与椭圆有关的最值问题

1、与椭圆有关的最值问题圆锥曲线在高考中占很重要的地位，每年必考。对椭圆、双曲线、抛物线的研究方法基本相同，椭圆 为三曲线之首，对椭圆的学习就更为重要了。而椭圆中的最值问题是比较重要的课题，它主要体现了转化 思想及数形结合的应用，涉及到的知识有椭圆定义、标准方程、参数方程、三角函数、二次函数、不等式 等内容。能够考查学生的分析能力、理解能力、知识迁移能力、解决问题的能力等等。下面介绍几种常见 的与椭圆有关的最值问题的解决方法。1 定义法2 2例1。P(-2, 3 ),F2为椭圆=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求丨MP| + | MF2 |的最大值M1M22516和最小值。分析：欲求丨MP| + |

2、 MF丨的最大值和最小值可转化为距离差再求。由此想到椭圆第一定义| MF | =2a- | MF | , F 1为椭圆的左焦点。解：| MP| + | MF | = | MP| +2a- | MF | 连接 PR 延长 PF1交椭圆于点M1,延长F1P交椭圆于点M2由三角形三边关系知-| PF |兰| MP| - | MF |兰| PR |当且仅当M与M1重合时取右等号、M与M2重合时取左等号。因为2a=10,|PF1| =2所以(|MP|+ | MF |)ma=12,(| MP |+ | MF | )min=82 2Xy结论1：设椭圆二 2 =1的左右焦点分别为F1、F2, P(xo,yo)

3、为椭圆内一点，M(x,y)为椭圆上任意ab一点，则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF1 |，最小值为2a- | PR |。例2：2 2P(-2,6),F2为椭圆x y =1的右焦点，点 M在椭圆上移动，求|MP | + | MF |的最大值和2516最小值。分析：点P在椭圆外，PF2交椭圆于M，此点使| MP| + | MF |值最小，求最大值方法同例 1。解：| MP | + | MH | = | MP | +2a- | MF |连接PF1并延长交椭圆于点 皿仆则M在M 1处时| MP | - | MF|取最大值| PF1 |。二| MP | + | MF |最大值是

4、10+ , 37，最小值是41。2 2xy结论2:设椭圆一2- =1的左右焦点分别为F1、F2, P(xo,yo)为椭圆外一点，M(x,y)为椭圆上任意一点，ab则| MP | + | MF |的最大值为 2a+ | PF1 |，最小值为 PF?。2. 二次函数法2 2例3求定点A(a,0)到椭圆务 =1上的点之间的最短距离。a b分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示|PA |，转化为x,y的函数，求最小值。11解：设 P(x,y)为椭圆上任意一点，| PA | 2=(x-a) 2+y2 =(x-a) 2+1-x2= (x_ 2a)2+1d 由椭圆方22程知x的取值范围是卜.2, ,

5、2 (1) 若丨 a,则 x=2a 时丨 PA | min=1 _a22(2) 若 a ,则 x= . 2 时 I PA| min= I a-2 I2(3) 若 a-二,则 | PA | min= | a+ 2 I22 2结论3：椭圆y- =1上的点M(x,y)到定点A(m,O)或B(O,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式a2b2表示| MA |或| MB |,通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3. 三角函数法2X2例4 :椭圆一-y =1上的点M(x,y)到直线I: x+2y=4的距离记为d,求d的最值4分析：若按例3那样d=X*2?-4转化为x或

6、y的函数就太麻烦了，为了统一变量，可以用椭圆、5的参数方程，即三角换元d=d=x 2y-42x 2 -2 y =14x = 2c O s令y = sien甘R)2 cost 2sin v-425V5v2 sin(日 +匸)_2当 sin (寸.一)=1 日寸,dmin：44 5 -2 105当 sin (二 )= 1 日寸,dmax=44 52 1052 2结论4:若椭圆务-y- =1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时，可通过椭圆的参数方程,a b统一变量转化为三角函数求最值。4. 判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值。解。令直线 m： x+2y+c=0将x = 2y c代入椭圆方程整理得8y2+4cy+c2-4=0，由 =0解得c= 22 , c=- 2 2时直线m： x+2y- 2. 2 =0与椭圆切于点P则P至憤线I的距离为最小值，且最小值就是两平行直线m与l的距离,所以dmin =4 -2.105c=2 一 2时直线m： x+2y+2. 2 =0与椭圆切于点Q,则Q到直线I的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与I的距离，所以dmax= 4 52 10。5结论5:椭圆上的点到定直线I距离的最值问题，可转化为与I平行的直线m与椭圆相切的问题，利用判 别式求岀直线m方程，再利用平行线间的距离