双曲线的渐近线和离心率问题

1、.第30练双曲线的渐近线和离心率问题题型分析高考展望双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题例1(1)(2015重庆)设双曲线1(a0，b0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1BA2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_.(2)(2014江西)如图，已知双曲线C：y21(a0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AFx轴，ABOB，BFOA

2、(O为坐标原点).求双曲线C的方程；过C上一点P(x0，y0)(y00)的直线l：y0y1与直线AF相交于点M，与直线x相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值.点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由yx00，所以可以把标准方程1(a0，b0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：yx，可设双曲线方程为 (0)，求出即得双曲线方程.变式训练1(2014山东改编)已知ab0，椭圆C1的方程为1，双曲线C2的方程为1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为_.题型二双曲线的离心率问题例2(1)(2015湖北改编)将离心率为e

3、1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(ab)同时增加m(m0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是_.对任意的a，b，e1e2；当ab时，e1e2；当ab时，e1e2；对任意的a，b，e1b时，e1e2；当ae2.(2)已知O为坐标原点，双曲线1(a0，b0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若()0，则双曲线的离心率e为_.点评在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2c2a2消去b，然后变形

4、求e，并且需注意e1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2(2014湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：1(ab0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2，且F2F41.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3(2014福建)已知双曲线E：1(a0，b0)的两条渐近线分别为l1：y2x，l2：y2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l

5、分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.点评解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足PAPB，则该双曲线的离心率是_.高考题型精练1.(2015课标全国改编)已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若0，则y0的

6、取值范围是_.2.(2015镇江模拟)已知00，b0)的两条渐近线均和圆C：x2y26x50相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为_.4.以椭圆1的右焦点为圆心，且与双曲线1的渐近线相切的圆的方程是_.5.已知双曲线1(a0，b0)以及双曲线1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线1的离心率为_.6.(2015镇江模拟)已知双曲线C：1 (a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为_.7.已知抛物线y28x的准线过双曲线1(a0，b0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为

7、_.8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为_.9.已知F1，F2分别是双曲线1 (a0，b0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是_.10.过双曲线1 (a0，b0)的左焦点F作圆x2y2a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若()，则双曲线的离心率是_.11.已知双曲线1 (a0，b0)的一条渐近线方程为2xy0，且顶点到渐近线的距离为.(1)求此双曲线的方程

8、；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求AOB的面积.12.(2015盐城模拟)已知双曲线1 (a0，b0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为yx且c2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为，求双曲线的离心率.答案精析第30练双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析例1(1)1解析双曲线1的右焦点F(c,0)，左，右顶点分别为A1(a，0)，A2(a,0)，易求B，C，则kA2C，kA1B，又A1B与A2C垂直，则有kA1BkA2C1，即1，1，a2b

9、2，即ab，渐近线斜率k1.(2)解设F(c,0)，因为b1，所以c，直线OB的方程为yx，直线BF的方程为y(xc)，解得B(，)又直线OA的方程为yx，则A(c，)，kAB.又因为ABOB，所以()1，解得a23，故双曲线C的方程为y21.由知a，则直线l的方程为y0y1(y00)，即y.因为直线AF的方程为x2，所以直线l与AF的交点为M(2，)；直线l与直线x的交点为N(，)则.因为P(x0，y0)是C上一点，则y1，代入上式得，即所求定值为.变式训练1xy0解析由题意知e1，e2，e1e2.又a2b2c，ca2b2，ca2b2，1()4，即1()4，解得，.令0，解得bxay0，xy

10、0.例2(1)(2)解析(1)由题意e1 ；双曲线C2的实半轴长为am，虚半轴长为bm，离心率e2 .因为，且a0，b0，m0，ab，所以当ab时，0，即.又0，0，所以由不等式的性质依次可得22,1212，所以，即e2e1；同理，当ab时，0，可推得e2b时，e1e2；当ae2.(2)如图，设OF的中点为T，由()0可知ATOF，又A在以OF为直径的圆上，A，又A在直线yx上，ab，e.变式训练2解(1)因为e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，从而F2(b,0)，F4(b,0)，于是bbF2F41，所以b1，a22.故C1，C2的方程分别为y21，y21.(2)因AB不垂直于y

11、轴，且过点F1(1,0)，故可设直线AB的方程为xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中点为M(，)，故直线PQ的斜率为，PQ的方程为yx.由得(2m2)x24，所以2m20，且x2，y2，从而PQ22.设点A到直线PQ的距离为d，则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d.因为点A，B在直线mx2y0的异侧，所以(mx12y1)(mx22y2)0，于是|mx12y1|mx22y2|mx12y1mx22y2|，从而2d.又因为|y1y2

12、|，所以2d.故四边形APBQ的面积SPQ2d2.而02或k2，则C(，0)记A(x1，y1)，B(x2，y2)由得y1，同理，得y2.由SOAB|OC|y1y2|，得|8，即m24|4k2|4(k24)由得(4k2)x22kmxm2160.因为4k20，所以4k2m24(4k2)(m216)16(4k2m216)又因为m24(k24)，所以0，即l与双曲线E有且只有一个公共点因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.方法二由(1)知，双曲线E的方程为1.设直线l的方程为xmyt，A(x1，y1)，B(x2，y2)依题意得m.由得y1，同理，得y2.设直线l与x轴相交于点C

13、，则C(t,0)由SOABOC|y1y2|8，得|t|8.所以t24|14m2|4(14m2)由得(4m21)y28mty4(t2a2)0.因为4m210，直线l与双曲线E有且只有一个公共点当且仅当64m2t216(4m21)(t2a2)0，即4m2a2t2a20，即4m2a24(14m2)a20，即(14m2)(a24)0，所以a24，因此，存在总与l有且只有一个公共点的双曲线E，且E的方程为1.变式训练3解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C的坐标为(，)设直线l：x3ym0(m0)，因为PAPB，所以PCl，所以kPC3，化简得a24b2.在双曲线中

14、，c2a2b25b2，所以e.常考题型精练1.解析由题意知a，b1，c，F1(，0)，F2(，0)，(x0，y0)，(x0，y0)0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线上，y1，即x22y，22y3y0，y00，b0)的渐近线方程为yx，设直线方程为y(xc)，与yx联立求得M，因为M在圆外，所以满足0，可得c220，解得e2.10.解析设双曲线的右焦点为F1，连结PF1.由()知，E是FP的中点又O是FF1的中点，OEPF1，且OEPF1，易知OEFP，PF1FP，PF2PF1FF，PF1a，PF2aPF13a，9a2a2(2c)2，.11解(1)依题意得解得故双曲线的方程为x21.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y2x，设A(m,2m)，B(n,2n)，其中m0，n0，由得点P的坐标为.将点P的坐标代入x21，整理得mn1.设AOB2，tan2，则tan ，从而sin 2.又OAm，OBn，SAOBOAOBsin