相似三角形典型模型及例题

1、1:相似三角形模型:相似三角形判定的基本模型（一） A字型、A字型（斜A字型）C（二） 8字型、8字型（平行）（蝴蝶型）（三）母子型（四）一线三等角型:三等角型相似三角形是以 等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景，一个与等腰三角形的底角相等的顶点在底边所在的直线上，角的两边分别与等腰三角形的两边相交如图所示：（五）一线三直角型:三直角相似可以看着是一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方 形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似,

2、这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。（六）双垂型:相似三角形判定的变化模型/BEC一线三直角的变形2:相似三角形典型例题（1）母子型相似三角形例1:如图，梯形 ABCDK AD/ BC对角线 AC BD交于点O, BE/ CD交CA延长线于E.DEBDAC .ABC .例 3 :已知：如图，等腰 ABC中, AB= AC ADL BC于 D, CG/ AB BG分别交 AD AC于 E、F. 求证：BE2 EF EG .A1、如图，已知 AD ABC的角平分线，EF为AD的垂直平分线.求证：FD2 FB FC .2、已知：AD是Rt ABC中/A的平分线，/ C=90 ,

3、EF是AD的垂直平分线交 AD于M, EF、BC的延长线 交于一点 M 求证： AMEA NMD; (2)ND 2=NC- NB3、已知：如图，在 ABC中，/ ACB=90 , 求证：EB- DF=AE DBCDL AB于D, E是AC上一点，CF丄BE于F。4.在 ABC 中，AB=AC 高 AD与 BE交于 H,EF BC，垂足为F,延长AD到G,使DG=EF M是AH的中点。证：GBM 90G5已知：如图，在Rt ABC中，/C=90,B(=2,AC=4,P是斜边AB上的一个动点，PD丄AB交边AC于点D (点D与点A C都不重合)，E是射线DC上一点，且/ EP=Z A.设A、P两点

4、的距离为 x, BEP的 面积为y. (1)求证：AE=2PE(2) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；(3)当厶BEP-与ABC相似时，求 BEP的面积.B(2)双垂型1如图，在 ABC中，/ A=60 , BD CE分别是AC AB上的高 求证：(ABBA ACE (2) AD0A ABC (3)BC=2ED2、如图，已知锐角厶ABC AD CE分别是BC AB边上的高， ABC和厶BDE的面积分别是 27和3, DE=2 ,求：点B到直线AC的距离。(3)共享型相似三角形、 ABC是等边三角形， DBCE在一条直线上，/ DAE=120 ,已知BD=1, CE=3求等边三角形的边

5、长求证：(1 ) AB0A ACD2、已知：如图，在 Rt ABC中, AB=AC / DAE45。(2) BC2 2BE CD .（4） 一线三等角型相似三角形例1:如图，等边 ABC中，边长为6,（1）求证：（2）当 BD=1,BD0A CFDFC=3 时，求 BEABC 中，AB AC点B重合），且保持 APQ ABC . 若点P在线段CB上（如图），且BP 6，求线段CQ的长； 若BP x，CQ y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域;（2）正方形ABCD的边长为5 （如下图），点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且保持APQ 90 .当 CQ1时，求出

6、线段BP的长.例 3:已知在梯形 ABCDK AD/ BC AD BC 且 AD= 5, AB= DC= 2.（1）如图8, P为AD上的一点，满足/ BPC=Z A. 求证； ABMA DPC 求AP的长.（2）如果点P在AD边上移动（点 P与点A D不重合），且满足/ BPE=Z A, PE交直线BC于点E,同时 交直线DC于点Q,那么 当点Q在 DC的延长线上时，设 AP= x, CQ= y,求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； 当CE= 1时，写出AP的长.例4:如图，在梯形 ABCD中，AD / BC , AB CD BC 6 , AD 3 点M为边BC的中点，以M为顶点作

7、EMF B，射线ME交腰AB于点E，射线MF交腰CD于点F，联结EF .(1) 求证： MEF BEM ；(2) 若厶BEM是以BM为腰的等腰三角形，求 EF的长；(3)若EF CD，求BE的长.1、如图，在 ABC中，AB AC8 , BC 10, D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，且ADE C .(1)求证： ABD DCE 如果BD x, AE y，求y与x的函数解析式，并写出自变量 x的定义域; 当点D是BC的中点时，试说明厶 ADE是什么三角形，并说明理由.2、如图，已知在厶 ABC中, AB=AC=6, BC=5, D是AB上一点，BD=2, E是BC上一动点，联结 DE并作

8、DEF B，射线EF交线段AC于F.(1)求证： DBEA ECF(2 )当F是线段AC中点时，求线段 BE的长；(3)联结DF,如果 DEF与 DBE相似，求FC的长.BEC3、已知在梯形 ABCDK AD/ BC ADc BC 且 BC=6 , AE=DO4,点 E 是 AB的中点.(1) 如图，P为BC上的一点，且 BP=2.求证： BEPo CPD(2) 如果点P在BC边上移动(点 P与点B C不重合)，且满足/ EPF=Z C, PF交直线CD于点F,同 时交直线AD于点M那么 当点F在线段CD的延长线上时，设 BP=x, DF= y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义 域；9

9、4an 当Sdmf 9Sbep时，求BP的长.4、如图，已知边长为3的等边ABC，点F在边BC 上, CF 1，点E是射线BA上一动点，以线段EF为边向右侧作等边EFG，直线EG, FG交直线AC于点M , N ,(1) 写出图中与 BEF相似的三角形；(2) 证明其中一对三角形相似；(3) 设be x,MN y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;(4)若AE 1，试求GMN的面积.(5) 线三直角型相似三角形例1、已知矩形ABCD中, CD=2 AD=3,点P是AD上的一个动点，且和点A,D不重合，过点P作PE CP ,交边AB于点E,设PD x,AE y，求y关于x的函数

10、关系式，并写出 x的取值范围。例2、在 ABC中， C 90o,AC 4,BC 3,0是AB上的一点，且AC 2，点P是AC上的一个动点，PQ CP交线段BC于点Q （不与AB 5点B,C重合），设AP x, CQ y，试求y关于x的函数关系，并写出定 义域。31.在直角 ABC中， C 900 AB 5 ta nB ，点D是BC的中点，点E是AB边上的动点，DF DE 4交射线AC于点F（1）、求AC和 BC的长（2）、当EF / BC时，求BE的长。B2.在直角三角形ABC中,C 90o,AB BC, D是AB边上的一点,E是在AC边上的一个动点,(与 A,C不重合），DFDE, DF与射线BC相交于点F.（1）、当点D是边AD（2）、当DB(3)、当 ACAB的中点时，求证：DEDE右居，求 的值DFAD 1 沁6,，设 AEDB 2DFBCx,BFy ,求y关于x的函数关系式，并写出定义域（3）、连结EF,当 DEF和 ABC相似时，求BE的长。33.如图，在 ABC中， C 90 , AC 6 , tan B - , D是BC边的中点，E为AB边上的一个动4点，作 DEF 90 , EF交射线BC于点F 设BE x , BED的面积为y (1 )求y关于x的函数关系式，并写出自变量 x的取值范围；(2)如果以B、E、F为顶点的三角形与 BED相似，求 BED的面积4