高中数学第一章数列3.1等比数列(二)学案北师大版必修5

1、3.1等比数列(二)学习目标1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质.3.系统了解判断数列是否成等比数列的方法知识点一等比数列通项公式的推广思考1我们曾经把等差数列的通项公式做过如下变形： ana1(n1)dam(nm)d.等比数列也有类似变形吗？思考2我们知道等差数列的通项公式可以变形为andna1d，其单调性由公差的正负确定；等比数列的通项公式是否也可做类似变形？梳理公比为q的等比数列an中，ana1qn1qn.an的单调性由a1，q共同确定如下：当或时，an是递增数列；当或时，an是递减数列；q0时，an是摆动数列，q1时，an是常数列知识点二由等比数列衍生的等比

2、数列思考等比数列an的前4项为1,2,4,8，下列判断正确的是(1)3an是等比数列；(2)3an是等比数列；(3)是等比数列；(4)a2n是等比数列梳理(1)在等比数列an中按序号从小到大取出若干项：ak1，ak2，ak3，akn，若k1，k2，k3，kn，成等差数列，那么ak1，ak2，ak3，akn，是等比数列(2)如果an，bn均为等比数列，那么数列，anbn，|an|仍是等比数列知识点三等比数列的性质思考在等比数列an中，aa1a9是否成立？aa3a7是否成立？aan2an2(n2，nN)是否成立？梳理一般地，在等比数列an中，若mnst，则有amanasat(m，n，s，tN)若m

3、n2k，则amana(m，n，kN)类型一等比数列的判断方法例1已知数列an的前n项和为Sn，Snn5an85，nN，证明：an1是等比数列反思与感悟判断一个数列是等比数列的基本方法：(1)定义法：q(常数)；(2)等比中项法：aanan2(an0，nN)；要判断一个数列不是等比数列，举一组反例即可，例如aa1a3.跟踪训练1已知数列an的前n项和为Sn，且Sn(an1)(nN)(1)求a1，a2；(2)求证：数列an是等比数列类型二等比数列的性质命题角度1序号的数字特征例2已知an为等比数列(1)若an0，a2a42a3a5a4a625，求a3a5；(2)若an0，a5a69，求log3a1

4、log3a2log3a10的值反思与感悟抓住各项序号的数字特征，灵活运用等比数列的性质，可以顺利地解决问题跟踪训练2在各项均为正数的等比数列an中，若a3a54，则a1a2a3a4a5a6a7_.命题角度2整体思想例3已知等比数列an中，a4a82，则a6(a22a6a10)的值为()A4 B6 C8 D9反思与感悟利用等比数列性质，挖掘出条件与解题目标之间的联系，进而进行整体代换，是简化计算的常用技巧跟踪训练3设an为公比q1的等比数列，若a2 012和a2 013是方程4x28x30的两根，则a2 014a2 015_.1在等比数列an中，a28，a564，则公比q为()A2 B3 C4

5、D82在等比数列an中，an0，且a1a1027，则log3a2log3a9等于()A9 B6 C3 D23在1与2之间插入6个正数，使这8个数成等比数列，则插入的6个数的积为_4已知an2n3n，判断数列an是不是等比数列？1等比数列的判断或证明(1)利用定义：q(与n无关的常数)(2)利用等比中项：aanan2(nN)2如果证明数列不是等比数列，可以通过具有三个连续项不成等比数列来证明3巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点在解题中也非常重要答案精析问题导学知识点一思考1在等比数列中，由通项公式ana1qn1，得qnm，所以anamqnm(n，mN)思考2设等比数列an的首项为a1，公比为

6、q.则ana1qn1qn，其形式类似于指数型函数，但q可以为负值由于an1ana1qna1qn1a1qn1(q1)，所以an的单调性由a1，q，q1的正负共同决定知识点二思考由定义可判断出(1)，(3)，(4)正确知识点三思考a5a1q4，a9a1q8，a1a9aq8(a1q4)2a，aa1a9成立同理aa3a7成立，aan2an2也成立题型探究例1证明当n1时，a1S115a185，解得a114，当n2时，anSnSn115an5an1，6an5an11，an1(an11)，an1是首项为15，公比为的等比数列跟踪训练1(1)解由S1(a11)，得a1(a11)，所以a1.又S2(a21)，

7、即a1a2(a21)，解得a2.(2)证明当n2时，anSnSn1(an1)(an11)得anan1，即，所以an是首项为，公比为的等比数列例2解(1)a2a42a3a5a4a6a2a3a5a(a3a5)225，an0，a3a50，a3a55.(2)根据等比数列的性质a5a6a1a10a2a9a3a8a4a79，a1a2a9a10(a5a6)595，log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a9a10)log39510.跟踪训练2128例3A由等比数列的性质知a6(a22a6a10)a6a22aa6a10a2a4a8a(a4a8)2，a4a82，a6(a22a6a10)4，故选A.跟踪训练318解析由题意知a