（%（也）丿,b =（ 1，丁）!aHW:p.51 #26应用xr15.5=0例解矛盾方程x2-6.1=0.xi+x2-20.9=0解：令Q(xpx2)=(x1-15.5)2+(x2-6.1)2+(x1+x2-20.9)2为使Q(x“X2)=mirh 则巴二 2(X-15.5)

5、 + 2(X + x2 - 20.9) = 00Xx坐二 2区-6.1) + 2(X 4- X? 20.9) = 0c)X2= X = 15-266 x2 = 5.867线性模型引深及推广页实阿上也就是多项式逼近函数的问题。| I 不仅可以解决一元问题还可用于多元问题O除此外还 可求解某些卜线性问题求解方法是将其通过一定的 代数变换转换为可用线性模型求解的问题0? /Iny, A- 1 n a类似的再如八对厂父卜a新址门/y几成线性拟合与插值的关系给定一批数据点，需确定满足特定要求的曲线或曲面若要求所求曲线（面）通过所给所有数据点，就是插值问题； 若不要求曲线（面）通过所有数据点，而是要求它反

6、映对象 整体的变化趋势，这就是数据拟合，又称曲线拟合或曲面拟合。下面数据是某次实验所得，希望得到X和f之间的关系？第一步:先选定一组函数 rj(x), r2(x), .rm(x), mvn，令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ . .+amrm(x)(1)其中 爲,*2，为待定系数。第二步：确定坷,込，.am的准则(最小二乘准则):使n个点(x；,yj与曲线y=f(x)的距离d的平方和最小。nni己 J（21,2, -ami=li=ln rn 二工xT （2） i=l k=l所以，曲线拟合的最小二乘法要解决的问题，实际上就是 求以下超定方程组的最小二乘解的问题。耳(乂1) 匚3）1其

7、中 R =9 a ,y =/()a _ m _一儿一Ra=y(3)定理：当RTR可逆时，超定方程组（3）存在最小二乘解,且即为方程组RTRa 二RTy的解：a=(RTR)TRTy最小二乘拟合 f(x)=a1rI(x)+ .+amrm(x)中函数r1(x)f .rm(x)6&选取1-通过机理分析建立数学模型来确定f(x);2.将数据畑匸1，n作图 通过直观判断确定f(x):实例讲解某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接 关系,下表是实际测定的24个纤维样品的 强度与相应拉伸倍数的记录。提示：将拉伸倍数作为x,强度作为y,在座标 纸上标岀各点，可以发现什么？数据表格编号拉伸倍数强度kg/mm2编号拉

8、伸倍数强度kg/mm211.91.4135.05.522.01.3145.25.0321.8156.05.542.52.5166.36.452.72.8176.56.062.72.51875.373.53.019&06.583.52.720&07.094.04.021&98.5104.03.5229.0&0114.54.2239.5&1124.63.52410.0&19876543210从上图中可以看出强度与拉伸倍数大致成线形关系,可用一a直线来表示两者之间的关系。解：设 y*二a + bXj ,令&二yi-y怙yi-a-bXj,根据 小二乘原理,即使误差的平方和达到最小,也就是令门9Q二&ii=l为最小,即求使24242处6二 5：=LyabXi)i=l=1有最小值的a和b的值。24。+ 127.5X113.