《线性系统的综合》PPT课件.ppt

1、第6章 线性系统的综合,本 章 简 介 本章讨论线性系统的系统综合问题。 主要介绍状态空间分析方法在系统控制与综合中的应用,主要内容为 状态反馈与极点配置、 系统镇定、 系统解耦、 状态观测器， 以及采用状态观测器的状态反馈系统。 最后介绍基于MATLAB的线性系统的系统综合问题求解及闭环控制系统的运动仿真问题的程序设计与仿真计算。,目 录 6.1 引言 6.2 状态反馈与输出反馈 6.3 极点配置 6.4 系统镇定 6.5 系统解耦 6.6 状态观测器 6.7 采用状态观测器的状态反馈系统 6.8 MATLAB的应用 本章小结,6.1 引言,6.1.1 问题的提出 6.1.2 性能指标的类型

2、 6.1.3 研究综合问题的主要内容 6.1.4 工程实现中的一些理论问题,6.1.1 问题的提出 系统综合是系统分析的逆问题。 系统分析问题即为对已知系统结构和参数,以及确定好系统的外部输入(系统激励)下,对系统运动进行定性分析 如能控性、能观性、稳定性等 和定量运动规律分析 如系统运动轨迹、系统的性能品质指标等。 的探讨。 而系统综合问题为已知系统系统结构和参数,以及所期望的系统运动形式或关于系统运动动态过程和目标的某些特征,所需要确定的是则需要施加于系统的外部输入的大小或规律。,必须考虑三个方面的因素： 1)抗外部干扰问题； 2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness

3、)问题； 3)控制规律的工程实现问题。,一般情况下,控制理论发展与控制系统设计的追求目标为解析的反馈控制作用规律(反馈控制律)。 对复杂的动力学被控系统,在解析反馈控制规律难于求解的情形下,需要求系统的数值反馈控制规律或外部输入函数的数值解序列(开环控制输入)。,6.1.2 性能指标的类型,系统综合首先需要确定关于系统运动形式，或关于系统运动动态过程和目标的某些特征的性能指标函数,然后据此确定控制规律。 综合问题的性能指标函数可分为优化型和非优化型性能指标, 两者差别在于: 优化性能指标是一类极值型指标,综合的目的是使该性能指标函数取极小(极大)； 而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的

4、性能指标凸空间,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。,优化性能指标是一类极值型指标,综合的目的是使该性能指标函数取极小(极大)； 而非优化型性能指标是一类由不等式及等式约束的性能指标凸空间,一般只要求解的控制规律对应的性能指标到达该凸空间即可。 对优化型性能指标，需要函数优化理论和泛函理论求解控制规律； 而对非优化型性能指标一般存在解析方法求解控制规律,如极点配置方法。,对于非优化型性能指标,按照对闭环系统期望的运动形式从不同的角度去规定性能,可以有多种提法和形式。 常用的非优化型性能指标提法有以下几种。 以系统渐近稳定作为性能指标,相应的综合问题为镇定问题。 以一组期望的闭

5、环系统极点位置或极点凸约束区域(空间)为性能指标,相应的综合问题为极点配置问题。 对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标(如过渡过程的快速性、超调量、周期性),在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。,因此,在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的期望极点上,可以有效地改善系统的性能品质指标。 将一个MIMO系统通过反馈控制实现一个输入只控制一个输出的系统综合问题称为系统解耦问题。 系统解耦对于高维复杂系统尤为重要。 以使系统的输出y(t)无静差地跟踪一个外部信号y0(t)作为性能指标,相应得综合问题称为跟踪问题。,优化型性能指标

6、一般定义为关于状态x(t)和输入u(t)的积分型性能指标函数或关于末态x(tf)的末值型性能指标函数。 而综合的任务,就是要确定使性能指标函数取极值的控制规律,即最优控制律。 相应地性能指标函数值则称为最优性能。,6.1.3 研究综合问题的主要内容 系统综合问题,无论是对优化型还是非优化型性能指标函数,首先存在2个主要问题。 一个是控制的存在性问题,即所谓可综合条件、控制规律存在条件。 显然,只有对可综合的问题,控制命题才成立,才有必要去求解控制规律。 对不可综合的问题,可以考虑修正性能指标函数,或改变被控系统的机理、结构或参数,以使系统可综合条件成立。,另一个是如何求解控制规律,即构造求解控

7、制律的解析求解方法或计算机数值算法。 利用这些算法,对满足可综合条件的系统,可确定控制规律,如确定相应的状态反馈或输出反馈矩阵。 以现代技术的观点,这些方法应方便地使用计算机实现,其相应的数值计算方法具有较好的数值稳定性,即在计算过程中可能出现的计算误差是否被不断放大、传播,还是被抑制在一个小的范围,其影响逐渐减弱。,6.1.4 工程实现中的一些理论问题 状态获取问题 对状态反馈控制系统,要实现已求解的状态反馈规律,需要获取被控系统的状态信息,以构成反馈。 但对许多实际系统,所考虑的状态变量是描述系统内部信息的一组变量,可能并不完全能直接测量或以经济的方式测量。 这就需要基于状态观测理论,根据

8、系统模型,利用直接测量到的输入输出信息来构造或重构状态变量信息。 相应的理论问题称为状态重构问题,即观测器问题。,建模误差和参数摄动问题 对系统综合问题,首先需建立一个描述系统动力学特性的数学模型。 并且,系统分析与综合都是建立在模型基础上的。 正如在第2章概述中指出的,系统模型是理想与现实,精确描述与简化描述的折中,任何模型都会有建模误差。 此外,由于系统本身的复杂性及其所处环境的复杂性,系统的动力学特性会产生缓慢变化。 这种变化在一定程度上可视为系统模型的参数摄动。,这样,基于理想模型综合得到的控制器,运用于实际系统中所构成的闭环控制系统，对这些建模误差和参数摄动是否具有良好的抗干扰性(不

9、敏感性),是否使系统保持稳定,是否使系统达到或接近预期的性能指标成为控制系统实现的关键问题。 该问题称为系统鲁棒性问题。 基于提高系统鲁棒性的控制综合方法也称为鲁棒控制方法。,下面,本章将就这些系统综合的主要问题,如 极点配置 镇定 解耦 观测器问题 基于状态反馈理论作细致讨论。,6.2 状态反馈与输出反馈,6.2.1 状态反馈 6.2.2 输出反馈 6.2.3 反馈控制对能控性与能观测性的影响,控制理论最基本的任务是,对给定的被控系统设计能满足所期望的性能指标的闭环控制系统,即寻找反馈控制律。 状态反馈和输出反馈是控制系统设计中两种主要的反馈策略,其意义分别为将观测到的状态和输出取作反馈量以

10、构成反馈律,实现对系统的闭环控制,以达到期望的对系统的性能指标要求。 在经典控制理论中,一般只考虑由系统的输出变量来构成反馈律,即输出反馈。 在现代控制理论的状态空间分析方法中,多考虑采用状态变量来构成反馈律,即状态反馈。,之所以采用状态变量来构成反馈律,是因为状态空间分析中所采用的模型为状态空间模型,其状态变量可完全描述系统内部动态特性。 由于由状态变量所得到的关于系统动静态的信息比输出变量提供的信息更丰富、更全面, 因此，若用状态来构成反馈控制律,与用输出反馈构成的反馈控制律相比,则设计反馈律有更大的可选择的范围,而闭环系统能达到更佳的性能。 另一方面,从状态空间模型输出方程可以看出,输出

11、反馈可视为状态反馈的一个特例。 因此,采用状态反馈应能达到更高的性能指标。,本节讨论的主要问题： 基本概念: 状态反馈、输出反馈 基本性质: 反馈闭环系统的能控性/能观性 本节的讲授顺序为: 状态反馈的描述式 输出反馈的描述式 闭环系统的状态能控性和能观性 由于线性定常离散系统状态空间模型以及能控性判据的类同性,因此本节讨论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态反馈和输出反馈系统的分析和设计问题。,重点喔！,6.2.1 状态反馈 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的状态变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为状态反馈系统。 状态反馈闭环系统的系统结构可如图6-1所示,图6-

12、1 状态反馈系统的结构图,其中K为rn维的实矩阵,称为状态反馈矩阵;v为r维的输入向量,亦称为伺服输入。 将状态反馈律代入开环系统方程,状态反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 设开环系统状态空间模型和状态反馈律分别记为,u=-Kx+v,D=0则可得如下状态反馈闭环控制系统的状态空间模型:,状态反馈闭环系统可简记为K(A-BK,B,C),其传递函数阵为: WK(s)=C(sI-A+BK)-1B,6.2.2 输出反馈 对线性定常连续系统(A,B,C,D),若取系统的输出变量来构成反馈,则所得到的闭环控制系统称为输出反馈控制系统。 输出反馈控制系统的结构图如图6-2所示。,与状态反馈有何不同?,

13、图6-2多输入多输出系统的输出反馈至参考输入结构,输出反馈闭环系统的状态空间模型可描述如下: 开环系统状态空间模型和输出反馈律分别为,其中H为rm维的实矩阵,称为输出反馈矩阵。 将输出反馈律代入开环系统方程,u=-Hy+v y=Cx,则可得如下输出反馈闭环控制系统的状态空间模型:,输出反馈闭环系统可简记为H(A-BHC,B,C),其传递函数阵为: WH(s)=C(sI-A+BHC)-1B 由状态反馈和输出反馈的闭环控制系统状态空间模型可知,输出反馈其实可以视为当K=HC时的状态反馈。 因此,在进行系统分析时,输出反馈可看作状态反馈的一种特例。 反之,则不然。 由此也可知,状态反馈可以达到比输出

14、反馈更好的控制品质,更佳的性能。,Understand?,6.2.3反馈控制对能控性与能观测性的影响 对于由状态反馈和输出反馈构成的闭环系统,其状态能控/能观性是进行反馈律设计和闭环系统分析时所关注的问题。 下面分别讨论两种闭环系统的 状态能控性 状态能观性,1. 闭环系统的状态能控性 由状态能控性模态判据(定理3-3),被控系统(A,B,C)采用状态反馈后的闭环系统K(A-BK,B,C)的能控性可由条件 rankI-A+BK B=n 来判定,而,上式即表明状态反馈不改变系统的状态能控性。 由于输出反馈可视为状态反馈在K=HC时的特例,故输出反馈亦不改变系统的状态能控性。,2. 闭环系统的状态

15、能观性 对被控系统(A,B,C)有如下结论: 采用输出反馈构成的闭环系统H(A-BHC,B,C)后状态能观性不变,即 输出反馈不改变状态能观性。 根据对偶性原理和输出反馈不改变状态能控性的结论,可对上述结论证明如下:,证明过程图解,输出反馈闭环系统 H(A-BHC,B,C) 的状态能观性,对偶原理,经输出反馈H,(A,C,B) 的状态能控性,对偶原理,(A,B,C) 的状态能观性,对偶系统 的状态能控性,需证明 的结论,?,证明过程:,输出反馈闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于其对偶系统 (A-CHB,C,B)的状态能控性;,而该对偶系统可以视为是系统(A,C,B)经输出反馈阵

16、为H构成的闭环反馈系统; 由于输出反馈不改变系统的能控性,因此闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于系统(A,C,B)的状态能控性; 又由对偶性原理有,系统(A,C,B)的状态能控性等价于其对偶系统(A,B,C)的状态能观性。 因此,证明得闭环系统H(A-BHC,B,C)的状态能观性等价于系统(A,B,C)的状态能观性。 故输出反馈不改变状态能观性。,对于采用状态反馈构成的闭环控制系统K(A-BK,B,C),状态反馈可能改变状态能观性。 该结论可先由下面的例子来说明,在后述的极点配置部分再详细讨论。 例6-1 设线性定常系统的状态空间模型为,并设状态反馈阵K=3 1和输出反馈H=2

17、。 试分析该系统的状态反馈闭环系统和输出反馈闭环系统的状态能控/能观性。,解 1： 因为开环系统的能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以开环系统为状态能控又能观的。 2. 经状态反馈u=-Kx+v后的闭环系统的状态方程为,其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以状态反馈闭环系统为状态能控但不能观的,即状态反馈可能改变系统的状态能观性。 3. 经输出反馈u=-Hy+v后的闭环系统的状态方程为,其能控性矩阵和能观性矩阵的秩分别为,所以输出反馈闭环系统为状态能控又能观的。,6.3.1 状态反馈极点配置定理 6.3.2系统状态反馈极点配置的算法 6.3.3 输出反馈极点配置,6.3 极点配置,本节讨论

18、如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。 对线性定常离散系统的状态反馈设计问题,有完全平行的结论和方法。,对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。 因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。 这样的控制系统设计方法称为极点配置。 在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。 本节所讨论得极点配置问题,则是指如

19、何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。,反馈控制与极点配置(3/5),由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题: 1) 对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点; 2) 期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数; 3) 期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。,本节主要讨论两方面的问题：其一，闭环极点可任意配置的条件；其二，如何设计反馈增益阵使闭环极点配置在期望极点处。为简单起见，仅讨论单输入单输出系统。,6.3.1 采用状态反馈配置闭环系统极点,1.采用状态反馈任意配置

20、闭环极点的充分必要条件,定理6-3 采用状态反馈任意配置闭环极点的充分必要条件是被控系统 状态完全能控。,证明 先证必要性。由定理6-1知，若 不能控，则其不能控极点及其对应的不能控模态不能通过状态反馈改变。证毕。,再证充分性。以下充分性证明过程实际上给出了单输入单输出系统设计反馈增益矩阵的规范算法。,(1)若被控系统 状态完全能控，且设其特征多项式和传递函数分别为,（6-16）,（6-17）,可通过如下变换（设 为能控标准型变换矩阵）,（6-18）,将 化为能控标准型 ，即,（6-19）,式中，,（6-20）,(2)针对能控标准型 引入状态反馈,（6-21）,式中， ，可求得对 的闭环系统

21、的状态空间表达式仍为能控标准型，即,（6-22）,式中，,（6-23）,则闭环系统 的特征多项式和传递函数分别为,（6-24）,（6-25）,式（6-24）、（6-25）表明， 的n阶特征多项式的n个系数可通过,即 的特征值可任选。,独立设置，,故若被控系统 能控，则其状态反馈系统极点可任意配置。,又,(4) 将式（6-18）代入式（6-21）得,（6-28）,则原被控系统 即对应于状态x引入状态反馈使闭环极点配置到期望极点的状态反馈增益矩阵为,（6-29）,6.3.2 系统状态反馈极点配置的算法,方法一 标准算法,该算法适用系统维数n等于或大于4，控制矩阵中非零元素比较多的情况，所有的矩阵计

22、算都可由计算机实现。具体可按下面步骤完成。 1考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。 2利用系统矩阵A的特征多项式,确定出,3确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P =I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P 可给出，即,其中Q为能控性矩阵，即,5此时的状态反馈增益矩阵 为,4利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为,确定出,方法二 解联立方程,如果是低阶系统（n3 ），则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为,

23、进而将此 代入闭环系统的特征多项式 使其等于 即,由于该特征方程的两端均为 的多项式，故可通过使其两端的 同次幂系数相等，来确定 ，K1,K2,K3的值。如果n = 2或者n = 3，这种方法非常简便（对于n =4,5,6,，这种方法可能非常繁琐）。,还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K，比如著名的阿克曼公式算法、梅内默多克算法等，这里不作介绍，如有兴趣可以查阅相关文献。 由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的，因此对实际控制系统，它可能不能直接测量，更甚者是抽象的数学变量，实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量，则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的

24、值，再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。,【例6-2】考虑如下线性定常系统 利用状态反馈控制 ，希望该系统的闭环极点为s = -2j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。,解：首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：,所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。,方法1：该系统的特征方程为：,因此,期望的特征方程为,可得,因此,因此,方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为,并使,和期望的特征多项式相等，可得,6.3.3 输出反馈极点配置 由于输出变量空间可视为状态变量空间的子空间,因此输出反馈也称之为部分状态反馈。

25、由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。 线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为: 给定线性定常连续系统,输出反馈极点配置(2/6),确定反馈控制律,使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立,下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关结论。,例6 -3 考察下述能控能观的系统,它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为,其闭环特征多项式为s2+h。,从而当h的值变化时,闭环系统的极点从2重的开环极点s=0配置到或,而不能任意配置。,而不能任

26、意配置。,上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。 因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。 故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。 关于输出反馈可以任意配置极点数目p的问题,有如下定理(证明略)。 定理6-4对能控能观的线性定常系统(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=minn,m+r-1个极点。,定理6-4中的n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地

27、接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。 如,对例6-3的输出反馈问题,由于minn,m+r-1=1,则该系统可以通过输出反馈“几乎”任意接近地配置的极点数为1。 如期望的闭环极点为-1与-2,则输出反馈矩阵可以取k=-1或-4,则可以将一个极点配置在-1或-2,但另一个闭环极点不能配置。 再如期望的闭环极点为-12j,则输出反馈矩阵可以取k=1,则可以将一个极点配置在与期望极点-12j 最接近的-1上,但未能配置在期望的-12j上。,6.4.1 状态反馈镇定 6.4.2 输出反馈镇定,6.4 系统镇定,受控系统通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统渐近稳定

28、,这样的问题称为镇定问题。 能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的 镇定只要求闭环极点位于复平面的左半开平面之内 镇定问题的重要性主要体现在3个方面: 首先,稳定性往往是控制系统能够正常工作的必要条件,是对控制系统的最基本的要求; 其次,许多实际的控制系统是以渐近稳定作为最终设计目标; 最后,稳定性往往还是确保控制系统具有其它性能和条件,如渐近跟踪控制问题等。,镇定问题是系统极点配置问题的一种特殊情况,它只要求把闭环极点配置在s平面的左侧,而并不要求将极点严格配置在期望的极点上。 为了使系统稳定,只需将那些不稳定因子,即具有非负实部的极点,配置到s平面的左半开平面即可。 因此,通过状态(

29、输出)反馈矩阵使系统的特征值得到相应配置,把系统的特征值(即的特征值)配置在平面的左半开平面就可以实现系统镇定。,下面分别介绍基于 状态反馈 输出反馈 的2种镇定方法。,6.4.1 状态反馈镇定 线性定常连续系统状态反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个状态反馈控制律:,使得闭环系统状态方程,是镇定的,其中H为状态反馈矩阵,v为参考输入。,对是否可经状态反馈进行系统镇定问题,有如下2个定理。 定理6-5 状态完全能控的系统(A,B,C)可经状态反馈矩阵镇定。 证明根据状态反馈极点配置定理6-1,对状态完全能控的系统,可以进行任意极点配置 因此,也就肯定可以

30、通过状态反馈矩阵K将系统的闭环极点配置在s平面的左半开平面之内,即闭环系统是镇定的。 故证明了,完全能控的系统,必定是可镇定的。,定理6-6 若系统(A,B,C)是不完全能控的,则线性状态反馈使系统镇定的充要条件是系统的完全不能控部分是渐近稳定的, 即系统(A,B,C)不稳定的极点只分布在系统的能控部分。 证明 (1) 若系统(A,B,C)不完全能控,可以通过线性变换将其按能控性分解为:,其中, 为完全能控子系统; 为完全不能控子系统。,(2) 由于线性变换不改变系统的特征值,故有:,(3) 由于原系统(A,B,C)与结构分解后的系统 在稳定性和能控性上等价,假设K为系统的任意状态反馈矩阵,对

31、 引入状态反馈阵 ,可得闭环系统的系统矩阵为,进而可得闭环系统特征多项式为:,可以发现: 引入状态反馈阵 后,只能通过选择 来使得 的特征值具有负实部,从而使能控子系统 渐近稳定。 但 的选择并不能影响不能控子系统的 特征值分布。 因此,当且仅当渐近稳定时(的特征值均具有负实部),整个系统是状态反馈能镇定的。 从而定理得证。,基于线性系统能控结构分解方法和状态反馈极点配置方法,可得到如下状态反馈镇定算法。 状态反馈镇定算法: 步1: 将可镇定的系统(A,B,C)进行能控性分解,获得变换矩阵Pc,并可得到,其中, 为完全能控部分, 为完全不能控部分但渐近稳定。,步2: 利用极点配置算法求取状态反

32、馈矩阵 ,使得 具有一组稳定特征值。 步3: 计算原系统(A,B,C)可镇定的状态反馈矩阵 例6-4 给定线性定常系统 试设计状态反馈矩阵K,使系统镇定.,解: 1) 对系统进行能控性分解。 表明系统不完全能控. 取能控性分解变换矩阵Pc为:,于是可得 原系统的能控性分解为 由于该系统的不能控部分只有一个具有负实部的极点-1,因此不能控子系统是稳定的,系统是可镇定的。,2) 对能控部分进行极点配置 由上可知,系统的能控部分为 设A* 为具有期望特征值的闭环系统矩阵且 ,本例中设期望的闭环极点取为-3和-2。 因此有,显然,当反馈阵 为 此时,闭环系统矩阵A*为,3) 求取原系统的状态反馈镇定矩

33、阵 经检验,经状态反馈后得到的如下闭环系统矩阵为镇定的。,6.4.2 输出反馈镇定 线性定常连续系统书出反馈镇定问题可以描述为: 对于给定的线性定常连续系统(A,B,C),找到一个输出反馈控制律: u=-Hy+v 式中,H为输出反馈矩阵,v为参考输入。 引入输出反馈矩阵H后,闭环系统状态方程为: 对是否可经输出反馈进行系统镇定问题,有如下定理。,定理6-7 系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。 证明 对进行能控能观性结构分解,可得,由于输出反馈可以视为状态反馈K=HC 的一种时的特例,且原系统(A,B,C)与结

34、构分解后的系统 在能观性和能控性上等价,同定理6-6证明过程,对系统 引入输出反馈矩阵 ,可得闭环系统的系统矩阵,相应的闭环系统特征多项式为: 由能控能观性分解知,当且仅当 的特征值均具有负实部时,闭环系统才能获得渐近稳定。 因此,系统(A,B,C)通过输出反馈能镇定的充要条件是结构分解中的能控且能观部分 是能输出反馈极点配置的,其余部分是渐近稳定的。 由定理6-7可知,能输出反馈镇定,一定可以状态反馈镇定。 但反之则不尽然,能状态反馈能镇定的,并不一定能输出反馈镇定。,例6-7 考虑线性定常系统(A,B,C),其中 分析通过输出反馈的系统可镇定性。 解 由系统的能控能观判据知,该系统是能控且

35、能观的。 因此,系统通过输出反馈能镇定的条件是整个系统都应是能镇定的。 首先求系统的特征多项式为: 由劳斯判据,开环系统不稳定。,设输出反馈矩阵为H=h1 h2T,则闭环系统的系统矩阵为: 相应的闭环系统特征多项式为: 由劳斯判据,可以得出特征方程根均具有负实部(能够镇定)的h1及h2取值范围为:,在本例中,若取h1=-3,h2=-2,则闭环系统特征多项式化为: 其特征根为s1=-0.57,s2=-0.22+1.3j。 因此,原系统经过输出反馈H=-3 -2T 能够镇定。,6.5系统解耦,6.5.1补偿器解耦 6.5.2状态反馈解耦,耦合是生产过程控制系统普遍存在的一种现象。在一个MIMO系统

36、中，每一个输入都受多个输出的影响，每个输出受多个输入的控制，当一个控制量的变化必然会波及其它量的变化，这种现象称为耦合。 解耦，就是消除系统间耦合关联作用。如果一个输入量只受一个输出量影响，即一个输出仅受一个输入控制，这样的系统称为无耦合系统。 特别是过程控制中，解耦控制有着重要的意义。目前许多在航天、发电、化工等方面的控制系统难于投入运行，不少是因耦合的原因造成，因此解耦问题的研究十分重要。,设多变量线性定常系统 的输入向量维数与输出向量维数相等,其状态空间表达式为,式中， 均为m维列向量； 为n维列向量;A,B,C分别为 实数矩阵,且设 。与式（5-74）对应的传递函数阵为,(6-36),

37、式中, 为m阶严格真有理函数方阵; 为 的第i行第j列元素,表示第i个输出量与第j个输入量之间的传递函数。若系统初始为零状态,则其输入输出关系为,(6-37),由式(6-37)可见, 一般情况下,多变量系统的每一输入分量对多个(或所有)输出分量均有控制作用,即每一输出分量受多个(或所有)输入分量的控制。这种第j个输入量控制第i个输出量( )的关系称为输入输出间的耦合作用,这种耦合使多变量系统的控制通常十分困难,例如, 就难以找到合适的输入量,达到控制某一输出分量而不影响其它输出分量的要求。因此,有必要引入合适的控制律,使输入输出相互关联的多变量系统实现解耦,即实现每个输出分量仅受一个对应输入分

38、量控制,每个输入分量也仅能控制对应的一个输出分量。,显然, 解耦系统的传递函数矩阵必为对角线形的非奇异矩阵,由此解耦系统的定义出发,使多变量系统实现解耦的基本思路是通过引入控制装置使系统传递函数矩阵对角化,而具体实现方法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦等。,6.5.1 前馈补偿器解耦,采用前馈补偿器实现解耦的方法如图6-3所示,在待解耦系统前串联一个前馈补偿器,使串联后总的传递函数阵成为对角形的有理函数矩阵。,图6-3 前馈补偿器实现解耦,图6-3中,待解耦系统和前馈补偿器的传递函数阵分别为 和 ,则串接补偿器后整个系统的总传递函数阵为,(6-38),令 (6-39),显然,

39、只要待解耦系统传递函数阵 满秩,即 的逆 存在,则可采用如式(6-40)所示的前馈补偿器使系统获得解耦,即,(6-40),式中, 为串接补偿器后解耦系统的对角形传递函数阵,如式(6-39)所示。,串接前馈补偿器解耦的原理虽然简单,但其增加了系统的维数,且其实现受到 是否存在及 物理上是否可实现的限制。,6.5.2 状态反馈解耦,采用输入变换与状态反馈相结合方式以实现闭环输入输出间解耦控制的系统结构如图6-5所示。,图6-5 采用输入变换与状态反馈相结合实现解耦,图6-5中, 待解耦系统 状态空间表达式及传递函数阵分别如式(6-35)及式(6-36)所示;状态反馈增益阵K为 实常数阵;输入变换阵

40、F为 实常数非奇异阵;v为m维参考输入信号列向量。,由图6-5可见,为实现闭环解耦控制,对 采用的控制律为,得图6-5所示闭环系统 的状态空间表达式及传递函数矩阵,即,因此,待解耦系统 采用所示控制律实现闭环解耦问题在频域中可简单描述如下:寻找适当的状态反馈增益矩阵K和输入变换阵F,使闭环系统 的传递函数阵为对角形矩阵。,定义 是0(n-1)之间满足下式,(6-44),的最小整数。式中, 为 输出矩阵C的第i行向量, 故相应的 的下标i表示行数 。若对 ,均有 ,则令 。 根据 ,定义 维矩阵,(6-45),定理6-8 系统 采用式(6-41) 所示输入变换与状态反馈相结合控制律可解耦的充要条

41、件是式(6-45)所示矩阵 非奇异。,定理6-9 当系统 可以式(6-41) 所示输入变换与状态反馈相结合控制律解耦时, 若取输入变换阵F及状态反馈增益阵K为,(6-46),则所得闭环系统,(6-47),是积分型解耦系统,其传递函数阵为,(6-48),6.6 状态观测器 6.6.1全维状态观测器及其设计方法 6.6.2降维状态观测器及其设计方法,6.6 状态观测器 前面已指出,对状态能控的线性定常系统,可以通过线性状态反馈来进行任意极点配置,以使闭环系统具有所期望的极点及性能品质指标。 但是,由于描述内部运动特性的状态变量有时并不是能直接测量的,更甚者有时并没有实际物理量与之直接相对应而为一种

42、抽象的数学变量。 在这些情况下,以状态变量作为反馈变量来构成状态反馈系统带来了具体工程实现上的困难。 为此,人们提出了状态变量的重构或观测估计问题?,所谓的状态变量的重构或观测估计问题,即设法另外构造一个物理可实现的动态系统, 它以原系统的输入和输出作为它的输入, 而它的状态变量的值能渐近逼近原系统的状态变量的值或者其某种线性组合, 则这种渐近逼近的状态变量的值即为原系统的状态变量的估计值, 并可用于状态反馈闭环系统中代替原状态变量作为反馈量来构成状态反馈律。 这种重构或估计系统状态变量值的装置称为状态观测器,它可以是由电子、电气等装置构成的物理系统,亦可以是由计算机和计算模型及软件来实现的软

43、系统。,状态观测器指不考虑噪声干扰下状态值的观测或估计问题,即所有测量值都准确无差且原系统内外部无噪声干扰。 对于存在噪声干扰时的状态观测或估计问题,则可用卡尔曼滤波器理论来分析讨论(最优估计)。 本节主要讨论状态观测器理论。 重点掌握: 状态观测器的结构、 误差分析、 设计方法,以及 带状态观测器的状态反馈闭环系统的分析。,讨论的主要问题： 1. 基本概念: 状态观测器 2. 基本方法: 状态观测器设计方法、误差分析方法、带状态观测器的闭环系统分析方法。 讲授的顺序为: 全维状态观测器及其设计方法 降维状态观测器及其设计方法 由于线性定常离散系统状态空间模型以及能观性判据的类同性,因此本节讨

44、论的概念和方法也可推广到线性定常离散系统的状态观测问题。,6.6.1 全维状态观测器及其设计方法 下面分别介绍 开环状态观测器 渐近状态观测器,1. 开环状态观测器 设线性定常连续系统的状态空间模型为(A,B,C),即为,在这里设系统的系统矩阵A、输入矩阵B和输出矩阵C都已知。 这里的问题是： 若状态变量x(t)不能完全直接测量到,如何构造一个系统随时估计该状态变量x(t)。,对此问题一个直观想法是： 利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的如下系统来重构被控系统的状态变量:,其中 为被控系统状态变量x(t)的估计值。,该状态估计系统称为开环状态观测器

45、,图6-8 开环状态观测器的结构图,其结构如下图所示。,简记为,比较系统(A,B,C)和 的状态变量,有,则状态估计误差 的解为,显然,当 时,则有 ,即估计值与真实值完全相等。 但是,一般情况下是很难做到这一点的。这是因为:,2. 若矩阵A的某特征值位于s平面的虚轴或右半开平面上(实部0),则矩阵指数函数eAt中包含有不随时间t趋于无穷而趋于零的元素。,1. 有些被控系统难以得到初始状态变量x(0),即不能保证 ;,此时若 或出现对被控系统状态x(t)或状态观测器状态 的扰动,则将导致状态估计误差 将不趋于零而为趋于无穷或产生等幅振荡。,所以,由于上述状态观测器不能保证其估计误差收敛到零,易

46、受噪声和干扰影响,其应用范围受到较大的限制。 仔细分析便会发现,该观测器只利用了被控系统输入信息u(t),而未利用输出信息y(t),其相当于处于开环状态,未利用输出y(t)的观测误差或对状态观测值进行校正。,为了和下面讨论的状态观测器区分开来,通常把该观测器称为开环状态观测器。,即,由观测器得到的 只是x(t)的一种开环估计值。,2. 渐近状态观测器 前面讨论的开环状态观测器未利用被控系统的可直接测量得到的输出变量来对状态估计值进行修正,所得到的估计值不佳,可以预见,若利用输出变量对状态估计值进行修正,即反馈校正,则状态估计效果将有本质性的改善。 下面将讨论该类状态观测器系统的特性及设计方法。

47、,其估计误差 将会因为矩阵A具有在s平面右半闭平面的特征值,导致不趋于零而趋于无穷或产生等幅振荡。,如果对任意矩阵A的情况都能设计出相应的状态观测器,对于任意的被控系统的初始状态都能满足下列条件:,即状态估计值可以渐近逼近被估计系统的状态, 则称该状态估计器为渐近状态观测器。,根据上述利用输出变量对状态估计值进行修正的思想和状态估计误差须渐近趋于零的状态观测器的条件,可得如下状态观测器:,其中G称为状态观测器的反馈矩阵。 该状态估计器称为全维状态观测器,简称为状态观测器,其结构如下图所示。,下面分析状态估计误差是否能趋于零。,图6-9 渐近状态观测器的结构图,先定义如下状态估计误差:,其中A-

48、GC称为状态观测器的系统矩阵。,则有,上述误差方程的解为,根据上述误差方程,被控系统(A,B,C)的渐近状态观测器,亦可简记为 。,显然,当状态观测器的系统矩阵A-GC的所有特征值位于s平面的左半开平面,即具有负实部,因此,状态观测器的设计问题归结为求反馈矩阵G,使A-GC的所有特征值具有负实部及所期望的衰减速度, 即状态观测器的极点是否可任意配置问题。 对此有如下定理。 定理 渐近状态观测器的极点可以任意配置,即通过矩阵G任意配置A-GC的特征值的充要条件为矩阵对(A,C)能观。,则无论 等于x(0)否,状态估计误差 将随时间t趋于无穷而衰减至零,观测器为渐近稳定的。,证明 证明过程的思路为

49、：,A-GC的极点可 由G任意配置,两者极点相等,A-CG的极点 可由G任意配置,经状态反馈G,系统(A,C)的极 点可由G任意配置,对偶原理,(A,C)状态能观,需证明 的结论,?,系统(A,C)状态能控,极点配置的充要条件,证明过程为： 由于A-GC的特征值与A-CG的特征值完全相同,则A-GC的特征值可由G任意配置等价于A-CG的特征值可由G任意配置,即 等价于系统(A,C)可通过状态反馈阵G进行任意极点配置。 而,(A,C)的极点可任意配置的充分必要条件为矩阵对(A,C)能控,由对偶性原理知,即为矩阵对(A,C)能观。 因此,A-GC的特征值可任意配置的充要条件为矩阵对(A,C)能观。

50、 可见,只要被控系统状态能观,则一定存在可任意极点配置的渐近状态观测器。,与状态反馈的极点配置问题类似,对状态观测器的极点配置问题,对期望的极点的选择应注意下列问题: 1. 对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点。 2. 期望极点必须是实数或成对出现的共轭复数。 3. 为使基于状态观测器的状态反馈闭环控制系统有更好的暂态过渡过程,状态观测部分应比原被控系统和闭环系统的控制部分有更快的时间常数(衰减更快), 即状态观测部分的极点比其它部分的极点应当更远离虚轴。 由上述分析过程,类似于状态反馈的极点配置技术,有如下状态观测器的设计方法。,方法一 方法一的思想: 利用对偶性原理,将状态观测器设

51、计转化为状态反馈极点配置,然后利用状态反馈极点配置技术求状态观测器的反馈阵G。 其具体方法是,将能观矩阵对(A,C)转换成对偶的能控矩阵对(A,C),再利用极点配置求状态反馈阵G,使A-CG的极点配置在指定的期望位置上。 相应地,G即为被控系统(A, B,C)的状态观测器(A-GC,B,C)的反馈矩阵。 计算过程可图解如下:,能观性矩阵对(A,C),能控性矩阵对(A,C),由状态反馈极点 配置技术计算G,配置A-CG的极点,由对偶原理计算,由反馈矩阵G配置状态 观测器的A-GC的极点,由对偶原理计算,方法二 方法二的思想:,先通过非奇异线性变换 ,将状态完全能观的被控系统(A,C)变换成能观规

52、范II形 ,即有,其中ai*和ai(i=1,2,n)分别为期望的状态观测器的极点所决定的特征多项式的系数和原被控系统的特征多项式的系数。,对能观规范II形 进行极点配置,求得相应的能观规范II形的观测器的反馈阵 如下,因此,原系统(A,B,C)的相应状态观测器的反馈阵G为,上述结论的证明与定理6-1的充分性的证明类似,这里不再赘述。,例6-8 设线性定常系统的状态空间模型为,试设计一状态观测器,使其极点配置为-3,-4,-6。 解 (1) 方法一： 1. 先利用对偶性方法,求得原系统的如下对偶系统:,2. 将上述能控状态空间模型化为能控规范II形的变换矩阵为,其中,3. 求对偶系统的状态反馈阵

53、。 由于被控系统的特征多项式和期望极点的特征多项式分别为 f(s)=|sI-A|=s3-3s+2 f*(s)=(s+3)(s+4)(s+5)=s3+12s2+47s+60,则对偶系统的状态反馈阵K为,即所求状态观测器的反馈阵 G=K=20 25 12 则相应状态观测器为,(2) 方法二。 1. 先将原系统化成能观规范II形。能观规范II形的变换矩阵To2为,其中,2. 因此能观规范II形的状态观测器的反馈矩阵为,则原被控系统的状态观测器的反馈矩阵G为,可见,用方法二求得的G矩阵与方法一完全相同。,6.6.2 降维状态观测器及其设计方法 用上述方法设计的状态观测器是n阶的,即n维状态变量全部由观

54、测器获得,所以该观测器又可称为全维状态观测器。 由输出方程可知,其实状态变量的部分信息可直接由输出变量的测量值提供,如在特殊形式的输出方程,中,状态变量向量x2即为输出变量y,故该系统只要仅对x1设计状态观测器即可, 对x2就没有必要再设计状态观测器。,因此,所设计的状态观测器的维数就少于状态变量的维数n。 该类状态观测器称为降维状态观测器。 由线性代数知识可知,任何输出方程,只要输出矩阵C满秩(行满秩),总可以找到非奇异的线性变换将输出方程变换成(6-61)所示的输出方程。 变换方法介绍如下:,首先,对任何输出矩阵为满秩矩阵的状态空间模型,经过对状态变量的重新排列顺序,都可变换成如下形式的状

55、态空间模型,其中矩阵C2为mm维的可逆方阵;状态变量向量x1和x2分别为n-m维和m维的。,当选取变换矩阵P为,则在状态变换 下,状态空间模型可变换为,对状态空间模型 ,状态变量 即为输出变量y(t),因此只需对状态变量 设计降维状态观测器即可。,在求得状态变量 的状态估计值后,作上述线性变换的逆变换,则可求得原状态变量x(t)的估计值。,经上述变换后,状态变量 所满足的状态方程为,下面介绍降维状态观测器的设计方法。,其中z是降维状态观测器的n-m维状态变量;,仿照前面介绍的全维状态观测器的设计方法,构造状态变量 的全维状态观测器如下:,是该降维状态观测器的输出变量,即变换后的系统的状态变量

56、的估计值;,矩阵F,G,H和L为适宜维数的待定常数矩阵。,降维状态观测器的结构图如图6-10所示。,图6-10 降维状态观测器的结构图,下面讨论如何选取降维状态观测器(6-66)的各矩阵,才能使得,将上式及y= 代入式(6-67),可得,和,由状态观测器方程(6-66),有,将式(6-65)减去上式,可得状态估计误差 所满足的动态方程,将状态空间模型中 所满足的状态方程代入上式,可得,若取,则状态观测误差 所满足的状态方程(6-71)可记为,若取,由式(6-72)可知,类似于前面所讨论的全维状态观测器,当矩阵对 是状态完全能观的,则通过矩阵L的选择可任意配置矩阵F的特征值,即能使F的特征值都具

57、有负实部。,由上式(6-75)可知,欲使 渐近逼近 的充分必要条件为矩阵F的全部特征值都具有负实部。,因此矩阵L的选择方法与全维状态观测器中的反馈矩阵G的选取方法完全一致,亦有相应的方法一和方法二。,因此,由线性系统的输出方程和降维状态观测器,我们可得状态变量向量 的如下估计值,则原系统的状态变量向量x(t)的估计值为,于是所设计的原系统的降维状态观测器为,例6-9 设线性定常系统的状态方程为,试设计一降维状态观测器,使其极点配置为-3,-4。 解 (1) 将系统作结构分解。 由于rank C=1,且C阵的最后一个元素不为零,所以不必再重新排列状态变量,只要按虚线所示方式将系统分解即可。,按式

58、(6-63)构造变换矩阵P如下:,相应地,(2) 计算 :,(3) 由式(6-66)可知,降维状态观测器的特征多项式为,(4) 由给定的期望特征值得期望的特征多项式为 f*(s)=(s+3)(s+3)=s2+7s+12 令f(s)=f*(s),则可得,(5) 由F，G和H的计算公式,可得降维状态观测器的各矩阵为,于是所得的降维状态观测器为,则原系统的状态变量向量x的估计值为,6.7 采用状态观测器的状态反馈系统 状态观测器解决了状态变量不能直接测量的系统的状态估计问题,它为用状态反馈实现系统闭环控制奠定了基础。 但状态观测器对状态反馈闭环系统的稳定性和其它性能品质指标的影响如何,则是一个需要细