求二面角的几何法

1、 3种求二面角的几何法 二面角的度量问题是立几中学生比较困难的一个问题，课本上是通过它的平面角来进行度量的，关 键在于充分利用平面角的定义。下面来介绍求二面角的大小的几种方法： 直二面角情况：一般是通过几何求证的方法，主要依据是直线与平面垂直的判定定理。 ，AD BC ADC 折起，使 1. 如图 ABCD是矩形，AB =a，BC =b (a b)，沿对角线AC把 例 BCD。证明：平面 ABD 平面D 证明：由题意可知：DC BC，ADAD BCD AD面 C A ?ABD 又 AD面BCD ABD平面 平面B 1，DE =CD =BCBCD =90，且 中， 例2. 在四棱锥 A-BCDE

2、底面是直角梯形，其中 BCDE， 21 AC =ADAB =AE =又，BC， 2 求证：面ABE面BCD。 A N， BE的中点M，CD的中点证明：取 ，AN，MN 连结 AM， E D ) AB =AC (已知 M N AMBE B C CD AN同理 AC =AD 有 BCDE中， 在直角梯形 BE、N分别是、CD的中点 MBC MN BCD =90又 CD MN AMN CD面 AM CD ， 又 AMBECD是梯形的两个腰，即它们一定相交，、BE 1 ?ABE 面， 又AM AM 面BCD 。 面ABE面BCD 当二面角不是直二面角时可以采用下面几种方法。充分利用二面角的定义，证明某

3、角即为二面角的平面角，如找不到现成的，则可以通过三垂线定1. 理或其逆定理把它作出来再计算。 2 ，D是 ABC，BCPC =的中点，且ADC是边长为 2P-ABC例3.如图三棱锥 中，PC平面3 C的大小。的正三角形，求二面角 P-AB 的中点D解：由已知条件，是BC P ADC是正三角形 又 CD =BD =2 AD =CD =BD =2 ABC之外心又在BC上 D是C BAC为直角的三角形， ABC是以 D ABC PC面， 又 ABACB ) 三垂线定理AB ( PAA 之平面角， PAC即为二面角P-AB-C 易求 PAC =30 SC，且分别交SC AC、，S-ABC中，SA底面A

4、BCABBCDE 垂直平分4. 例如图在三棱锥 为面的二面角的度数。BDBS =BC， 求以为棱，BDE与BDCE于D、，又SA =ABSC 解： BS =BC，又DE垂直平分 S BDE ，SC面 BESCD ABC ，又SCSA面 BDSAC 面，BD SABDE C A DC ，且 BDDEBD EDC 则 就是所要求的平面角B 设，SA =AB =a 2 32 AC = 且 则 BC =SB = a DEC SAC 易证 SAC =60 CDE = 外一点，是平面 ABCDBC =4，AC 与 BD 相交于O点，P如图： 例5. ABCD是矩形，AB =8， M-BD-C 大小。面AB

5、CD，PO =4，M 是 PC 的中点，求二面角POPO MN解：取OC之中点N，则 P ABCD POM MN =PO/2 =， 面ABCD 且 MN MR，于 R，连NR 过 N 作 BD D C 的平面角 M-BD-C 则 MRN即为二面角N S 于CE 过 C 作 BDO S R 1A B CE BC =BD中，CE 则 RN = 在 RtBCDCD 28?BCCD?CE? BD55MN4?MRN?tan?RN 2RN55nactM?RN?ar 2 ?cosS?S 2.利用射影 缺点是计算相对烦一些。 此方法的优点只要找出射影图形及两个面积，不需要找出两面角的平面角， 0120 ，求二

6、面角DBC =BC 与例 6.如图ABCBCD所在平面垂直，且AB =BD，ABC A A-BD-C的余弦值。 DE，A解：过 作 AECB的延长线于E 连结 ，BCD ABC 面面 B C BCD AE面 E AE 点即为点内的射影BCD在面D 3 为 EBDABD在面BCD内的射影 3a 设 AB =a 则AE =DE =ABsin60= 216?cos?ABD AD = ， 4215ABD = sin 415151122a?Sa?aBE? 又 DAB?824231312?S?a?a?a E?BD8222S5E?BD?s?co? 5SD?AB A-BD-E考虑到我们求的是二面角 ，而二面角

7、 A-BD-C与A-BD-C互补5? 的余弦值为。 二面角 A-BD-C 5 所成CCDDABCD， 例7.已知正方体AC，M、N分别是BBDD的中点，求截面 AMCN与面 的角。 D ANCNa，易证 是菱形解：设边长为 Ca3a2 且MN =AC =， B A61N 2aMN?AC? = AMCN 22M 在面由于AMCNABCD上的射影即D C ABCD 为正方形A B 2a = ABCD26a?ocs? 1362a 2 4 6sorcc?a 13DM M，连结 取CC的中点 上的射影，CCDD 则平行四边形DMCN是四边形AMCN在 12a= DMCM 212a6 2?sco 2662

8、a 26arccos? 26222?omnc?n?2EFs?m 利用公式 3. 这个公式是异面直线上二点的距离公式，我们稍作改造便可以用于求二面角的大小。 是两异面直线所成的角变成了b 构成平面，则AA 事实上，以公垂线AA与 a构成平面，与 。-AA-的平面角或它的补角（要注意它们的范围可能发生了变化）二面角 D?AB?C的，求二面角AC =CD =1，ABC =30，若AC面BCD，BD面ACD 例8.如图 大小。 E，AB解：作DF于F，CEAB于 A ABC =30 AC =CD =1 32 BC = AD =， E D C 2 BD = AB =2， RtABC中， 在F 3?AC?

9、BC13?CE ， 2AB2B 2?BD2AD?1DF 同理 2AB122221DF?BD?BF?AC?CEAE 211?12EF? 22 5 2222?oDFsCD?CE?EF?2EF?DFc 3?cos? 33arccos即所求角的大小为 。 3 6，求二面，AB =AC =AD =49. 三棱锥 A-BCD中，BAC =BCD =90，DBC =30，例 的度数。角 A-BC-D ，AB =AC，解：由已知条件BAC =90A 3 设BC的中点设为O，则OA =OC = 32 BC =C O B 30223?DC?BCtan30? 3D 2222?CDcosOC?CD?2AOAD?AO?

10、 解之得：1?cos? 2?150? 从一道高考题谈二面角大小的种种求法 黄天华 546700 蒙山县第一中学和向量法两种（几何在历年高考中，立体几何这一道题，就其解法而言，有传统的几何法 年江西卷（理科）2008法重逻辑推理向量法重计算），更有其它的一些特殊解法，本文拟 题为例，谈二面角大小的种种求法。第20 两两垂题目：如图，正三棱锥的三条侧棱 的中分别是2直，且长度均为，的中点，是 或其延长线分别交于的一个平面与侧棱点，过 6 的大小；平面；（，已知.(1)求证2）求二面角: 点到平面（3的距离。）求几何法1 定义法1.1求二面角的大小一般 根椐二面角的定义及度量知二面角的大小等于其平面

11、角的大小，所以 遵循如下三个步：一作二证三计算。 ）略（以下各解法均略）。1）（3解法1：（ ，根椐三垂线定理于，因为作，连结（2平面）如图，过 的平面角。作 ，则知：是二面角 的中点，且，由为，则 有：，解得，即 中，；在，所以 ，故所求二面角 的大小为。 1.2 面积射影法个面和射影面的面积 设法作出二面角中的一个面在另一个面内的射影面，然后分别求出这 求出二面角的大小。，利用 在平面解法2：依题意知：平面，所以平面 知：.由解法上的射影是1 ，所以 设二面角，而 7 的大小为，故所求二面角的大小为，则 。 1.3 双高比值法 的大小和到平面和到棱设法分别求出点，并设二面角的距离 ，则由值

12、法”。可求二面角的大小，这种方法我们称之为“双高比 为 13：由解法2知：知：；又由解法解法 ，则由得：，设点到平面的距离为， 的大小，故所求二面角设二面角的大小为，则 为。 公式法1.4 2的结论：利用下（可以求二面角的大小。）教材例 作知：于，则由解法4解法1：如图，过 中，得：，由；过作于，在 ，所以由解法2知：，则 ,故将 ,代入 8 得: 。，解得的大小为，故所求二面角 1.5 三面角余弦定理法 中，有如下定理：若如图，在三面角 的平面，二面角， 则，。角大小为（证明略） 利用该公式可求二面角的大小。 ，则1知：如图，由解法解法5 = 中，由余弦定理得：，在 ，将 之值代入 的大小为

13、，故所求二面角得： 。向量法2 面法法2.1 求出二面角的，然后利用分别求出构成二面角的两个面的法向量 大小，这种方法我们称之为“面法法”。 9 所在直线分别：如图，以解法6为坐标原点， 轴，建立空间直角坐标系，则相关为轴，轴， 点的坐标为 共线，设，由与 ，即的充要条件知：存在=，使得： ，则，有此得：3，同理 的一个法向量，则由是平面，设 的一个法得，又，令，则有是平面 的大小为=，故所求二面角。向量，所以 2.2 棱法法 在二面角的棱上且垂直于棱的两个向量（可重合）我们把通过二面角棱上任意两点 可求出二面角的大小，这种方法我，叫做二面角棱的法向量，利用 们称之为“棱法法”。 轴，建立空间轴，解法7：如图，以轴，为坐标原点，所在直线分别为 直角坐标系，则相关点的