全国青年教师观摩大赛数学赛课一等奖作品：《函数性质的应用》 教案及说明

1、第四届全国高中青年数学教师优秀课教案函数性质的应用参评教师：辽宁省大连市第24中学 张军课题函数性质的应用课型专题课教师大连市第24中学数学组 张军教学目标1知识目标：（1）会用函数性质解决与抽象函数有关的不等式问题；（2）会根据题意自己设计条件并解决问题；（3）能够比较熟练地综合运用函数性质解决相关问题。2能力目标：（1）着重培养学生自己获取知识的能力；（2）培养学生思维的发散能力。3情感目标：通过师生互动、生生互动的教学活动过程，让学生体会成功的愉悦，培养学生热爱数学的态度，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。教学重点运用函数性质解与抽象函数有关的不等式问题教学难点如何化抽象为具体教学

2、关键理解并运用函数的性质教学过程教学内容师生活动教学设计意图课题引入问题提出问题推广问题演化问题再变化问题反思问题再升华问题提出问题深化问题再反思课堂小结布置作业实例引入将沙子匀速地注入一个S形的容器内，随着时间t的变化，容器内沙子的高度h在不断地上升，请思考这一关系的大致图象是怎样的呢？ 【问题1】：设函数在上单调递减，解不等式：，并说出你的解题依据。【推广】：若，则怎样比较的大小呢？知识迁移：函数是定义在区间上的单调递减函数，解不等式：。【问题2：】设是定义在上的偶函数，且在上单调递增，又，则的解集是 。有关这类数学问题的解题思想、解题方法是什么呢？需要注意什么问题呢？刚才解不等式的时候，

3、都是把不等式转化为来解，那么大家考虑如果遇到，怎样来解决呢？【问题3】：奇函数在定义域内单调递减，解关于的不等式：。请自己编加条件解不等式：当你自编了一道题并解出后，有何感受? 这堂课都学习了那些内容，你有什么收获或者提高呢？ 成才之路51页，应用练习。教师演示学生通过观察思考得到大致的图象，教师再利用多媒体演示。教师首先提出问题，学生思考后回答，教师板书解答过程，师生共同分析解题思路，归纳解此类数学问题的方法。学生经过思考、讨论后回答问题，着重在于条件的利用。学生思考后，到黑板板书解答过程，并对解题思路进行阐述，教师进行点评并引导学生规范解题过程。学生运用不同解法解决此问题，教师针对不同方法

4、进行特色点评。学生思考后作答，教师进行适当的引导、补充。学生思考后回答，每个学生 都会有自己的想法，教师通过激励性的点评，促使更多的学生发表自己的见解。学生思考后进行回答，教师利用多媒体演示答案，并进行适当的点评。学生根据刚才所学自己编加条件，并对自己所提出问题加以解决，验证条件正确与否。教师巡视后，找两名有代表性的同学，将所编加条件写在黑板上，分组解决。学生谈自己的感受，教师从高度上进行概况。学生进行思考后总结，教师进行概况。激趣引题从多媒体展示的实际生活中的问题入手，数学建模，激发学生求知的欲望，引入课题。通过实例：认识生活中充满变量间的依赖关系；函数性质的应用是非常广泛的；激发学生学习兴

5、趣，提高发散思维能力。特殊一般这里，充分体现了教师的主导作用和学生的主体作用，因为问题的答案不难得出，但关键是如何想到的。在以后，学生也能够借鉴老师分析问题的方法来分析代数式的特征，不仅授之以“鱼”，而且授之以“渔”。反思深化讨论式教学，运用群体的力量和团队精神解决问题，通过给学生思考、探索的空间，培养学生的合作学习观念。变化问题情境，激发学生探索问题的欲望，体会解决数学问题的过程中的快乐。直观迁移先从代数角度解决问题，再从几何角度，利用数形结合思想，借助图象，将抽象的符号语言转化为形象、直观的图形语言解决问题，使学生通过“角度”改变观念，针对“题型”选择方法。对于解题方法学生可能比较重视，但

6、对于解题思想，学生也许并不在意，教师应进行适当的引导。通过再次情境的改变，促进学生围绕“奇偶性”和“合二为一”两个方向进行思考，同时也为后面自编题在此打下伏笔。发散拓展教师根据对前一问题的分析，编出题目，由学生来完成，一方面激发学生学习的兴趣，同时通过对条件进行适当的分析，也为如何自编题对学生做出示例。互助提高半命题教学，能使学生的思维再拓展，这种做法一方面完全符合学生的思维发展规律，另一方面更能把这样发展变成学生自身自我的需求，而且这种需求变得越来越强烈。自编题能让大家在明确目标的前提下，通过所学的方方面面的知识，自己来设计解题的途径，发散思维能力能得到很好的训练,进一步明确题设条件的用法，

7、进而在学习过程中发现学习数学的乐趣，体验数学的美。小结提升这堂课里，用到了函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等性质，涉及到了分类讨论思想和数形结合思想，其实函数的很多知识都是贯穿在一起来应用的，希望大家能够综合利用函数知识解决生活和数学中的一些问题。板书设计函数性质的应用问题： 教师（学生）板演思想：转化思想方法：利用函数性质注意：定义域优先多角度思考问题尝试自编题教案说明大连第24中学 张军一、授课内容的数学本质与教学目标定位以函数性质为载体，培养学生获取新知识能力，信息收集处理的能力，交流协作的能力，创新和实践能力、分析解决问题的能力，进而发展学生的思维能力。1函数是描述客观世界变化规律的

8、重要数学模型。高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终，而函数性质又在函数中起着统领的作用，乃重中之重； 2高中学生在这一年龄段特点是求知欲强，开发潜力大。他们的观察力、注意力、感知能力和思维能力和初中相比都有明显提高，他们观察事物更富有目的性，更加全面和深刻，而且能比较持久地学习、研究理论方面的问题，思维的独立性和批判性也大大提高。从这些年龄特征来考虑，应尽力凸显学生这一时期的发展水平和发展可能。函数性质的应用这节课蕴含着丰富的思维方法和策略，利用函数性质掌握好解决函数问题的策略不仅有助于学生掌握高中数学解题的基本思维

9、方法，而且有助于他们自身问题解决能力和数学素质的提高。3从情感上来看，本节课由浅入深的安排函数性质的应用，环环相扣，能极大的激发学生学习的兴趣，并随着问题的逐个自行解决，进而树立学生学好数学的信心。二、学习本内容的基础以及今后有何用处1本内容是在高中数学人教社B版必修1讲完21函数的单调性和奇偶性之后，安排的一节专题研究课，是有关抽象函数性质研究的第一节课。这节课承接前面所研究的函数的定义、表示方法、单调性、奇偶性，是这些内容的深化、提高，并且是在研究完具体初等函数的性质之后再进行的，从感性认识提高到理性认识。另一方面，可以通过对抽象函数性质的研究的学习，为后面学习指数函数、对数函数、及数列这

10、种特殊的函数打下基础，与不等式、求函数的值域、最值、导数等等都有着紧密的联系，同时它对后面的函数的进一步学习在思维上起着进一步深化、拓展的作用。2本节课在函数中是由具体到抽象的一个重要过渡，它对后面利用函数性质的进一步研究抽象函数问题起着重要的铺垫、引领作用。3通过对抽象函数的性质的研究，能够培养、训练、提高学生的逻辑思维能力和发散思维能力，对其他知识的进一步学习、探索产生良好迁移作用具有奠基性的作用。4通过对抽象函数性质的研究，能够对其它学科的学习，比如说物理学中的波形图、化学中的无机化学、生物学中的遗传等知识，使学生在思维上具有正面的积极导向，给予数学上的基础性支撑。5渗透转化等数学思想方

11、法。从学习过程中感悟转化思想的作用，化繁为简、化抽象为直观，为今后进一步学习、深化，打下坚实基础。三、教学诊断分析 1学习本内容时容易了解的地方：给出函数定义域时，如何利用其求出字母的初步取值范围；函数单调性可以把函数值的大小转化为自变量的大小；函数奇偶性中的奇函数可以去掉“”前的负号；数形结合思想中的利用函数图象便捷、直观的解决问题；分类讨论思想的应用等等。 2学习本内容时容易误解的地方：当利用函数单调性把函数值的大小转换为自变量（与）的大小时，与是否在同一单调区间，容易产生误解。四、本节课的教法特点以及效果分析本节课体现了：贯穿一条主线以转化思想为主线；发挥两个作用教师主导与学生的主体作用

12、的最佳结合；强化三种意识合作意识、探究意识、创新意识；运用四种方法函数与方程、数学结合、化归与转化、分类讨论；培养五个能力学生获取新知识能力，、信息收集处理的能力、交流协作的能力、创新和实践能力、分析解决问题的能力。本节课在引入阶段一开始从将沙子匀速地注入将沙子匀速地流入一个S形的容器内入手，引发学生从生活中的实际问题入手，在从具体到抽象，由观察实例上升为描述图象，再由教师进行阐述图象符合函数性质中的单调性的图象，从而在学生脑海中初步建立数学建模的思想。这一环节的安排时由于数学的一切发展都不同程度地归结为现实的需要，因此，创设实际生活的情境，能够让学生切实感受到数学是源于生活的，激发学生学习数

13、学知识的兴趣，调动学生学习数学知识的欲望，唤起学生的“主角”意识。本节课在学习阶段是按照“问题提出问题解决问题反思问题推广”这一程序循序渐进，反复完成的，在这一过程中，思维逐步深化、反思逐步提升、问题逐步推进为主线贯穿始终的。对于问题1的设计，是函数性质在抽象函数中的最简单的应用问题，对于解法学生掌握得非常好，但对于解题思想学生却并不在意，这时教师追问学生是如何思考的，使学生能够注意问题的构成特点，寻求解决问题的突破口和方法进而把问题上升到理论高度，由浅入深，为后面的进一步学习埋下伏笔。再将问题1加以推广，符合从特殊到一般的思想，由学生讨论对于更一般的问题如何处理，运用群体的力量解决问题，进而

14、培养学生的合作学习观念。进而再次变化问题情境，将知识迁移，加入定义域问题，让学生到黑板板书，一方面可以强调只有存在才能运算、研究，进而需要注意定义域优先，另一方面也可以通过学生板演强调解题过程的完善化，规范化。当学生对于问题初步明了之后，再借助于特殊值，引入问题2，进而借助于特殊值从代数与几何两个角度研究问题，并从中体会方法的优劣，训练学生思维的最优化。当共性的问题研究完之后，再由学生反思：有关这类问题的解题思想、解题方法是什么，需要注意什么问题，进而从理论上进行解决。当解决之后，再使问题迁移，如果遇到，怎样来解决呢？设疑，并归结为两种类型，从而为后面自编题埋下伏笔。当明了条件之后，先由教师编题，并通过解的过程明确不同条件的作用，再次为编题埋下伏笔。然后进入自编题环节，先