一道关于椭圆习题的改编

1、一道关于椭圆习题的改编原题 （本小题满分8分）已知经过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线,交椭圆于,两点,是椭圆的左焦点.（1）求的周长；（2）如果不垂直于轴,的周长有变化吗？为什么？1 (选自人教版高中数学选修2-1第42页第3题)本题的考查目标： 考查椭圆定义的应用,即椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是定值,即长轴长，同时考查化归的数学思想方法.解 由已知, 如果不垂直于轴,的周长不变化 这是因为式仍然成立, ,这是定值. 【当时】变式1 （本小题满分14分）已知经过椭圆右焦点的直线,交椭圆于,两点,是椭圆的左焦点.是否存在一点,使得？若存在,求出点的坐标；否则,探究椭圆满足什么条件时,存在.本

2、题的考查目标：考查椭圆的定义,基本不等式, 勾股定理,完全平方公式的综合应用.考查运算能力及数学探究能力.解 由已知, 若椭圆上存在一点使得，则在中, 又 又 显然矛盾，故该椭圆上不存在一点,使得. 下面探究椭圆上存在一点,使得应满足的条件： 由得, 且 椭圆上存在一点使得应满足的条件是： 特点：考查的知识点较多,要求掌握多种数学思想方法,此外要求学生具有严密的逻辑思维,将基本不等式, 勾股定理,完全平方公式等知识点融入到椭圆的知识点中,具有一定的探究性,有一定的难度. 【直线过椭圆右顶点】变式2 （本小题满分8分）已知经过椭圆的右顶点的直线,交椭圆于,两点,是椭圆的左焦点.若的周长为,求点的

3、坐标.本题的考查目标：考查了椭圆的定义,中点公式.考查化归与转化的数学思想方法,以及运算求解能力.解 连接,由已知, 的周长 又 点在轴上的投影为中点, 又点坐标为,点坐标为点横坐标. 将带入椭圆方程中,解得 点坐标为或. 特点：本题难度不大,但要求学生善于发现线段间的关系,从而利用椭圆定义快速解题. 【直线过椭圆中心】变式3 （本小题满分12分）已知经过原点的一条直线交椭圆于,两点,分别是椭圆的左右焦点,求周长的取值范围.本题的考查目标：考查椭圆的定义,平行四边形的判定定理,同时考查转化的数学思想方法和数学探究能力.解 连接,点为线段,的中点得平行四边形 的周长 当垂直于轴时,，当垂直于轴时

4、, ,三点共线,不能构成三角形 的周长的取值范围为. 特点：通过作辅助线,将三角形问题转化为四边形的问题,通过转换相等线段，利用椭圆定义得到三角形其中两边长的和等于定值，从而将求三角形周长的取值范围的问题转换为求解线段的取值范围,这部分需要作简单的分析.【以为圆心作圆】变式4 （本小题满分16分）以椭圆右焦点为圆心的圆，交椭圆于,两点,是椭圆的左焦点.求圆的半径的取值范围；的周长有最大值吗，若有，求最大值，若没有，说明理由AF2OF1B变式4图本题的考查目标：考查椭圆的定义,图形的对称性，一元二次方程判别式及求根公式，不等式及利用导数求最值等知识点.考查数形结合、化归的数学思想方法以及运算求解能力、数学探究分析能力.解 由椭圆及圆图形的对称性知，、两点关于轴对称，设圆的半径为，则圆的方程为 联立椭圆方程 整理得 解得 或 （舍去） 即 由知，当三点共线时不能构成，把代入，解得， 圆的半径取值范围为 令 解得 或（舍去） 当时，； 当且时，时， 特点：将原题的直线改编成圆，由简单到复杂，具有一定的梯度，加大了思维张力.考查了较多的知识点,要求掌握多种数学思想方法.此外要求学生具有严密的逻辑思维,注意到三角形三个顶点不能共线，并利用导数求最值,另外体现了数形结合的重要性，具有一定的探