吉林省长春市东北师范大学附属中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题含解析

1、吉林省长春市东北师范大学附属中学2018-2019学年高一数学上学期期中试题含解析高一数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知集合，则为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】已知集合A，B，由此能求出【详解】解：集合， 故选：D【点睛】本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题2.下列四组函数中，表示相同函数的一组是（）A. 与B. 与C. 与D. 与【答案】D【解析】【分析】通过化简解析式可发现选项A、C的两函数的解析式不同，两函数不相同，而选项B的两函数定义域不同，两函数也不相同，只能选D【详解】解：A与解析式不同

2、，两函数不相同；B.的定义域为，的定义域为，定义域不同，两函数不相同；C与的解析式不同，两函数不相同；D.的定义域为R，的定义域为R，定义域和解析式都相同，两函数相同故选：D【点睛】考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同3.函数的定义域是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求函数的定义域，即求使有意义的x的取值范围【详解】解：欲使有意义，则有，解得的定义域是故选：B【点睛】本题属基础题，考查了函数定义域及其求法，解析法给出的函数要使解析式有意义，具有实际背景的函数要考虑实际意义4.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】

3、【分析】利用指数函数的单调性以及二次函数的性质，转化求解即可【详解】解：因为，是指数函数，是增函数，是开口向下的二次函数，所以时，二次函数增函数，时，是减函数，由复合函数的单调性可知：函数的单调递增区间是故选：D【点睛】本题考查复合函数的单调性的判断二次函数的性质的应用，考查计算能力5.函数的图象大致为（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】函数是偶函数，图象关于y轴对称，x0时，单调递减；x0时，单调递增，且图象过，由此得出结论【详解】解：由于函数是偶函数，图象关于y轴对称 当时，是减函数 当时，是增函数 再由图象过可得，应选A， 故选：A【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函

4、数的奇偶性的应用，属于基础题6.，则的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，所以 ，故选B.7.已知扇形的周长是3cm，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意可得：，解得利用扇形面积计算公式即可得出【详解】解：由题意可得：，解得该扇形的面积=故选：B【点睛】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题8.函数的零点所在的区间是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用函数的单调性以及连续性，通过零点判定定理选出选项即可【详解】解：函数是连续增函数，因为， 所以，

5、由零点存在定理可知，函数的零点在 故选：C【点睛】本题考查函数的零点判定定理的应用，是基本知识的考查9.若在上是奇函数，则的值为（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】利用奇函数的定义可知其定义域关于原点对称，其图象关于原点对称，从而建立关于的方程，即可求出结果【详解】解：奇函数的定义域关于原点对称，所以奇函数的图象关于原点对称， 即 故选：D【点睛】本题考查了奇函数的定义及特点，注意函数定义域的特点，是个基础题10.已知满足对任意，都有成立，那么a的取值范围是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断函数的单调性利用分段函数解析式，结合单调性列出不等式

6、组求解即可【详解】解：满足对任意，都有成立，所以分段函数是减函数，所以：，解得故选：C【点睛】本题考查分段函数的单调性的应用，函数的单调性的定义的理解，考查转化思想以及计算能力11.已知函数，函数是的反函数，若正数满足，则的值等于（）A. 4B. 8C. 16D. 64【答案】B【解析】【分析】函数，由反函数的求法得， 由对数的运算得：，代值可得解.【详解】解：由函数，函数是的反函数， 则， 所以， 故选：B【点睛】本题考查了反函数的求法及对数的运算求值，属中档题12.设，若关于x的函数有三个不同的零点，则实数t的取值范围为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析】由函数的零点个数与

7、函数图象的交点个数的关系得：关于x的函数可变为，设为关于m的函数的零点，则关于x的函数有三个不同的零点等价于函数的图象与直线的交点个数之和为3个，因为，由图可知：，由韦达定理可得：，得解【详解】解：令，则关于x的函数可变为，设为关于m的函数的零点，则关于x的函数有三个不同的零点等价于函数的图象与直线的交点个数之和为3个，则需函数的图象与直线的位置关系如图所示，又，由图可知：，由韦达定理可得：，故选：C【点睛】本题考查了函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系及韦达定理，考查学生分析问题，转化思想及数形结合思想的应用，属中档题二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.设函数，则_【答案】4

8、【解析】【分析】由已知条件利用分段函数的性质得先求，进而可得【详解】解：函数，故答案为：4【点睛】本题考查分段函数函数值的求法，属于基础题14.函数的值域为_【答案】【解析】【分析】令，则，利用二次函数的性质求解【详解】解：令，则，当时，；当时，；故函数，的值域为故答案为：-4，0【点睛】本题考查函数的值域求法，运用换元法，属于基础题15.已知函数，若对任意的，恒有，则实数a的最大值为_【答案】1【解析】【分析】利用参变分离得在上恒成立，结合双勾函数性质求出的最小值即可【详解】解：由题意知：在上恒成立所以在上恒成立又因为函数在上单调递减，在上单调递增所以当时，最小为2所以，即所以的最大值为1故

9、答案为：1【点睛】本题主要考查二次函数的恒成立问题，参变分离法是一个好方法，可以避免分类讨论，本题属中档题16.已知函数，若，则实数m的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据条件进行转化，构造函数，研究函数的奇偶性和单调性，利用函数单调性的性质进行转化求解即可【详解】解：，设，则，即是奇函数，则在上为减函数，等价为，即，即，即在上为减函数，即，即实数m的取值范围是，故答案为：【点睛】本题主要考查不等式的求解，结合条件构造函数，利用函数性质研究函数的单调性，结合函数单调性进行转化是解决本题的关键，综合性较强三、解答题（本大题共6小题，共56.0分）17.求下列各式的值：（1）；（2）【答案】（

10、1）6（2）【解析】【分析】（1）利用对数运算性质即可得出；（2）利用指数运算性质即可得出【详解】解：（1）原式=（2）原式=【点睛】本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题18.已知集合（1）当时，求；（2）若，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合补集和交集的定义进行计算即可；（2）根据得，结合子集关系进行求解即可详解】解：（1）当时，则或，则（2）若，则则，即，所以实数a的取值范围是【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出不等式的等价条件，结合交集补集的定义是解决本题的关键19.经市场调查，某种商品在进价基础上每涨价1元，其销售量就减少

11、10个，已知这种商品进价为40元/个，若按50元一个售出时能卖出500个（1）请写出售价x（）元与利润y元之间的函数关系式；（2）试计算当售价定为多少元时，获得的利润最大，并求出最大利润【答案】（1）（2）售价为70元时，利润y元最大为9000元【解析】【分析】（1）可得该商品每个涨价()元，其销售量将减少个即有利润；（2）利用函数的解析式，结合二次函数的性质运用配方法，即可得到最大值及x的值【详解】解：（1）由售价为x元，可得该商品每个涨价元，其销售量将减少个即有利润=（2=，当时，y取得最大值，且为9000元故每个商品的售价为70元能够使得利润y元最大，利润的最大值为9000元【点睛】本题

12、考查二次函数的最值问题，列出函数的解析式，运用配方，是解决二次函数的常用方法20.已知函数（1）当时，在给定的直角坐标系内画出的图象，并写出函数的单调区间；（2）讨论函数零点的个数【答案】（1）图像见解析，在，上单调递增，在上单调递减；（2）当或时，函数零点的个数1个，当或时，函数零点的个数2个，当时，函数零点的个数3个.【解析】【分析】（1）由当时，则可作出函数的图象；（2）函数零点的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，结合（1）的图像即可得解.【详解】解：（1）当时，则函数的图象如图所示，由图易知函数在，上单调递增，在上单调递减（2）函数零点的个数等价于函数的图象与直线的交点个数，由（1

13、）得：当或时，函数零点的个数1个，当或时，函数零点的个数2个，当时，函数零点的个数3个.【点睛】本题考查了分段函数图象的作法及函数的零点个数与函数图象的交点个数的关系，属中档题21.定义在上的函数满足，且函数在上是增函数（1）求，并证明函数是偶函数；（2）若，解不等式【答案】（1），证明见解析；（2）或或或.【解析】【分析】（1）先计算，再令可得，令即可得出；（2）计算，故而不等式等价于，根据的单调性和奇偶性列不等式得出解集【详解】解：（1）令，则，再令可得，令可得，是偶函数（2），又，是偶函数，在上单调递增，且，解得或或或所以不等式的解集为或或或【点睛】本题考查了抽象函数的单调性，函数单调性的应用，属于中档题22.已知函数（1）若是偶函数，求实数a的值；（2）当时，判断的单调性，不需要证明；（3）当时，关于x的方程在区间上恰有两个不同的实数解，求实数a的取值范围【答案】（1）（2）增函数（3）【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的性质定义可得，则有，变形分析可得答案；（2）根据题意，分析可得函数和函数都是R上的增函数，据此可得的单调性；（3）根据题意，由函数的解析式分析可得，结合函数的单调性分析，原方程等价于，变形可得：，设，分析可得函数的图象与有2个交点，设，分析函数的单调性以及最值，据此分析可得答案【详解】解：