导数及其应用

1、第一节变化率与导数、导数的计算考纲要求：1.了解导数概念的实际背景2理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如yf(axb)的复合函数)的导数1导数的概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的

2、导数通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)li li .(2)导数的几何意义函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率函数yf(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义(3)函数的导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)li ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数公式及运算法则(1)导数公式表原函数导函数f(x)c(c为常数)f(x)0f(x)xn(nQ)f(x)nxn1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x

3、)axf(x)axln_af(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)f(x)ln xf(x)(2)导数的运算法则f(x)g(x)f(x)g(x)；f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(g(x)0)(3)复合函数的导数复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与f(x0)表示的意义相同()(2)f(x0)是导函数f(x)在xx0处的函数值()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点()(4)cos .()(5)若(

4、ln x)，则ln x()(6)函数f(x)sin (x)的导数为f(x)cos x()(7)ycos 3x由函数ycos u，u3x复合而成()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)2曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程是()Ax3y30Bx2y20C2xy10 D3xy10解析：选Cysin xex，ycos xex，yx0cos 0e02，曲线ysin xex在点(0,1)处的切线方程为y12(x0)，即2xy10.故选C.3求下列函数的导数：(1)yxnex；(2)y.答案：(1)yex(nxn1xn)(2)y.典题1求下列函数的导数：(1)y(1)；(2)y；(3

5、)ytan x；(4)y3xex2xe；(5)y.听前试做(1)y(1)xx，y(x)(x)xx.(2)y.(3)y.(4)y(3xex)(2x)e(3x)ex3x(ex)(2x)3x(ln 3)ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(5)y.导数的运算方法(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导(6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求

6、导 典题2(1)(2015天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(2)已知f(x)x22xf(2 016)2 016ln x，则f(2 016)_.听前试做(1)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3.(2)由题意得f(x)x2f(2 016)，所以f(2 016)2 0162f(2 016)，即f(2 016)(2 0161)2 017.答案：(1)3(2)2 017在求导过程中，要仔细分析函数解析式的特点，紧扣法则，记准公式，预防运算错误1若函数f(x)ax4bx2c满

7、足f(1)2，则f(1)等于()A1 B2 C2 D0解析：选Bf(x)ax4bx2c，f(x)4ax32bx.又f(1)2，4a2b2，f(1)4a2b2.2在等比数列an中，a12，a84，函数f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)，则f(0)的值为_解析：因为f(x)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x(xa1)(xa2)(xa8)(xa1)(xa2)(xa8)x，所以f(0)(0a1)(0a2)(0a8)0a1a2a8.因为数列an为等比数列，所以a2a7a3a6a4a5a1a88，所以f(0)84212.答案：212导数的几何意义是每年高考的必考内容，考

8、查题型既有选择题、填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题，且主要有以下几个命题角度：角度一：求切线方程典题3(1)(2016宜春模拟)曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10(2)(2016铜川模拟)设曲线yexax在点(0,1)处的切线与直线x2y10垂直，则实数a()A3 B1C2 D0(3)已知函数f(x)x34x25x4.求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程听前试做(1)由于ye，所以yx1e1，故曲线yexln x在点(1，

9、e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.(2)与直线x2y10垂直的直线斜率为2，f(0)e0a2，解得a2.(3)f(x)3x28x5，f(2)1，又f(2)2，曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y(2)x2，即xy40.设切点坐标为(x0，x4x5x04)，f(x0)3x8x05，切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点(x0，x4x5x04)，x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或x01，经过A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.答案：(1)C(2)C角度二：求切点坐标典题4(2

10、015陕西高考)设曲线yex在点(0,1)处的切线与曲线y(x0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为_听前试做yex，曲线yex在点(0,1)处的切线的斜率k1e01，设P(m，n)，y(x0)的导数为y(x0)，曲线y(x0)在点P处的切线斜率k2(m0)，因为两切线垂直，所以k1k21，所以m1，n1，则点P的坐标为(1,1)答案：(1,1)角度三：求参数的值典题5(1)若曲线f(x)acos x与曲线g(x)x2bx1在交点(0，m)处有公切线，则ab()A1 B0 C1 D2(2)(2015新课标全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.(

11、3)(2015新课标全国卷)已知曲线yxln x在点(1,1)处的切线与曲线yax2(a2)x1相切，则a_.听前试做(1)两曲线的交点为(0，m)，即a1，f(x)cos x，f(x)sin x，则f(0)0，f(0)1.又g(x)2xb，g(0)b，b0，ab1.(2)f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.(3)法一：yxln x，y1，yx12.曲线yxln x在点(1,1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.y2x1与曲线yax2(a2)x1相切，a0(当a0时曲线变为y2x1与已

12、知直线平行)由消去y，得ax2ax20.由a28a0，解得a8.法二：同法一得切线方程为y2x1.设y2x1与曲线yax2(a2)x1相切于点(x0，ax(a2)x01)y2ax(a2)，yxx02ax0(a2)由解得答案：(1)C(2)1(3)8(1)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解(如角度一)(2)已知斜率k，求切点A(x0，f(x0)，即解方程f(x0)k.(如角度二)(3)根据导数的几何意义求参数的值时，一般是利用切点P(x0，

13、y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解当切线方程中x(或y)的系数含有字母参数时，则切线恒过定点(如角度三)课堂归纳感悟提升方法技巧1f(x0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误3奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数易错防范1曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过

14、点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点2利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆3直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点4曲线未必在其切线的同侧，如曲线yx3在其过(0,0)点的切线y0的两侧一、选择题1曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B2 Ce D.解析：选A由题意知yex，故所求切线斜率kexx0e01.2(2016抚州模拟)已知函数f(x)cos x，则f()f()A B C

15、D解析：选Cf(x)cos x(sin x)，f()f(1).3设曲线y在点处的切线与直线xay10平行，则实数a等于()A1 B. C2 D2解析：选Ay，yx1，由条件知1，a1.4(2016西安模拟)设直线yxb是曲线yln x(x0)的一条切线，则实数b的值为()Aln 21 Bln 22C2ln 21 D2ln 22解析：选A设切点坐标为(x0，ln x0)，则，即x02，切点坐标为(2，ln 2)，又切点在直线yxb上，ln 21b，即bln 21.5(2016上饶模拟)若点P是曲线yx2ln x上任意一点，则点P到直线yx2的最小值为()A1 B. C. D.解析：选B因为定义域

16、为(0，)，所以y2x1，解得x1，则在P(1,1)处的切线方程为xy0，所以两平行线间的距离为d.二、填空题6已知函数f(x)xln x，若f(x0)2，则x0_.解析：f(x)ln x1，由f(x0)2，即ln x012，解得x0e.答案：e7若直线l与幂函数yxn的图像相切于点A(2,8)，则直线l的方程为_解析：由题意知，A(2,8)在yxn上，2n8，n3，y3x2，直线l的斜率k32212，又直线l过点(2,8)y812(x2)，即直线l的方程为12xy160.答案：12xy1608(2016商洛模拟)在平面直角坐标系xOy中，点M在曲线C：yx3x上，且在第二象限内，已知曲线C在

17、点M处的切线的斜率为2，则点M的坐标为_解析：y3x21，曲线C在点M处的切线的斜率为2，3x212，x1，又点M在第二象限，x1，y(1)3(1)0，M点的坐标为(1,0)答案：(1,0)三、解答题9已知函数f(x)x3x16.(1)求曲线yf(x)在点(2，6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线yf(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标解：(1)可判定点(2，6)在曲线yf(x)上f(x)(x3x16)3x21，f(x)在点(2，6)处的切线的斜率为kf(2)13.切线的方程为y613(x2)，即y13x32.(2)设切点坐标为(x0，y0)，则直线l的斜率为f(x0)3x1，

18、y0xx016，直线l的方程为y(3x1)(xx0)xx016.又直线l过原点(0,0)，0(3x1)(x0)xx016，整理得，x8，x02，y0(2)3(2)1626，得切点坐标(2，26)，k3(2)2113.直线l的方程为y13x，切点坐标为(2，26)10设函数yx22x2的图像为C1，函数yx2axb的图像为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求ab的值解：对于C1：yx22x2，有y2x2，对于C2：yx2axb，有y2xa，设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直(2x02)(2x0a)1，即4x2(a2)x02a10

19、，又点(x0，y0)在C1与C2上，故有2x(a2)x02b0.由消去x0，可得ab.1下面四个图像中，有一个是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR)的导函数yf(x)的图像，则f(1)()A. B C. D或解析：选Df(x)x22axa21，f(x)的图像开口向上，则排除若f(x)的图像为，此时a0，f(1)；若f(x)的图像为，此时a210，又对称轴xa0，a1，f(1).2已知曲线C：f(x)x3axa，若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线，它们的倾斜角互补，则a的值为()A. B2 C2 D解析：选A设切点坐标为(t，t3ata)由题意知，f(x)3x2a，切线的斜率

20、kyxt3t2a，所以切线方程为y(t3ata)(3t2a)(xt).将点A(1,0)代入式得(t3ata)(3t2a)(1t)，解得t0或t.分别将t0和t代入式，得ka和ka，由题意得它们互为相反数，故a.3函数f(x)exx2x1与g(x)的图像关于直线2xy30对称，P，Q分别是函数f(x)，g(x)图像上的动点，则|PQ|的最小值为()A. B. C. D2解析：选D因为f(x)与g(x)的图像关于直线2xy30对称，所以当f(x)与g(x)在P，Q处的切线与2xy30平行时，|PQ|的长度最小f(x)ex2x1，令ex2x12，得x0，此时P(0,2)，且P到2xy30的距离为，所

21、以|PQ|min2.4若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意，可知f(x)3ax2，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax20，即a(x0)，故a(，0)答案：(，0)5已知函数f(x)x32x23x(xR)的图像为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围解：(1)由题意得f(x)x24x3，则f(x)(x2)211，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是1，)(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得1k0

22、或k1，故由1x24x30或x24x31，得x(，2(1,3)2，)第二节导数与函数的单调性、极值、最值考纲要求：1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)2了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)1函数的单调性与导数2函数的极值与导数(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数

23、的极大值(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数yf(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数yf(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件：一般地，如果在区间a，b上，函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值(2)求函数yf(x)在a，b上的最大值与最小值的步骤为求函数yf(x)在(a，b)内的极值；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值

24、1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x)0是f(x)为增函数的充要条件()(2)函数的导数越小，函数的变化越慢，函数的图像就越“平缓”()(3)函数的极大值不一定比极小值大()(4)对可导函数f(x)，f(x0)0是x0点为极值点的充要条件()(5)函数的极大值一定是函数的最大值()(6)开区间上的单调连续函数无最值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数f(x)exx的减区间为_答案：(，0)3已知f(x)x3ax在1，)上是增函数，则a的最大值是_答案：34函数f(x)x34x4的极大值为_答案：5函数y2x32x2在区间1,2上的最大值是_解析：y6x

25、24x，令y0，得x0或x.f(1)4，f(0)0，f，f(2)8.最大值为8.答案：8典题1设函数f(x)x3x2bxc，曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(1)求b，c的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)f(x)2x，且g(x)在区间(2，1)内为单调递减函数，求实数a的取值范围听前试做(1)f(x)x2axb，由题意得即(2)由(1)得，f(x)x2axx(xa)当a0时，f(x)x20恒成立，即函数f(x)在(，)内为单调增函数当a0时，由f(x)0得，xa或x0；由f(x)0得0xa.即函数f(x)的单调递增区间为(，0)，(a，)，单调递减区

26、间为(0，a)当a0得，x0或xa；由f(x)0得，ax0.即函数f(x)的单调递增区间为(，a)，(0，)，单调递减区间为(a,0)(3)g(x)f(x)2x2ax2，且g(x)在(2，1)内为减函数，g(x)0，即x2ax20在(2，1)内恒成立，即解得a3，即实数a的取值范围为(，3探究1在本例(3)中，若g(x)的单调减区间为(2，1)，如何求解？解：g(x)的单调减区间为(2，1)，x12，x21是g(x)0的两个根，(2)(1)a，即a3.探究2在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)内存在单调递减区间，如何求解？解：g(x)x2ax2，依题意，存在x(2，1)，使不等式g(x)

27、x2ax20成立，即x(2，1)时，amax2，当且仅当x即x时等号成立所以满足要求的a的取值范围是(，2)探究3在本例(3)中，若g(x)在区间(2，1)内不单调，如何求解？解：g(x)在(2，1)内不单调，g(x)x2ax2，g(2)g(1)0或由g(2)g(1)0，得(62a)(3a)0，无解由得即解得3a0时，若0x0；若x1，则f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当x1时，函数f(x)取得极大值.当k0时，若0x1，则f(x)1，则f(x)0，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当x1时，函数f(x)取得极小值.解题模板利用导数求函

28、数极值的步骤角度二：已知极值求参数典题3(1)(2016金华十校联考)已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是_(2)(2016上饶模拟)设函数f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_听前试做(1)f(x)(ln xax)xln x12ax，令f(x)0，得2a.设(x)，则(x)，易知(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，所以(x)max(1)1，则(x)的大致图像如图所示，若函数f(x)有两个极值点，则直线y2a和y(x)的图像有两个交点，所以02a1，得0a.(2)f(x)的定义域为(0，)，f(x)axb，由f

29、(1)0，得b1a.f(x)axa1.若a0，当0x0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减，所以x1是f(x)的极大值点若a1，解得1a1.答案：(1)(2)(1，)(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值典题4(2015新课标全国卷)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围听前试做(1)f(x)的定义域为(

30、0，)，f(x)a.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x处取得最大值，最大值为flnaln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0，)上单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)解题模板利用导数求函数最值的步骤已知函数f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间0,1上的最小值解：(1)由题意知f(x)(xk1)ex.令f(x)0，得xk1.f(x)与f(x)的情况如下：x(，k1)k1(

31、k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的单调递减区间是(，k1)；单调递增区间是(k1，)(2)当k10，即k1时，f(x)在0,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(0)k；当0k11，即1k2时，f(x)在0，k1上单调递减，在k1,1上单调递增，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k11，即k2时，f(x)在0,1上单调递减，所以f(x)在区间0,1上的最小值为f(1)(1k)e.综上，当k1时，f(x)在0,1上的最小值为f(0)k；当1k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(k1)ek1；当k2时，f(x)在0,1上的最小值为f(1)(1k

32、)e.课堂归纳感悟提升方法技巧1利用导数研究函数的单调性、极值、最值可列表观察函数的变化情况，直观而且条理，减少失分2求极值、最值时，要求步骤规范、表格齐全；含参数时，要讨论参数的大小3若函数f(x)的图像连续不断，则f(x)在a，b内一定有最值4若函数f(x)在a，b内是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值5若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点易错防范1求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论2解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f(x)0时的情况；区分极值点和导数为0的点一、选择题1已知函数

33、f(x)的导函数f(x)ax2bxc的图像如图所示，则f(x)的图像可能是()解析：选D当x0时，由导函数f(x)ax2bxc0时，由导函数f(x)ax2bxc的图像可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增2函数yx2ln x的单调递减区间为()A(0,1) B(0，)C(1，) D(0,2)解析：选A对于函数yx2ln x，易得其定义域为x|x0，yx，令0，所以x210，解得0x1，即函数yx2ln x的单调递减区间为(0,1)3(2016汉中模拟)已知函数f(x)(2xx2)ex，则()Af()是f(x)的极大值也是最大值Bf()是f(x)的极大值

34、但不是最大值Cf()是f(x)的极小值也是最小值Df(x)没有最大值也没有最小值解析：选A由题意得f(x)(22x)ex(2xx2)ex(2x2)ex，当x0，函数f(x)单调递增；当x时，f(x)0，在x处取得极小值f()2(1)e0，又当x0时，f(x)(2xx2)ex0；当x(1，e时，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当x1时，f(x)取得最大值ln 111.5已知函数f(x)x在(，1)上单调递增，则实数a的取值范围是()A1，) B(，0)(0,1C(0,1 D(，0)1，)解析：选D函数f(x)x的导数为f(x)1，由于f(x)在(，

35、1)上单调递增，则f(x)0在(，1)上恒成立，即x2在(，1)上恒成立由于当x1，则有1，解得a1或a0，解得单调递增区间为(，1)，(1，)，f(x)0，得函数的增区间是(，2)及(2，)，由y0，得函数的减区间是(2，2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数，所以k12k1或k12k1，解得3k1或1k3.答案：(3，1)(1,3)8已知函数f(x)1x，若函数f(x)的零点均在a，b(a1时，f(x)0，当x0，所以f(x)单调递增，而f(0)1，f(1)0.讨论f(x)的单调性解：由题意知，f(x)的定义域是(0，)，导函数f(x)1.设g(x)x2ax2，二次方程g(x)0的判

36、别式a28.当0，即0a0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2 时，仅对x有f(x)0，对其余的x0都有f(x)0.此时f(x)是(0，)上的单调递增函数当0，即a2时，方程g(x)0有两个不同的实根x1，x2，0x10，m(x)单调递增，x(1，)时，m(x)0，m(x)单调递减，m(x)m(1)0，即ln xx1.k(x)0，故k(x)在(0，)上单调递增，又k(1)0，所以x(0,1)时，k(x)0，g(x)0，g(x)0，g(x)单调递增，g(x)g(1)2，故g(x)的最小值为2.1(2016渭南模拟)设f(x)在定义域内可导，其图像如右图所示，则导函数

37、f(x)的图像可能是()解析：选B由f(x)的图像可知，当x0时，是减函数，f(x)0时，函数的单调性是先减后增再减当x时，f(x)0，若af，b2f(2)，cf，则a，b，c的大小关系正确的是()Aacb BbcaCabc Dca0时，h(x)f(x)xf(x)0，此时函数h(x)单调递增afh，b2f(2)2f(2)h(2)，cfhh(ln 2)h(ln 2)，又2ln 2，bca.3若不等式2y2x2c(x2xy)对任意满足xy0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为_解析：由xy0,2y2x2c(x2xy)得c，即c.设t，则t1，令g(t)1，g(t)，当1t2时，g(t)2时，g(

38、t)0，所以g(t)ming(2)24.则c24，即实数c的最大值为24.答案：244(2016烟台模拟)已知函数f(x)ax2x(a0，且a1)(1)当a2时，求曲线f(x)在点P(2，f(2)处的切线方程；(2)若f(x)的值恒非负，试求a的取值范围；(3)若函数f(x)存在极小值g(a)，求g(a)的最大值解：(1)当a2时，f(x)2x2x，所以f(x)2xln 22，所以f(2)4ln 22，又f(2)0，所以所求切线方程为y(4ln 22)(x2)(2)当x0时，f(x)0恒成立；当x0时，若0a1时，f(x)121.由f(x)0知ax2x，所以xln aln(2x)，所以ln a

39、.令g(x)，则g(x)，令g(x)0，则x，且0x0，x时，g(x)0，则g(x)maxg，所以ln a，ae，即a的取值范围为e，)(3)f(x)axln a2，当0a0，ln a0，则f(x)1时，设方程f(x)0的根为t，得at，即tloga，所以f(x)在(，t)上为减函数，在(t，)上为增函数，所以f(x)的极小值为f(t)at2t2，即g(a)2，又a1，所以0.设h(x)xxln x，x0，则h(x)1ln xxln x，令h(x)0，得x1，所以h(x)在(0,1)上为增函数，在(1，)上为减函数，所以h(x)的最大值为h(1)1，即g(a)的最大值为1，此时ae2.第三节导

40、数的综合应用典题1(2015北京高考)设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， 上仅有一个零点听前试做(1)由f(x)kln x(k0)，得x0且f(x)x.由f(x)0，解得x(负值舍去)f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1， 上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(1， 上单调递减，且f(1)0，f()0)(1)求函数F(x)f(x)g(x)的极值；(2)若函数G(x)f(x)g(x)(a1)x在区间内有两个零点，求实数a的