空间向量和立体几何练习试题及答案解析

1、1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD平面MAC，PA=PD=，AB=4（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角BPDA的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【分析】（1）设ACBD=O，则O为BD的中点，连接OM，利用线面平行的性质证明OMPD，再由平行线截线段成比例可得M为PB的中点；（2）取AD中点G，可得PGAD，再由面面垂直的性质可得PG平面ABCD，则PGAD，连接OG，则PGOG，再证明OGAD以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、z轴距离空间直角坐标系，求出平面PBD与平面PAD的一个法

2、向量，由两法向量所成角的大小可得二面角BPDA的大小；（3）求出的坐标，由与平面PBD的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP所成角的正弦值【解答】（1）证明：如图，设ACBD=O，ABCD为正方形，O为BD的中点，连接OM，PD平面MAC，PD平面PBD，平面PBD平面AMC=OM，PDOM，则，即M为PB的中点；（2）解：取AD中点G，PA=PD，PGAD，平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD，PG平面ABCD，则PGAD，连接OG，则PGOG，由G是AD的中点，O是AC的中点，可得OGDC，则OGAD以G为坐标原点，分别以GD、GO、GP所在直线为x、y、

3、z轴距离空间直角坐标系，由PA=PD=，AB=4，得D（2，0，0），A（2，0，0），P（0，0，），C（2，4，0），B（2，4，0），M（1，2，），设平面PBD的一个法向量为，则由，得，取z=，得取平面PAD的一个法向量为cos=二面角BPDA的大小为60；（3）解：，平面BDP的一个法向量为直线MC与平面BDP所成角的正弦值为|cos|=|=|=【点评】本题考查线面角与面面角的求法，训练了利用空间向量求空间角，属中档题2如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，BAC=90点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2（）求证：MN平面BDE

4、；（）求二面角CEMN的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长【分析】（）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF平面BDE，NF平面BDE得到平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）由PA底面ABC，BAC=90可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系求出平面MEN与平面CME的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值得二面角CEMN的余弦值，进一步求得正弦值；（）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE所成角的余弦值为列式求得线段AH的长【解答】（）证明：取AB中点F，连接MF、

5、NF，M为AD中点，MFBD，BD平面BDE，MF平面BDE，MF平面BDEN为BC中点，NFAC，又D、E分别为AP、PC的中点，DEAC，则NFDEDE平面BDE，NF平面BDE，NF平面BDE又MFNF=F平面MFN平面BDE，则MN平面BDE；（）解：PA底面ABC，BAC=90以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系PA=AC=4，AB=2，A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），则，设平面MEN的一个法向量为，由，得，取z=2，得由图可得平面CME的一个法向量为cos=二面角CEM

6、N的余弦值为，则正弦值为；（）解：设AH=t，则H（0，0，t），直线NH与直线BE所成角的余弦值为，|cos|=|=|=解得：t=或t=当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长为或【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题3如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120得到的，G是的中点（）设P是上的一点，且APBE，求CBP的大小； （）当AB=3，AD=2时，求二面角EAGC的大小【分析】（）由已知利用线面垂直的判定可得BE平面ABP，得到BEBP，结合EBC=120求

7、得CBP=30； （）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EMAG，CMAG，说明EMC为所求二面角的平面角求解三角形得二面角EAGC的大小法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角EAGC的大小【解答】解：（）APBE，ABBE，且AB，AP平面ABP，ABAP=A，BE平面ABP，又BP平面ABP，BEBP，又EBC=120，因此CBP=30； （）解法一、取的中点H，连接E

8、H，GH，CH，EBC=120，四边形BECH为菱形，AE=GE=AC=GC=取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EMAG，CMAG，EMC为所求二面角的平面角又AM=1，EM=CM=在BEC中，由于EBC=120，由余弦定理得：EC2=22+22222cos120=12，因此EMC为等边三角形，故所求的角为60解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，3），C（1，0），故，设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=2，得cos=二面角E

9、AGC的大小为60【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题4如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，AFD=90，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60（）证明平面ABEF平面EFDC；（）求二面角EBCA的余弦值【分析】（）证明AF平面EFDC，利用平面与平面垂直的判定定理证明平面ABEF平面EFDC；（）证明四边形EFDC为等腰梯形，以E为原点，建立如图所示的坐标系，求出平面BEC、平面ABC的法向量，代入向量夹角公式可得二面角EBCA的余弦值【解答】（）证明：ABEF为

10、正方形，AFEFAFD=90，AFDF，DFEF=F，AF平面EFDC，AF平面ABEF，平面ABEF平面EFDC；（）解：由AFDF，AFEF，可得DFE为二面角DAFE的平面角；由ABEF为正方形，AF平面EFDC，BEEF，BE平面EFDC即有CEBE，可得CEF为二面角CBEF的平面角可得DFE=CEF=60ABEF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，AB平面EFDC，平面EFDC平面ABCD=CD，AB平面ABCD，ABCD，CDEF，四边形EFDC为等腰梯形以E为原点，建立如图所示的坐标系，设FD=a，则E（0，0，0），B（0，2a，0），C（，0，a），A（2a，2a，0），

11、=（0，2a，0），=（，2a，a），=（2a，0，0）设平面BEC的法向量为=（x1，y1，z1），则，则，取=（，0，1）设平面ABC的法向量为=（x2，y2，z2），则，则，取=（0，4）设二面角EBCA的大小为，则cos=，则二面角EBCA的余弦值为【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查用空间向量求平面间的夹角，建立空间坐标系将二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键5如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB=5，AC=6，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=，EF交于BD于点H，将DEF沿EF折到DEF的位置，OD=（）证明：DH平面ABCD；（）求二面角BDAC的

12、正弦值【分析】（）由底面ABCD为菱形，可得AD=CD，结合AE=CF可得EFAC，再由ABCD是菱形，得ACBD，进一步得到EFBD，由EFDH，可得EFDH，然后求解直角三角形得DHOH，再由线面垂直的判定得DH平面ABCD；（）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，由已知求得所用点的坐标，得到的坐标，分别求出平面ABD与平面ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC的平面角为，求出|cos|则二面角BDAC的正弦值可求【解答】（）证明：ABCD是菱形，AD=DC，又AE=CF=，则EFAC，又由ABCD是菱形，得ACBD，则EFBD，EFDH，则EFDH，AC=6，AO=3，又AB

13、=5，AOOB，OB=4，OH=1，则DH=DH=3，|OD|2=|OH|2+|DH|2，则DHOH，又OHEF=H，DH平面ABCD；（）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，AB=5，AC=6，B（5，0，0），C（1，3，0），D（0，0，3），A（1，3，0），设平面ABD的一个法向量为，由，得，取x=3，得y=4，z=5同理可求得平面ADC的一个法向量，设二面角二面角BDAC的平面角为，则|cos|=二面角BDAC的正弦值为sin=【点评】本题考查线面垂直的判定，考查了二面角的平面角的求法，训练了利用平面的法向量求解二面角问题，体现了数学转化思想方法，是中档题6在三棱柱AB

14、CA1B1C1中，CA=CB，侧面ABB1A1是边长为2的正方形，点E，F分别在线段AA1、A1B1上，且AE=，A1F=，CEEF（）证明：平面ABB1A1平面ABC；（）若CACB，求直线AC1与平面CEF所成角的正弦值【分析】（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DE计算DE，EF，DF，利用勾股定理的逆定理得出DEEF，由三线合一得CDAB，故而CD平面ABB1A1，从而平面ABB1A1平面ABC；（II）以C为原点建立空间直角坐标系，求出和平面CEF的法向量，则直线AC1与平面CEF所成角的正弦值等于|cos|【解答】证明：（I）取AB的中点D，连结CD，DF，DEAC=BC，D是A

15、B的中点，CDAB侧面ABB1A1是边长为2的正方形，AE=，A1F=A1E=，EF=，DE=，DF=，EF2+DE2=DF2，DEEF，又CEEF，CEDE=E，CE平面CDE，DE平面CDE，EF平面CDE，又CD平面CDE，CDEF，又CDAB，AB平面ABB1A1，EF平面ABB1A1，AB，EF为相交直线，CD平面ABB1A1，又CDABC，平面ABB1A1平面ABC（II）平面ABB1A1平面ABC，三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，CC1平面ABCCACB，AB=2，AC=BC=以C为原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A（，0，0），C（0，0，

16、0），C1（0，0，2），E（，0，），F（，2）=（，0，2），=（，0，），=（，2）设平面CEF的法向量为=（x，y，z），则，令z=4，得=（，9，4）=10，|=6，|=sin=直线AC1与平面CEF所成角的正弦值为【点评】本题考查了面面垂直的判定，线面角的计算，空间向量的应用，属于中档题7如图，在四棱锥中PABCD，PA平面ABCD，ADBC，ADCD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2（1）求证：ABPC；（2）在线段PD上，是否存在一点M，使得二面角MACD的大小为45，如果存在，求BM与平面MAC所成角的正弦值，如果不存在，请说明理由【分析】（1）利用直角梯形的性质求出AB

17、，AC的长，根据勾股定理的逆定理得出ABAC，由PA平面ABCD得出ABPA，故AB平面PAC，于是ABPC；（2）假设存在点M，做出二面角的平面角，根据勾股定理求出M到平面ABCD的距离从而确定M的位置，利用棱锥的体积求出B到平面MAC的距离h，根据勾股定理计算BM，则即为所求角的正弦值【解答】解：（1）证明：四边形ABCD是直角梯形，AD=CD=2，BC=4，AC=4，AB=4，ABC是等腰直角三角形，即ABAC，PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB，AB平面PAC，又PC平面PAC，ABPC（2）假设存在符合条件的点M，过点M作MNAD于N，则MNPA，MN平面ABCD，MNAC

18、过点M作MGAC于G，连接NG，则AC平面MNG，ACNG，即MGN是二面角MACD的平面角若MGN=45，则NG=MN，又AN=NG=MN，MN=1，即M是线段PD的中点存在点M使得二面角MACD的大小为45在三棱锥MABC中，VMABC=SABCMN=，设点B到平面MAC的距离是h，则VBMAC=，MG=MN=，SMAC=2，=，解得h=2在ABN中，AB=4，AN=，BAN=135，BN=，BM=3，BM与平面MAC所成角的正弦值为=【点评】本题考查了项目垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属于中档题8如图，在各棱长均为2的三棱柱ABCA1B1C1中，侧面A1ACC1底面ABC，A

19、1AC=60（1）求侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值的大小；（2）已知点D满足=+，在直线AA1上是否存在点P，使DP平面AB1C？若存在，请确定点P的位置，若不存在，请说明理由【分析】（1）推导出A1O平面ABC，BOAC，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值（2）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），则利用向量法能求出存在点P，使DP平面AB1C，其坐标为（0，0，），即恰好为A1点【解答】解：（1）侧面A1ACC1底面ABC，作A1OAC于点O，A1O平面ABC又ABC=A1AC=60，且各

20、棱长都相等，AO=1，OA1=OB=，BOAC（2分）故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A（0，1，0），B（，0，0），A1（0，0，），C（0，1，0），=（0，1，），=（），=（0，2，0）（4分）设平面AB1C的法向量为，则，取x=1，得=（1，0，1）设侧棱AA1与平面AB1C所成角的为，则sin=|cos，|=|=，侧棱AA1与平面AB1C所成角的正弦值为（6分）（2）=，而，=（2，0，0），又B（），点D（，0，0）假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P（0，y，z），DP平面AB1C，=（1，0，1）为平面AB1C的法向量，由=，得，y=0（10

21、分）又DP平面AB1C，故存在点P，使DP平面AB1C，其坐标为（0，0，），即恰好为A1点（12分）【点评】本题考查线面角的正弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用9在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO平面ABB1A1（）证明：平面AB1C平面BCD；（）若OC=OA，AB1C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值【分析】（）通过证明AB1BD，AB1CO，推出AB1平面BCD，然后证明平面AB1C平面BCD（）以O为坐标原点，分别以OD

22、，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz求出平面ABC的法向量，设直线GD与平面ABC所成角，利用空间向量的数量积求解直线GD与平面ABC所成角的正弦值即可【解答】（本小题满分12分）解：（）ABB1A1为矩形，AB=2，D是AA1的中点，BAD=90，从而，ABD=AB1B，（2分），从而AB1BD（4分）CO平面ABB1A1，AB1平面ABB1A1，AB1CO，BDCO=O，AB1平面BCD，AB1平面AB1C，平面AB1C平面BCD（6分）（）如图，以O为坐标原点，分别以OD，OB1，OC所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz在矩形

23、ABB1A1中，由于ADBB1，所以AOD和B1OB相似，从而又，G为AB1C的重心，（8分）设平面ABC的法向量为，由可得，令y=1，则z=1，所以（10分）设直线GD与平面ABC所成角，则=，所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力10在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，将ABD沿BD折起，使得点A折起至A，设二面角ABDC的大小为（1）当=90时，求AC的长；（2）当cos=时，求BC与平面ABD所成角的正弦值【分析】（1）过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CE，利用

24、勾股定理及余弦定理计算AE，CE，由AECE得出AC；（2）利用余弦定理可得AF=，从而得出AF平面ABCD，以F为原点建立坐标系，求出和平面ABD的法向量，则BC与平面ABD所成角的正弦值为|cos|【解答】解：（1）在图1中，过A作BD的垂线交BD于E，交DC于F，连接CEAB=4，AD=2，BD=10，BE=8，cosCBE=在BCE中，由余弦定理得CE=2=90，AE平面ABCD，AECE|AC|=2（2）DE=2tanFDE=，EF=1，DF=当即cosAEF=时，AE2=AF2+EF2，AFE=90又BDAE，BDEF，BD平面AEF，BDAFAF平面ABCD以F为原点，以FC为x

25、轴，以过F的AD的平行线为y轴，以FA为z轴建立空间直角坐标系如图所示：A（0，0，），D（，0，0），B（3，2，0），C（3，0，0）=（0，2，0），=（4，2，0），=（，0，）设平面ABD的法向量为=（x，y，z），则，令z=1得=（，2，1）cos=BC与平面ABD所成角的正弦值为【点评】本题考查了空间角与空间距离的计算，空间向量的应用，属于中档题11如图，由直三棱柱ABCA1B1C1和四棱锥DBB1C1C构成的几何体中，BAC=90，AB=1，BC=BB1=2，C1D=CD=，平面CC1D平面ACC1A1（）求证：ACDC1；（）若M为DC1的中点，求证：AM平面DBB1；（）在

26、线段BC上是否存在点P，使直线DP与平面BB1D所成的角为？若存在，求的值，若不存在，说明理由【分析】（）证明ACCC1，得到AC平面CC1D，即可证明ACDC1（）易得BAC=90，建立空间直角坐标系Axyz，依据已知条件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），利用向量求得AM与平面DBB1所成角为0，即AM平面DBB1（）利用向量求解【解答】解：（）证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，CC1平面ABC，故ACCC1，由平面CC1D平面ACC1A1，且平面CC1D平面ACC1A1=CC1，所以AC平面CC1D，又C1D平面CC1D，所以ACDC1（）证明：在直三棱柱AB

27、CA1B1C1中，AA1平面ABC，所以AA1AB，AA1AC，又BAC=90，所以，如图建立空间直角坐标系Axyz，依据已知条件可得A（0，0，0），B（0，0，1），B1（2，0，1），所以，设平面DBB1的法向量为，由即令y=1，则，x=0，于是，因为M为DC1中点，所以，所以，由，可得，所以AM与平面DBB1所成角为0，即AM平面DBB1（）解：由（）可知平面BB1D的法向量为设，0，1，则，若直线DP与平面DBB1成角为，则，解得，故不存在这样的点【点评】本题考查了空间线线垂直、线面平行的判定，向量法求二面角属于中档题12如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD为正方形，平面AED

28、平面ABCD，AB=EA=ED，EFBD（ I）证明：AECD（ II）在棱ED上是否存在点M，使得直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由【分析】（I）利用面面垂直的性质得出CD平面AED，故而AECD；（II）取AD的中点O，连接EO，以O为原点建立坐标系，设，求出平面BDEF的法向量，令|cos|=，根据方程的解得出结论【解答】（I）证明：四边形ABCD是正方形，CDAD，又平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，CD平面ABCD，CD平面AED，AE平面AED，AECD（II）解：取AD的中点O，过O作ONAB交BC于N，连接E

29、O，EA=ED，OEAD，又平面AED平面ABCD，平面AED平面ABCD=AD，OE平面AED，OE平面ABCD，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示：设正方形ACD的边长为2，则A（1，0，0），B（1，2，0），D（1，0，0），E（0，0，1），M（，0，1）=（1，0，1），=（1，0，1），=（2，2，0），设平面BDEF的法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1得=（1，1，1），cos=，令|=，解得=0，当M与点E重合时，直线AM与平面EFBD所成角的正弦值为【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间向量与线面角的计算，属于中档题13如图，在四棱锥PABCD中，ABC

30、=ACD=90，BAC=CAD=60，PA平面ABCD，PA=2，AB=1（1）设点E为PD的中点，求证：CE平面PAB；（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线CN与平面PAC所成的角的正弦值为？若存在，试确定点N的位置，若不存在，请说明理由【分析】（1）取AD中点M，利用三角形的中位线证明EM平面PAB，利用同位角相等证明MCAB，得到平面EMC平面PAB，证得EC平面PAB；（2）建立坐标系，求出平面PAC的法向量，利用直线CN与平面PAC所成的角的正弦值为，可得结论【解答】（1）证明：取AD中点M，连EM，CM，则EMPAEM平面PAB，PA平面PAB，EM平面PAB在RtACD中，C

31、AD=60，AC=AM=2，ACM=60而BAC=60，MCABMC平面PAB，AB平面PAB，MC平面PABEMMC=M，平面EMC平面PABEC平面EMC，EC平面PAB（2）解：过A作AFAD，交BC于F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），B（，0），C（，1，0），D（0，4，0），P（0，0，2），设平面PAC的法向量为=（x，y，z），则，取=（，3，0），设=（01），则=（0，4，2），=（1，22），|cos，|=，N为PD的中点，使得直线CN与平面PAC所成的角的正弦值为【点评】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB平面ABCD，