第章机械振动

1、第4章机械振动4-1简谄振动的动力学特征牛2谗振动的运动学4-3简谗振动的能量4-4简谗振动的合成4-5阻尼振动受迪振动異振狭义振动：物体在一固定位置附近作来回的往复运动，称为机械振动。广义振动:任一物理量（如位移、电流等）在某一数值附近反复变化。振动中最简单最基本的是简谐振动。简谐振动:一个作往复运动的物体,其偏离平衡 位置的位移兀（或角位移&）随时间/按余弦（或正 弦）规律变化的振动。x = Acos（ cut+（pQ）4-1简谗振动的动力学特征一. 几个谐振动的实例1弹簧振子构成：轻质弹簧与刚体联结条件：位移在弹性限度内,无阻尼对的旬由振动阻尼：干摩擦、湿摩擦（介质阻力）、辐射自由振动：

2、指系统只受外界一次性扰动，而后的运动只在系统内部回复力作用下运动。(1)平衡位置与坐标原点:平衡位置：是系统处于稳定平稳的位置，并选该点为坐标原 点。(2)弹性回复力的特点:回复力与位移正比而反 向(线性回复力)，即F= -kx此处位移特指系统偏离平衡位置的位移。(3)惯性的作用整个系统是在内部线性回复力和惯性的交互作用下来实现振动的。(4)暉簧振子的运动微分方程以振子为对象,d? x由牛顿定律:m 一r = -kxdt令0）2 二md?x贝U侍9x = 0dt解微分方程得:x = Acos（曲+ 00）2、单摆J构成:一端固定的不可伸长的轻绳与质点固联”条件:在重力作用下，在竖直平面内作小角

3、度的摆动(02 cos（劲 + %） = -co2x11描述谐振动的三个物理量x0 = AcosQo-=Asin% I CD得 A =V少1、振幅A由初始条件“、V。决定(2)fx = Acos 伽+ %) 令t二0则(1)2 +(2V = -cdA sin(劲 + %)2、周期T (频率v、圆频率、固有圆频率)()周期T：完成一次完全振动所需的时间X = A COS伽 + 00 )二 A COS 0(/ + T) + 如 =A cos(m + % + 2乃)/. cdT = 2乃 或卩=5/CD1711v =T(3)圖频率3： 2兀秒内完成的完全振动的次数即3= 2 71V(4)固有圖频率：

4、仅由振动系统的力学性质所决定的频率有振动周期单摆弹簧振子复摆T = 171CD2T = 2tt位相是描述系统的机械运动状态的物理量。(相又指月相之相一取其具有周期性。)(1)% = A cos(曲+ %) v = 一曲 sin(E + 00)能确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的是(p = co t +(p(2)初位相t=0 时的位相 (0,2) ortgcp。-CDXq兀0 = A cos(pQ 0 s -v- = Asin %I取使兀0、v0均满足的值14V. f=0 时，x0=A, *o=O x0 = A cos(pQ = A v0 = -coA sin % = 000 二 x0

5、= A cos 0o = 0 v0 = -coA sin(p0 03/. (pa=7l0 20 x0 = A cos(p0 =v0 = -g)A sin % 0,v0,x0,v0,x0,x0,v0,d在第I象限 d在第II象限 d在第in象限d在第iv象限令位相差1)两个简谐振动的位相差x1=A1cos(u)1t+cp10)x2=A2cos(u)2t+cp20)两个振动在同一时刻t的位相差若 co 1=0)2，则 A(p=q)20申 10当4p=2滋后0, 1, 2，两振动步调相同f称删当心二(2氐+7加 两振动步调相反，称反0 t +（p0） = am cos（血F + % + 兀）=am

6、cos(d9T + 0 + 兀) =ACO1 COS(69 + Cp + 7T)解：由已知条件可知，t=0时,例7: 质点作简谐振动的圆频率为振幅为A,当t=0时质 点位于x=A/2处，且向X轴正方向运动，试画出此振动的旋 转矢量图。x = A = Acos 仙+ 0o）与之对应的初位相角在第四象限713v = A69sin（69t + 0o） 04-3简常振动的能量Ek = mv2 =丄m(tf2A2 sin2( + 90)2 2二势能=kA2 sin2(oZ+ ?0)Ep kx 二 _ kA. cos2(G)t + 0o)三总能1=-加 Umax2 2E = E. +p =-M2 =-m(

7、2A22 2k动能和势能在一个周期内的平均值0 cos2 a 二丄(1 +cos2a) sin2 a - -(1-cos 2a)在一个周期T内的平均动能1 CT 19919K同理平均势能11oEp J KA cos Jcot + 0。）clt rj- 0J - KA2 sin2 （cDt +（/）Q ）dt = - KA2 1。例8:谐振动过程中，动能和势能相等的位置的位移等于9) |； (C) A;解：0 mv2 + kjC = kA22 2 2而题知mv2 = kx12 24吕期于是兀=丰人即应选（D） 例9: 一物体质量为0.25kg,在弹性力作用下作简谐振动，弹 簧的倔强系数k=25N

8、m1,如果起始振动具有势能和动能 002J,求（1）振幅；（2）经过平衡位置时物体的速度。解（1）E = Ek + Ep = kA2A -2（Ek + Ep）Ik = 0.08m（2）过平衡点时，x=o,此时动能等于总能量E = Er + E = mv2p 2v = 土2(Ek + E p)丨 m = 0.8m / s4-4简懵振动的合成一.两个同方向.同频率谐振动的合成X = AyCOS(6Dt+(/)10) x2 =A2 COS (o t+020) 求：X =X1+X21、计算法X = %! + x2 = A) COS( + 010)+ A2 COS(劲 + 020)=Aj cos cot

9、 cos 0io A sin cot sin 10+ A2 cos cot cos 020 一 A2 sin cot sin 20=COSM(4 cos 010 + A2 COS 020)sin 劲(4 sin Op + 生 sin%。)令 Ax cos Qi。+ A2 cos 020 = Acos04 sin Qi。+sin 20 = A sin 观38上式 % = Acoscot cos00AsinW sin。=AC0S（69t + 00）两个同方向、同频率的谐振动的合振动仍然 是一个同频率的谐振动，其中合振幅 A J + 珀 + 2& cos(02o 0io)初位相嘶 _ A sin 血

10、 + 企 sin 02。A| cos go + cos 02039合振幅 A 二 JAj2 + 2A& cos(02o - 0io)初位相 tg%二A血0io +勺sin goAj cos go + A? cos 0202、旋转矢量合成法(PinA12/co两振动频率相同，则它们的 旋转矢量以相同的角速度3 旋转，故形成稳定的平形四 边形。利用矢量加法的平行四 边形法则，合振动的旋 转矢量为A利用正切函教求得 合振动的初住相.3、位相差对合振幅的影响ru若後相差 0 = (cot + 020) (血 + 010)二 020 _ 010 二 2k兀 k = 0, 1, 2振幅最大 力/77附=4

11、+点2(2)若住相差0二(2鸟 + 1)乃k = 0, 1, 2A振幅最小Amin= Ay- A2(3)若後相差A0 = 020 - 0为其它任意值时振燔AAmin V A V maxJIxx 3cos(10tz? + z)cm.o例10两谐振动振动方程分别为2 一 a：2 = 4cos(10tzT + j7r)cm,求它们的合振动。解这两个谐振动的位相差为71_ r作旋转矢量图利用旋转矢量合成 法，合振动为x = Acos(10 加 + 0()兀 _1 4=5 cos(l 0 加 H-tg )cm63( + %) x2 = V3Acos(r +例11：两谐振动方程分别为/ x= A cos1

12、求它们的合振动。解：设合振动为 x = Acosn + 0),则0 A = Ja： + A； + 2AjA2 cos(0 _ )而 A0 =3 71TC4 4/. A合=J A： + 坞=a/a2 + 3A2 = 2AA sin + V3 A sin 3Z1 + 3场0 =今一F= 一r4 cos % + 3A cos 3%1 - J31、利用旋转矢量合成法XOE3二、同方向、不同频率两谐振动的合成拍:因两旋转矢量的角速度， ,不相同，平行四边形的形 状要发生变化，矢量A的大小也 随之而变，出现了振幅有周期性 的变化。因此，当两个振动频率接近时，合成中由于周期的微小差 别而造成合振幅随时间作周

13、期性变化，振动时而加强时而减 弱的现象称为竹AAAAAAAyvvVVvvvvvvvVVVVVVVVVv t合振动在单位时间内加强（或减弱）的次数称为畅频O2 vj/wvw/vww2、拍振动表达式设分振动为 xi = Acos(/ + %)= Acos( + %)0 cosa + cos p = 2 coscos:.x =兀+= 2A cos CO= CO、CO= +L t cos L t23、拍频：指合振幅变化的频率余弦函数的周期应为2兀，但取 绝对值后，周期为兀，故合振幅 变化的周期710）。_ 692co2 cox于是拍频为宀右即“拍频”等于两个分振动频率之差4、“拍振动”的应用声振动、电

14、磁振荡和波动中是经常遇到的。利用拍现象还可以测定振动频率、校正乐器和制造差拍振荡器等等。例12 质点在X轴上作简谐振动，振幅A=4cm, T=2s,其平衡位置取作坐标原点。若t=0时质点第一次 通过x=2cm处且向X轴负方向运动，则质点第二次通 ilx= 2cm处的时刻为(A) Is； (B)(2/3) s； (C)i_r解:Xq A cos 00 A/2 Vo 0J(4/3) s；(D) 2so27V%=丁4：.(P = 7T3Az = A = izi = L=-2?r/T _ 3 _ 325选(B)CD IIII III例13 水平弹簧简谐振子的振动曲线如图所示。振 子在位移为零，速度为一

15、coA、加速度为零和弹性力为 零的状态，对应于曲上的点。振子处在位移 II的绝对值为A、速度为零、加速度为一EA和弹性力为 KA的状态，则对曲线上的点。t答：当x=0、a=0x F=0时：应为0点，b点，d点，f点又 v=-coA, 则应为b点,f点当x=A a=- co2A、v二0、F=-kA时：应为 a点，e点49例14：三个同方向的简谐振动分别=0.3cos(8r + )x? = 0.4 cos (8H),禺=03cos + %)4(1) 欲使XX和x3合成振幅为最大，则03应取何值？(2) 欲使x2和x3合成振幅为最小，则应取何值？3兀解：(1) 二丁5tc(2)3= Y3/rx3 =

16、 0.6cos(8r + )471= 0lcos(8t H)44-5阻尼振动受迫振动共振阻尼振动阻尼振动能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。摩擦阻尼系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用而减小,系统的动能转化为热能。丄辐射阻尼振动以波的形式向外传播,使振动能量 向周围辐射出去。阻尼振动的振动方程（系统受到弱介质阻力而衰减） 弱介质阻力是指振子运动速度较低时, 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比dx振子受阻力fr =7V = -Z L阻力系数 at振子动力学方程一抵空=加歧弱阻尼x = Aoept cos（cot +（pQ）=J2_02阻尼振动的振幅按指数衰减尼振动的准周期XCD2-

17、P2tt每一周期内损失的能量越小,振幅衰减越慢,周期越接近于谐振动。BWzhliSmil篦事非普世，他虫鹫丑貂业翳麦把-乙叶）-？ +%0SB95!壮L劃廿离謝軽假删越誣，呕虫首购业骇麦胡 _a( fo+ Xo) = x0 = g WWW二受迫振动受迫振动振动系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力一一策动力F=F.cospt弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程d1 x7dx 厂m - = kx - y1- K cos ptdt2dt令o=d2xdf卩=fom* 20 竺 + &兀二托 cos pt dt% = 4）幺一0 cos（vt + 00） + 4 cos（pt + 0）阻尼振动简谐振动稳定解 x = Acos(pt