正态总体的均值和方差的假设检验

1、概率论与数理统计,一、单个总体参数的检验,第二节 正态总体均值 与方差的假设检验,二、两个总体参数的检验,2取检验统计量,一、单个总体参数的检验,当H0为真时,3 给定显著水平 ( 0 1,拒绝域：W1=(x1,x2,xn)：|u|u/2,其中u=U(x1,x2,xn,4由样本值算出U的观察值,例1,解 本题归结为检验假设(1,2)选择统计量,裂强度为 800 Mpa,某厂生产一种钢索,断裂强度X(单位:Mpa,当H0成立时,UN(0,1,3)给定显著性水平 = 0.05,由正态分布函数表,查得u /2=u0.025 =1.96,从而得检验的拒绝域为,W1=(x1 , x2 , , xn) :

2、|u| u 0.025 =1.96,4) 由样本值计算U的观测值为,不能认为这批钢索的断裂强度为 800 Mpa,5)判断:由 ,故拒绝原假设H0,即,2 取检验统计量,3 给定显著水平 ( 0 1,拒绝域： W1 = (x1,x2,xn)| |t | t /2 (n-1,4由样本值计算 T 的观察值,5进行判断,解,例2,某型灯泡寿命X服从正态分布,从一批灯泡,能否认为这批灯泡平均寿命为1600h (=0.05),1750， 1550， 1420， 1800， 1580,1490， 1440， 1680， 1610， 1500,中任意取出10只,测得其寿命分别为(单位:h,本题是要检验假设,

3、当H0 成立时,T t (n-1) = t (9) .给定=0.05,查t 分布表得临界值,5)判断：由于|t| =0.4432.262=t0.025(9) , 因此,可以接受H0 ,即可以认为这批灯泡的平均寿命1600h,故,4) 由所给的样本值,3)拒绝域为W1=(x1 , x2 , , xn) : |t| t 0.025 (9)=2.262,2取检验统计量,3给定显著水平 ( 0 1,查表得临界值,拒绝域,4由样本值算出 的观察值,拒绝域,问： 若总体的均值 已知,则如何设计假设检验,解 检验假设,例3,某炼钢厂铁水含碳质量分数X在正常情况下,革又测量了5炉铁水,含碳质量分数分别为,4.

4、421，4.052，4.357，4.287，4.683,是否可以认为由新工艺炼出的铁水含碳质量分,数的方差仍为0.1082（ = 0.05）,2)取检验统计量,服从正态分布 ,现对操作工艺进行了改,3)拒绝域为,5) 拒绝H0,认为由新工艺炼出的铁水含碳质量,分数的方差与0.1082有显著性差异,由n = 5, = 0.05算得,1. 方差已知时两正态总体均值的检验,二、两个总体参数的检验,注意与一个 总体的区别,假设,拒绝域:W1=(x1, x2, xn, y1, y2, ,yn)：|u|u / 2,例4,甲一两台机床生产同一种产品,今从甲生产的,产品种抽取30件,测得平均重量为130克,从

5、乙生,产的产品中抽取40件,测得平均重量为125克.假,定两台机床生产的产品重量X,Y满足相互独立且,两台机床生产的产品重量有无显著差异( =0.05),解 本题归结为检验假设,3)拒绝域: W1=(x1, x2, , xn, y1, y2, , yn)|u| u /2=1.96,2. 方差未知时两正态总体均值的检验,假设,3 给定显著水平 ( 0 1,拒绝域,某种物种在处理前与处理后取样分析其含脂,处理前: 0.19, 0.18, 0.21, 0.30, 0.66,假定处理前后含脂率都服从正态分布,且相互独立,例5,0.19, 0.04, 0.08, 0.20, 0.12,处理后: 0.15

6、, 0.13, 0.00, 0.07, 0.24,0.42, 0.08, 0.12, 0.30 , 0.27,= 0.05）,方差相等.问处理前后含脂率的均值有无显著差异,率如下,由样本值求得统计量 T 的观测值,以X表示物品在处理前的含脂率,Y表示物品在,由题知 未知,但 于是问题归结,处理后的含脂率,且,为检验假设,解,故拒绝假设H0,认为物品处理前后含脂率的均值,对自由度n1+n2-2=18, = 0.05 ,查t分布表得临界值,有显著差异,3. 两正态总体方差的检验,假设,3 给定显著水平 ( 0 1,拒绝域,查表得,4 由样本计算F的值,5判断若 则拒绝H0,若 则接受H0,试问两种

7、情形下断裂强度方差是否相同 (=0.05),例6,为了考察温度对某物体断裂强度的影响,在,70 与 80 下分别重复作了8次试验,得断裂强,度的数据如下(单位：Mpa,70: 20.5, 18.8, 19.8, 20.9, 21.5, 19.5, 21.0, 21.2,80: 17.7, 20.3, 20.0, 18.8, 19.0, 20.1, 20.2, 19.1,假定70下的断裂强度用X表示,且服从,80下的断裂强度用Y表示,且服从,本题实质上是检验假设,根据所给样本值求得,解,对 = 0.05，由 F 分布临界值表查得,故接受H0 ,认为70与80下断裂强度的方差相同,本节学习的正态总

8、体参数的假设检验有,内容小结,1. 单总体参数的检验,2. 双总体参数的检验,总结参见表7.3，P165,假设检验的一般步骤,5.根据统计量值是否落入拒绝域W1内,作出,拒绝或接受H0的判断,根据样本观察值计算统计量的观察值,2. 选择适当的检验统计量,在 H0成立的条件下,确定它的概率分布,1. 根据实际问题的要求，提出待检验的假设H0,及备择假设H1,3. 给定显著性水平，确定拒绝域W1,3,2,1,检验方法,U检验,t检验,检验,检验方法,U检验,t检验,F检验,再见,备用题例1-1,某厂一自动包装生产线,正常情况下产品重,量服从正态分布N(500,4). 今从该生产线上抽取5,件,称得

9、重量分别为501，507，489，502，504,单位为：g),问该生产线是否正常(=0.05),解 本题归结为检验假设,选择统计量,认为该生产线已出了问题或处于不正常状态,例1-2,在某粮店的一批大米中抽取6袋,测得的重,量分别为26.1, 23.6, 25.1, 25.4, 23.7, 24.5（单,问能否认为这批大米的袋重为25千克(=0.01),解 本题归结为检验假设,位:千克）.设每袋大米的重量,认为这批大米的袋重为25千克,设某次考试考生成绩服从正态分布,从中,随机抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为66.5,分,标准差为15分,问在水平为0.05下,是否可,认为这次考试中全体考生

10、的平均成绩为70分,解 本题是要检验假设,例2-1,即认为这次考试中全体考生的平均成绩为70分,故,某厂生产的某种产品的长度服从正态分布,其均值设定为240cm.现抽取了5件产品测得长度,为(单位:cm)239.7, 239.6, 239, 240, 239.2 .试问该,厂的此类产品是否满足设定要求( = 0.05,解 本题是要检验假设,例2-2,查自由度为n-1=4的t分布表得临界值,认为该厂生产的此产品长度不满足设定要求,解,某厂生产的某种型号电池,其寿命长期以来,例3-1,服从方差为5000 (小时2) 的正态分布, 有一批这种,电池, 从它生产情况来看, 寿命的波动性有所变化,随机地

11、取26只电池, 测出其寿命样本方差为9200,小时2). 问根据这一数据能否推断这批电池寿命,的波动性较以往的有显著的变化( = 0.02),拒绝域为,所以拒绝H0, 认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化,从一台车床加工的一批轴料中抽取15件测,例3-2,从正态分布,取 = 0.05,问其总体方差与规定的方,解 本题是要检验假设,查表得,认为其总体方差与规定的方差无显著差异,例3-3,某厂生产铜丝的折断力指标服从正态分布,解,故接受H0,认为该厂生产铜丝折断力的方差为20,随机抽取9根, 检查其折断力, 测得数据如下(单位,kg): 289,268,285,284,286,285,286

12、,298,292.问可否,相信该厂生产的铜丝折断力的方差为20(=0.05),查表得,美国民政部门对某住宅区住户消费情况进,行的调查报告中,抽9户为样本,除去税款和住宅,等费用外其每年开支依次为4.9,5.3,6.5,5.2,7.4,5.4,6.8,5.4,6.3(单位：K元),假定住户消费数,据服从整体分布,给定 = 0.05,问所有住户消,解 本题是要检验假设,取统计量,例3-4,由题算得,查表得,即所有住户消费数据的总体方差,某切割机正常工作时, 切割每段金属棒的,1) 假定切割的长度服从正态分布, 且标准差,例3-5,平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 从一批产,品中随机

13、地抽取15段进行测量, 其结果如下,无变化, 试问该机工作是否正常（=0.05）,2) 如果只假设切割长度服从正态分布,问该机切割金属棒长度的标准差有无显著变化,0.05),2 取检验统计量,3 给定显著水平 =0.05,查表得,拒绝域,解 (1,4 作判断,解(2,查表得,认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化,例4-1,卷烟厂向化验室送去 A, B两种烟草,化验尼,古丁的含量是否相同,从A,B中个随机抽取重量相,同的5例进行化验,测得尼古丁的含量(单位:mg,分别为 A: 24,27,26,21,24; B: 27,28,23,31,26,据经验知,两种烟草尼古丁含量均服从正态分布,且

14、相互独立, A种的方差为5, B 种的方差为8, 取,= 0.05),问两种烟草的尼古丁含量是否有显著,差异,解,拒绝域： W1=(x1, x2, xn , y1, y2, , yn)|u| u / 2=1.96,某苗圃采用两种育苗方案作杨树育苗试验,两组试验中，已知苗高的标准差分别为 1=20,2=18.各取60株苗作样本,求出苗高的平均数为,计两种实验方案对平均苗高的影响,解 本题是要检验假设,由两个方案相互独立且标准差已知,故取统计量,例4-2,由可靠度为95%从而 = 0.05，查正态分布表得,由题可算得,认为两种实验方案对平均苗高有显著的影响,比较两种安眠药A与B的疗效,对两种药分,

15、实验结果如下(单位：小时,别抽取 10个患者为实验对象,以X 表示使用A后延,长的睡眠时间,以Y 表示使用B后延长的睡眠时间,X: 1.9,0.8,1.1,0.1,-0.1,4.4,5.5,1.6,4.6,3.4,Y: 0.7,-1.6,- 0.2,-1.2,-0.1,3.4,3.7,0.8,0,2.0,试问两种药的疗效有无显著差异( =0.01),解 本题是要检验假设,例5-1,由试验方案知X与Y独立，选取统计量,依题可计算得,故接受原假设,认为两种安眠药的疗效无显著差异,拒绝域,问若总体的均值 已知,则如何设计假设检验,分别用两个不同的计算机系统检索10个资料,解,假定检索时间服从正态分布

16、, 问这两系统检索资,根据题中条件, 首先应检验方差的齐性,例6-1,测得平均检索时间及方差(单位:秒)如下,料有无明显差别( = 0.05),认为两系统检索资料时间无明显差别,为比较不同季节出生的女婴体重的方差,从,某年12月和6月出生女婴中分别随机地抽取6及,10名，测得体重如下(单位：g,12月：3520，2960，2560，2960，3260，3960,6月：3220，3220，3760，3000，2920，3740,假定新生女婴体重服从正态分布,问新生女婴体,重的方差冬季与夏季是否一致( = 0.10),解 本题是要检验假设,例6-2,3060，3080 ，2940，3060,根据题中所给样本值求得,故取统计量,计算得