高考数学一轮复习人教版(理)第10章第8讲n次独立重复试验与二项分布学案

1、名校名 推荐第 8 讲n 次独立重复试验与二项分布 考纲解读 1.了解条件概率与两个事件相互独立的概念(重点 )2.能够利用 n 次独立试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题(难点 ) 考向预测 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点.预测 2020 年将会考查：条件概率的计算；事件独立性的应用；独立重复试验与二项分布的应用 . 题型为解答题，试题难度不会太大，属中档题型 .1条件概率及其性质(1)对于任何两个事件 a 和 b，在已知事件 a 发生的条件下，事件b 发生的概率叫做 01 条件概率，用符号0203 p ab p(b|a)来表示，其公式为 p(b|a) p a(p(a)0

2、)在古典概型中，若用n(a)表示事件 a 中基本事件的个数，则p(b|a)n abn a (n(ab)表示 ab 共同发生的基本事件的个数)(2)条件概率具有的性质04 0 p(b|a)1；如果 b 和 c 是两个互斥事件，则 p(bc)|a) 05 p(b|a) p(c|a)2相互独立事件(1)对于事件 a，b，若 a 的发生与 b 的发生互不影响，则称 01 a，b 是相互独立事件(2)若 a 与 b 相互独立，则 p(b|a)02 p(b)，p(ab)p(b|a)p(a)03 p(a)p(b)(3)若 a 与 b 相互独立，则 04 a 与 b ， 05 a 与 b，06 a 与 b 也

3、都相互独立(4)若 p(ab) p(a)p(b)，则 07 a 与 b 相互独立1名校名 推荐3独立重复 与二 分布(1)独立重复 在01 相同条件下重复做的 n 次 称 n 次独立重复 ai (i 1,2，n)表示第 i 次 果， p(a1a2a3an)02 p(a1)p(a2) p(an)(2)二 分布在 n 次独立重复 中， 用 x 表示事件 a 生的次数， 每次 中事件a 生的概率是 p，此 称随机 量x 服从二 分布， 作 03 xb(n， p)，并称p 为 04 成功概率在 n 次独立重复 中，事件 a 恰好 生 k 次的概率 p(x k) 05 ckpk(1p)nk(k0,1,2

4、， n)n1概念辨析(1)相互独立事件就是互斥事件()(2)p(b|a)表示在事件 a 生的条件下，事件b 生的概率； p(ba)表示事件a，b 同 生的概率，一定有p(ab)p(a) p(b) ()(3)二 分布是一个概率分布， 其公式相当于 (ab)n 二 展开式的通 公式，其中 ap，b(1 p)()二 分布是一个概率分布列，是一个用公式k knk，kn(4)p(xk)c p (1p)0,1,2，n 表示的概率分布列，它表示了n 次独立重复 中事件 a 生的次数的概率分布 ()答案(1)(2) (3) (4)2小 身12(1)已知 p(b|a)3，p(a)5， p(ab)等于 ()59a

5、.6b.1021c.15d.15答案cp ab212解析p(b|a) p a， p(a)5且 p(b|a)3， p(ab)p(a)p(b|a)512315.2名校名 推荐(2)设随机变量 b 5，1 ，则 p( 3)的值是 ()31032a.243b.243c. 40d.80243243答案c解析因为 b 5，131 322403，所以 p(3)c53.3243(3)两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为2和3，两个34零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为()15a.2b.1211c.4d.6答案b23235解析两个零件恰好有一个一等品的概率为3

6、14 13412.小王通过英语听力测试的概率是1，他连续测试3 次，那么其中恰有1 次(4)3获得通过的概率是 _答案49111124解析所求概率 p c33139.题型 一条件概率1从 1,2,3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 a：“取到的 2 个数之和为偶数”，事件 b：“取到的 2 个数均为偶数”，则p(b|a)()11a.8b.421c.5d.23名校名 推荐答案b解析解法一：事件 a 包括的基本事件： (1,3)，(1,5)，(3,5)，(2,4)共 4 个事件 ab 发生的结果只有 (2,4)一种情形，即 n(ab)1.故由古典概型概率 p(b|a) n ab1 故选b.n

7、 a4.c32c224c221解法二：p(a)c510，p(ab) c510.由条件概率计算公式， 得 p(b|a)221p ab10 1 p a 4 4.故选 b.102如图， efgh 是以 o 为圆心，半径为1 的圆的内接正方形将一颗豆子随机地扔到该圆内，用a 表示事件“豆子落在正方形 efgh 内”， b 表示事件“豆子落在扇形ohe(阴影部分 )内”，则 p(b|a)_.答案14解析由题意可得，事件 a 发生的概率 p(a)s正方形 efgh2 22.事件2圆1s o112ab 表示 “豆子落在 eoh 内”，则 p(ab)seoh2 2 1 ，s圆 o 1 21p ab2 1故 p

8、(b|a) p a 2 4.条件探究 1若将举例说明1 中的事件 b 改为“取到的2 个数均为奇数”，则结果如何？222c3c2233解 p(a)c5c5， p(b)c510.223又 b? a，则 p(ab)p(b) 10，p abp b3所以 p(b|a) p a p a 4.4名校名 推荐条件探究 2将 例 明 1 条件改 ：从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取2 个数，事件 a “第一次取到的是奇数”， 事件 b “第二次取到的是奇数”， 求 p(b|a) 的 解 从 1,2,3,4,5 中不放回地依次取2 个数，有 a52种方法；其中第一次取到的是奇数，有 a31a 41种方法；

9、第一次取到的是奇数且第二次取到的是奇数，有a 311a2种方法11113a 3a4 3a 3a 2则 p(a) a 525，p(ab)a 5210，3p ab101所以 p(b|a) p a 32.5解决条件概率 的步 第一步，判断是否 条件概率， 若 目中出 “已知 ”“ 在 前提下 ”等字眼，一般 条件概率 目中若没有出 上述字眼， 但已知事件的出 影响所求事件的概率 ，也需注意是否 条件概率若 条件概率， 行第二步第二步， 算概率， 里有两种思路：提醒：要注意 p(b|a)与 p(a|b)的不同：前者是在 a 生的条件下 b 生的概率，后者是在 b 生的条件下 a 生的概率1(2019

10、大 模 )某地区空气 量 料表明，一天的空气 量 良的概率是 0.75， 两天 良的概率是 0.6，已知某天的空气 量 良， 5名校名 推荐随后一天的空气质量为优良的概率是()a0.8b 0.75c0.6d 0.45答案a解析设某天的空气质量为优良是事件b，随后一天的空气质量为优良是事件 a，所以题目所求为 p(a|b)p ab0.6 0.8.p b0.752一个正方形被平均分成 9 个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点 (每次都能投中 )设投中最左侧 3 个小正方形区域的事件记为a，投中最上面3 个小正方形或正中间的1 个小正方形区域的事件记为b，则 p(a|b)_.答案14解析如图，

11、 n() 9， n(a)3，n(b) 4，1n(ab) 1， p(ab) 9，n ab1p(a|b) n b 4.题型 二相互独立事件的概率某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题已知甲家庭回答正确这道题的概31率是 4，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是12，乙、丙两个家庭都回答正确的1概率是 4.若各家庭回答是否正确互不影响(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2 个家庭回答正确这道题的概率解 (1)记 “ 甲回答正确这道题 ”“ 乙回答正确这道题 ”“ 丙回答正确这道题 ”分别为事件 a

12、，b，c，3则 p(a)4，6名校名 推荐1p a p c 12，且有1p b p c 4，11 p a 1p c 12，即1p b p c 4，32所以 p(b) 8， p(c)3.(2)有 0 个家庭回答正确的概率为1515，p0p( a b c ) p( a ) p( b ) p( c )48396有 1 个家庭回答正确的概率为 a b c3 5 1 1 3 1 1 5 2 7，p1p(a bc ab c) 48348348324所以不少于 2 个家庭回答正确这道题的概率为5721p1p0 p1196 2432.求相互独立事件概率的步骤第一步，先用字母表示出事件， 再分析题中涉及的事件，

13、 并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥的事件的和；第二步，求出这些彼此互斥的事件的概率；第三步，根据互斥事件的概率计算公式求出结果此外，也可以从对立事件入手计算概率.在一场娱乐晚会上，有5 位民间歌手 (1 到 5 号 )登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手 各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名观众乙和丙对 5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在1 至 5 号中选 3 名歌手(1)求观众甲选中3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率；(2)x 表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之

14、和，求“x2”的事件概率解(1)设 a 表示事件 “观众甲选中 3 号歌手 ” ，b 表示事件 “观众乙选中 37名校名 推荐号歌手 ” ，123则 p(a)c2 2c42 ，p(b)35.c3 3c5事件 a 与 b 相互独立， a 与 b 相互独立，则 ab 表示事件 “甲选中 3 号歌手，且乙没选中 3 号歌手 ”224p(a b ) p(a) p( b )p(a) 1 p(b) 3515.即观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中3 号歌手的概率是415.(2)设 c 表示事件 “观众丙选中 3 号歌手 ”，2c43则 p(c) 3 ， c5 5依题意， a，b， c 相互独立， a ，

15、b ， c 相互独立，且 ab c ，a b c， a bc， abc 彼此互斥又 p(x2)p(ab c ) p(a b c)p( a bc)2322231333335535535575，23318p(x3) p(abc)35575，331817 p(x 2)p(x2) p(x3) 7575 25，17故“ x 2” 的事件的概率为 25.题型 三独立重复试验与二项分布(2018 州铜仁模拟贵 )医学上某种还没有完全攻克的疾病，治疗时需要通过药物控制其中的两项指标h 和 v.现有 a，b，c 三种不同配方的药剂，根据分析，a，b，c 三种药剂能控制 h 指标的概率分别为 0.5,0.6,0.

16、75，能控制 v 指标的概率分别为 0.6,0.5,0.4，能否控制 h 指标与能否控制 v 指标之间相互没有影响(1)求 a，b，c 三种药剂中恰有一种能控制h 指标的概率；(2)某种药剂能使两项指标 h 和 v 都得到控制就说该药剂有治疗效果求三种药剂中有治疗效果的药剂种数 x 的分布列解 (1)a，b，c 三种药剂中恰有一种能控制 h 指标的概率为pp(a b c )p( a b c ) p( a b c)8名校名 推荐 0.5(1 0.6) (1 0.75) (1 0.5)0.6 (1 0.75) (1 0.5)(1 0.6) 0.75 0.275.(2) a 有治疗效果的概率为pa

17、0.5 0.6 0.3，b 有治疗效果的概率为pb0.6 0.5 0.3，c 有治疗效果的概率为c0.75 0.4 0.3，pa，b，c 三种药剂有治疗效果的概率均为0.3，可看成 3 次独立重复试验，即 x b(3,0.3)x 的可能取值为0,1,2,3， p(x k)ck3 0.3k(10.3)3k，0030.343，即 p(x0) c3 0.3(10.3)120.441，p(x1) c30.3(1 0.3)p(x2) c320.32 (10.3)0.189，p(x3) c330.33 0.027.故 x 的分布列为x0123p0.3430.4410.1890.0271独立重复试验的实质及

18、应用独立重复试验的实质是相互独立事件的特例，应用独立重复试验公式可以简化求概率的过程2判断某概率模型是否服从二项分布pn(x k)cknpk(1 p)n k 的三个条件(1)在一次试验中某事件a 发生的概率是一个常数p.(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且每次试验的结果是相互独立的(3)该公式表示 n 次试验中事件 a 恰好发生了 k 次的概率提醒：在实际应用中，往往出现数量“较大 ”“ 很大 ”“ 非常大 ”等字眼，这表明试验可视为独立重复试验，进而判定是否服从二项分布.一款击鼓小游戏的规则如下： 每盘游戏都需击鼓三次， 每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得 10 分，出现两次音乐获得 20 分，出现三次音乐获得 100 分，没有出现音乐则扣除 200 分(即9名校名 推荐1获得 200 分)设每次击鼓出现音乐的概率为2，且各次击鼓出现音乐相互独立(1)设每盘游戏获得的分数为x，求 x 的分布列；(2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？解 (1)x 可能的取值为 10,20