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文档简介

1、讲 座 重积分的计算及相关问题,基本内容,重积分,三重积分,二重积分,应 用,几何：面积、体积、曲面面积,物理：质量、重心、引力、 转动惯量,性质,计算,直角坐标法,极坐标法,换元法,性质,计算,直角坐标法,球面坐标法,柱面坐标法,重积分计算的关键:,1. 选择坐标系,2. 确定积分次序和积分限,讲座的内容：,一、积分坐标系的选择及积分顺序的确定,二、积分定义及性质的应用,三、换元法的使用,四、对称性的利用,一、积分坐标系的选择及积分顺序,例1,方法: 由积分限先定出积分区域D，然后再 交换积分顺序.,解,例2,证,思路：从改变积分次序入手,例3,证明: 采用极坐标,将式中r的换成x,即得证.

2、,由对称性知,例4,解1,解2,注记: 本题的两种不同坐标系的解法难度相差 不大, 但对于一般的题目当积分曲域和被积函数要求用不同的坐标系时其计算法是有差别的, 请多加注意.,例5,解,采用柱坐标,例6,分析: 体积可用定积分、二重积分和三重积分计算，具体选择要根据区域而定.,解: 选择三重积分, 并采用球面坐标.,二、积分定义及性质的应用,例1,证,同理,注: 本题采用的方法具有代表性, 希望同学们能灵活应用.,例 2,简证,则本题得证.,例3,证明,例 5,证,由积分中值定理有,三、换元法的使用,使用换元法需注意的两个方面:,方法:,例 1,分析: 区域的边界较复杂, 考虑换元.,解,例 2,解1,例 2,解2,例 3,解1,例 3,解2,利用定积分的换元,广义极坐标:,广义球坐标:,四、对称性的利用,(一)、二重积分的对称性,使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标轴的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于二个积分 变量的奇偶性.,例 1,答: 应选(A),使用对称性时应注意：,、积分区域关于坐标面的对称性；,、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 (三个变量

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