圆和方程预习提纲

1、圆与方程教案例1：已知两点P1（4，9）和P2（6，3），求以P1P2为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9），N（3，3），Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外。解：根据已知条件，圆心C（a，b）是P1P2的中点，那么它的坐标为：a5，b6再根据两点的距离公式，得圆的半径是： rCP1所求圆的方程是：（x5）2 +（y6）2 10CM，CN，CQ3点M在圆上，点Q在圆内，点N在圆外.例2：圆x2 + y2 4与圆（x3）2 +（y4）2 16的位置关系。解：圆心距5r1r26两圆相交例3：求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x4y7=0相切的圆的方程.解：因为圆C和直线3x4y7=0相切

2、，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离.根据点到直线的距离公式，得因此，所求的圆的方程是说明：例3中用到了直线和圆相切的性质，即圆心与切点连线垂直于切线且等于半径.例4：过点A（3，1）和B（1，3），且它的圆心在直线3xy20上的圆的方程。解：设圆的方程为 （xa）2 +（yb）2 r 2 则：（3a）2 +（1b）2 r 2，（1a）2 +（3b）2 r 2，3ab2 0解法二：线段AB的中点坐标是（1，2） 则 kAB 所以，线段AB的垂直平分线方程为： y22（x1） 即：2xy0 由 得圆心坐标为C（2，4）， 又rAC 圆的方程是：（x2）2 +（y4）2 10例5：求半径为10，

3、和直线4x3y700切于点（10，10）的圆的方程。解：设圆心坐标为C（x 0，y 0），则 解得：x 02，y 04或x 018，y 016 所求圆的方程是：（x2）2 +（y4）2 100或（x18）2 +（y16）2 100例6：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0， y0）的切线的方程.解：设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线垂直于过切点的半径，于是k= .经过点M的切线方程是：整理得：因为点M（x0，,y0）在圆上，所以所求切线方程为：当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用.例7：求过点A（2，4）向圆x2 + y2 4所引的切线方程。解法一：设切线方

4、程为 y4k(x2) 即 kxy42k0由 得：（k 21）x 24k（2k）x4k 216k120由0得：k又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切所求切线方程为： x2或3x4y100解法二：设切线方程为 kxy42k0 则：2 得：k又：当过点A并且与y轴平行的直线恰与圆相切所求切线方程为： x2或3x4y100解法三：设切点为（x 0，y 0），则：x 0xy0y4 2x 04y04又：x02 + y024x 02，y 00 或x 0，y 0得切线方程：x2或3x4y100例8：两直线分别绕A（2，0），B（2，0）两点旋转，它们在y轴上的截距b，b的乘积bb4，求两直线交点的轨迹。

5、解：设M（x，y）为两直线l1、l2的交点则有l1：= 1，l2：= 1得：b，bbb4 x2 + y2 4（y0）例9：已知一圆与y轴相切，圆心在直线l：x3y = 0上，且被直线yx截得的弦AB长为2，求圆的方程。解：设圆心C（3a，a）圆与y轴相切 r3a又：CDa BDAB由勾股定理得：a1所求圆的方程为：（x3）2 +（y1）2 9或（x3）2 +（y1）2 9例10：求过三点O（0，0）、M1（1，1）、M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标.解：设所求圆的方程为用待定系数法，根据所给条件来确定D、E、F、因为O、M1、M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐

6、标依次代入上面的方程，可得 解得于是所求圆方程为：x2+y28x+6y=0化成标准方程为：（x4）2+y(3)2=52所以圆半径r=5,圆心坐标为（4，3）说明：如果由已知条件容易求得圆心的坐标、半径或需利用圆心的坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，如果已知条件和圆心坐标或半径都无关，一般采用圆的一般方程。例11：已知一曲线是与两个定点O（0，0）、A（3，0）距离的比为的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.解：在给定的坐标系里，设点M（x,y）是曲线上的任意一点，也就是点M属于集合.由两点间的距离公式，点M所适合的条件可以表示为， 将式两边平方，得化简得x2+y2+2x3=0 化为标准

7、形式得：（x+1）2+y2=4所以方程表示的曲线是以C（1，0）为圆心，2为半径的圆。说明：到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆。例12：已知曲线C：（1a）x 2（1a）y 24x8ay0，（1）当a取何值时，方程表示圆；（2）求证：不论a为何值，曲线C必过两定点；（3）当曲线C表示圆时，求圆面积最小时a的值。解：（1）当a1时，方程为x2y0，为一直线； 当a1时，（x）2 +（y）2 表示圆。 （2）方程变形为：x2 + y24x a（x2 + y2 + 8y）0C过定点A（0，0），B（，） （3）以AB为直径的圆面积最小（为什么？） 得圆的方程：（x）2 +（y）2 ，解得：a例13

8、：已知圆x2 + y21，求过点P（a，b）的圆的切线方程。解：（1）当P在圆内，即a2 + b21时，无切线方程； （2）当P在圆上，即a2 + b21时，方程为：axby1； （3）当P在圆外，即a2 + b21时，设直线方程为 ybk（xa），即 kxykab0由d1，得 （a 21）k 22abkb210当a1时，k；当a1时，k当a1时，yb(xa) 当a1时，yb (x1)或x1 当a1时，yb (x1)或x1例14：已知圆方程为x2 + y24x2y200，（1）斜率为的直线l被圆所截线段长为8，求直线方程；（2）在圆上求两点A和B，使它们到直线l：4x3y190的距离分别取得最

9、大值或最小值。解：（1）设所求方程为：yxb，圆的方程可化为：（x2）2（y1）225圆心C（2，1），半径r5圆心到直线的距离为：d3 b或b所求直线方程为：yx或yx即：4x3y40或4x3y260 （2）解法一：设ll且l与圆相切，则所述距离即为l与l间的距离，切点即为所求点。设l：4x3ym0 则由： 得：25x 24（2m3）xm 26m180016（2m3）2100（m 26m180）0得：m14或m36又：xx2（m14时）或x6（m36时）得A（2，2），B（6，4）解法二：过圆心作与直线l垂直的直线l与圆交于A、B两点即为所求。kl k ll：y1（x2） 即：3x4y20由 解出x、y即为A、B坐标例15：自点A（3，3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2 + y24x4y70相切，求光线l所在直线的方程。解：圆的方程可化为 （x2）2（y2）21所以圆心C（2，2），半径r1设直线l的斜率为k，则l：y3k（x3）且反射