广义二重积分

1、.网极限在我们所采用的定义1至定义4中均应用了网极限的概念,因此有必要将网极限的一般定义及部分可能要用到的性质略作阐述.定义0.1 设集合,称上的二元关系为半序关系,若其满足:非自反性: 传递性: ,若则:定理0.1 如此定义的半序集中没有最大元证明:反设 另 由知: 但由知: 矛盾. 即得证.注:半序关系中并没有要求,一定要有或,只要两者不同时成立即可.也就是说,两者可以在这种关系下无法比较.我们回忆在学习数列时定义极限的情形,不难发现当时是依靠中的良序关系来描述极限的,然而在更多的情形下,极限的基未必能满足这样的良序关系.为了使这样的极限也能利用序列来进行描述,我们引入半序关系.这样,用能

2、序列描述的极限的范围就被极大地扩展了.定义0.2 称偶为半序集,若且为上的半序关系.定义0.3 称半序集为定向集,若其满足:共尾性: ,这个性质对网极限的定义至关重要,正是共尾性保障了我们所定义极限的唯一性.定义0.4 称映射为中的网,若集合且为定向集,记作一般的网极限理论是在拓扑空间展开的,我们在此不必涉及.我们所讨论的的网极限中,恒令.定义0.5 对于定向集上的网,若,对,有则称为映射在定向集上的网极限,即记作定理0.1 定义5中所述的网极限是唯一的.证明: 假设 ,有,有由上的共尾性: ,从而有: 且 ,于是由的任意性知:即证网极限是唯一的,说明定义5是良好的.定义0.6 设集合且中沿用

3、中的半序关系.若:, ,则称网的限制为网的临界子网,称半序集为的临界子定向集.定理0.2 上述定义6中的为定向集证明:首先按照定义, 是半序集又 , 由半序关系的传递性:即为定向集.定义0.7 称为网的临界子网,若网限制在的一个临界子定向集上.在临界子网上也可以定义网极限,为了证明广义二重积分在不同定义下的等价性,我们有必要建立起不同网之间的关系.定理0.3 这个定理常用来反证网极限不存在,也就是说我们可以选取一个临界子网使极限在此子网上极限不存在,从而说明网极限不存在.定义0.8 称定向集与是等价的,若映射满足:,记作定义0.9 称网与网是等价的,若且,记作定理0.4 证明:不妨设存在且,

4、由的定义,我们有: 由为映射: 再由的保序性得: 即即存在且下面来说明我们以后证明中使用频率最高的共同临界子网的概念.定义0.10 称与存在共同临界子网,若的临界子网与的临界子网等价.至此,我们可以提出我们证明的一般思路了.如我们要证明定义1定义2:Step1.对于正函数,在定义1,2下的网收敛临界子网收敛Step2.在定义1,2下,有绝对收敛性,即收敛收敛Step3.找出定义1中的网与定义2中的网的一个公共临界子网于是 其中第一个和第五个等价性是由广义二重积分的绝对收敛性得出的，第二个和第四个等价是由正函数的广义二重积分网极限与临界子网极限同时存在得出，而第三个等号是由公共临界子网的等价性得

5、出。注意在定义四中我们找不到简单的公共临界子网，不过我们可以转而证有界性的等价性得出我们要的结论。定义1定理1.1 设为区域中任意可求积的子集的全体集合,赋序,则为一个定向集.证明:先说明是一个半序集:非自反性:传递性:且满足共尾性:,记,取则包围的区域满足:可测,且,定义1.1 称在上述定向集上的映射,为有限积分网,记作引理1.2 当二元函数时,有证明:(1)先证:若存在,则存在且两者相等:取,当时,即,且即有界令 当时,时:对于同样的, 当,时,我们取,则, 当,时有: 且 即有,于是由的任意性,得证.(2)再证:若存在,则存在且两者相等令, 而,我们有:即: , 当时,根据定义, 存在且

6、,即得证.定理1.3 当二元函数时,其中为的临界子网.证明:(1)先证明:若存在,则存在且两者相等由引理1.2:=又得单调递增且有上界,则其上确界存在于是由引理1.2: 存在且等于,而, ,进而有于是于是=(2)再证明:若存在,则存在且二者相等由引理1:, ,进而有于是有上界.又得单调递增,故有上确界再由引理1.2: 存在且等于由(1)中证明知: =即得证.定理1.4在定义1下的广义二重积分是绝对收敛的,即:证明:记 于是,要证明和在上可积等价只需证:我们先证明:若,则: 有界取,当时,即,且若,则:,从而有若,则:,从而有:而为某定区域,在上有界,则在上有界于是我们得到:有界,而,故综上所述

7、,有界性得证下面再证明: :反设,则 取的分划, 其下和,即:我们将分为以下两类:在上,在上,(此时有)将第二类取出,并记为,则记,则而这与矛盾,于是注意到:则单调递增且有上界,于是存在由引理1.2知: 综上所述定义2定理2.1 设为所有割下部分的全体,赋序:,则是一个定向集,并且以作为其中每个元素的参数,我们称这种定向集为可参数化的定向集.证明:先说明是一个半序集:非自反性: ,即有传递性:且即然后是共尾性:,由于,即有界,那么 那么可求长曲线 满足：，即使得。定义2.2 在上述定向集上的映射称为菲赫金哥尔茨网。我们先对的情况进行分析：注意到菲赫金哥尔茨网是存在临界子网的.比如说中心为原点的

8、圆圈列： 所包围的区组成的集合记为,且是一个临界子定向集.将限制在上即为网的一个临界子网。另一个例子是中心为原点的正方形列： 所包围的区组成的集合记为,且是一个临界子定向集.将限制在上即为网的一个临界子网。定理2.3若,则:。证明: 若那么由上确界的定义:, 。记取 那么,由于为可求长曲线,则,有:由的定义有: 又由知:即证:反之,只需证由存在有界即可,取临界子网 由于,单调上升到记 从而有即有界 得证.定理2.3 若,则,其中为限制在上的临界子网.证明:先证明若存在则也存在:若存在则存在:由上确界的定义知:从而由定理2.3有存在反之若存在,则: 存在.,由于为的临界子网,记,那么: ,其中为

9、, 围成的区域。由可知:存在且那么只要等式有一边存在,则必然有两边同时存在且相等,即 得证.注意以下事实:当时,若,那么同样有:,即在任意临界子网上引理2.1 首尾相连的曲线的相加设曲线,.,的参数表示为： 满足 ，而且除以上各点外曲线互不相交，这样我们就可以定义若尔当曲线为以上曲线的和即：证明：我们取这样的曲线如果由 知这个分段的参数表示是连续的，而此时没有重点，故为若尔当曲线，满足：。注意如果曲线,.,是围成一圈的，即，那么我们构造的曲线为若尔当闭曲线。定理2.4 在定义2.2下的广义二重积分是绝对收敛的,即:证明:注意到，由极限的线性性,我们只需证：由于,故于是反设那么由定理2.2可知:

10、我们选取临界子定向集,其中:为正方形的边界曲线在其上由定理2.3有:于是我们不妨取满足: (由知:我们可以选出一个无穷子序列使得:,不妨取作为新的即可)记首先是可求积的,而且在上是有界可求积的,那由积分关于区域的线性性是成立的,即有:又有:不妨设,则由上可得:对于,将其所在的正方形区域进行分划取细度足够小的分划:使得对应的下和满足:我们将这些分为下面两类:,此时有:现在我们通过技术性的手段来构造出使得:且:将以上中的每一个向内缩小成为以原中心为中心的边长减少的正方形记产生的新块为:由于这些的个数是有限的,而在内是有界可积的,故只要足够小(不妨设为)就能满足:不妨设和均是分划中的直线(若不然则将

11、这些直线加入到原分划中,形成的新分划依然可以得到上述结论)我们设在分划中有:,接下来是构造的具体步骤:我们记中心为的块为 需要说明的是:对于某些,可能不存在,此时我们记作我们将这些的中心用螺旋状的线段连接起来,具体的直线段为: 再将与连接起来的线段加入我们将上面构造的线段由中心扩展,即以每条直线段为中心线做半径为的的长方形,这个图形记作,其中由于这样的长方形个数有限,那么只要足够小,就有记 那么由的构造知:为若干线段首尾相连而成的,而每一段均可以视作曲线,从而由引理知:这些线段在总体上来说也是曲线,而且在这个情形下是可求长的闭曲线(任取上一点为曲线的端点即可)那么,最后由在上有界可积得: 故再

12、由积分的线性可加性得:取足够小的,使得: 由的构造知:只要取缩小的边长足够小,可使:从而有:我们取足够小可使最后,这样,我们构造的满足:,而且由其构造过程知:,从而有且那么在临界子网下,此极限不存在.由定理2.2知:,矛盾综上所述, 定义3与定义二的证明类似，只需将最后构造的多角形曲线的角用圆弧替换，使其成为光滑曲线即可 定义4定义4：，其中的面积为0，而为包围某一定点的连通块。若右端的极限存在，则对应的积分称为收敛，记为。下面证明一个重要命题，即绝对可积判定定理:，即在上可积和绝对可积等价。在此之前我们证明一个引理：引理：若，则对，为有限区域，是连通的。有，为与和无关的固定正常数。证明：由，

13、即对，对，当时，取包含的连通块，有则我们取为1，取为以原点为圆心，以对应为半径的圆周。则由（1），有显然成立。我们把分为两部分：，。则有积分的可和性，则。而。对于，我们做如下讨论：显然，记。作的网格分划，记所有完全在内部的小块并集为。当分划足够小时，有内积分引理，我们可以证明，。下面我们对进行讨论。我们把中这些小块都取成闭集。让每个小方块稍稍的向内收缩（就像定义2、定义3证明中我们做的一样），使它们之间互不相交，而在其并集上的积分值与上的积分值只相差任意小的。为了下面叙述方便，而下面如无特别说明，所说小块即指内部进行过“收缩”处理互不相交的小块。1. 首先，我们找出一个可以在中做一条“狭窄的走

14、道”与连接的小块，记为（必要时我们可以把小块的编号做适当的调整）。这个“走道”必须保证在中且不与其他小块相交，即。由于“走道”是足够“窄”的，故“走道”上的积分对原积分影响很小。这是可以办到的，因为为连通区域。取任意小块的一个边界点和的一个内点，连接。则与所有小块中第一个相交的小块即我们要找的小块。（为叙述方便，我们以后把“走道”都取成闭集。）记和“走道”的并集为。再找出可以与用一条包含在中的“狭窄走道”相连的小块，记为，记和“走道”的并集为。再找出可以与用一条包含在中的“狭窄走道”相连的小块，记为设这样的共、有个。我们把这些与相连的小块称为第1级小块。2. 找出可以与用一条包含在中的“狭窄走

15、道”相连的小块，记为。记和那条“走道”的并集为。再找出可以与用一条包含在中的“狭窄走道”相连的小块，记为设这样的共有个。3. 找出可以与用一条包含在中的“狭窄走道”相连的小块，记为，记和那条“走道”的并集为。再找出可以与用一条包含在中的“狭窄走道”相连的小块，记为设这样的共有个。我们把上述与第1级小块块直接相连的小块称为第2级小块。特别声明，我们如果说小块与直接相连，那么当且仅当与有共同的聚点。4. 反复进行上述过程，可以把都连起来。否则，假设不能被连起来，由于的连通性，可以把的一个边界点和的一个内点用一条在内的曲线连接起来，则曲线必与的边界相交。上述连线与的边界的第一个交点（这里我们视点为曲

16、线的起始点）属于。而如果是的边界点，则能按我们所给的连接方式与相连在一起。如果是的边界点，则可以从点沿着做一条“走道”相连即可。这就与假设矛盾。若第一个交点属于是一样的。现在我们来讨论一下这种连接方式的性质：我们把这些与直接相连的小块称为一级块，而把2、3步中与第1级块以“走道”直接相连的小块称为第2级块。以此类推，我们把与第级块以“走道”直接相连的小块称为第级块。特别地，我们把称为第0级块，为以原点为圆心，为半径的圆。读者可以发现我们的提供的连接方式有如下特点：a) 同级小块之间不直接相连。b) 若两小块级数差大于等于二，则他们不可能直接相连。c) 各小块必与一个且仅一个第一级小块直接相连，

17、而可能与多个高一级小块直接相连。d) 每小块对应的“走道”必连接它和一个比它高一级的小块。e) “走道”之间不能相交。现在要证明是一条简单曲线所围成区域与相交部分的一块包围点的连通块。由于由“走道”和小块的部分边界组成，故必为可求长曲线。故我们需要证明的边界是一条简单曲线。假设中存在一个“圈”，即，且，。由于“走道”之间不相交，小块与小块之间也不相交，且每个小块上必然至少有一条“走道”，每条“走道”必然连接两个小块。所以，必然是若干“走道”部分边界和小块部分边界的相间排列，即“走道”部分边界，小块部分边界，“走道”部分边界这样依次相连。那么，这也就对应小块和“走道”依次相连，构成一个环状，如下

18、图：走道3走道2走道n走道1取上述相连中的任意小块为小块1，则圈中与它直接相连的小块只有两块。根据前面讨论的性质，这两块中必有一块比小块1高一级，有一块比小块1第一级。取高一级的小块记为小块2，那么与小块2 直接相连的另一小块为小块3。由性质知其必比小块2高一级。以此类推，小块n则比小块1高n-1级，按照相连规律，它们是不能相连的。这也就证明的“圈”是不存在的。的边界是一条简单曲线。由此，我们取边界为所要找的直线，则是所围成区域与相交部分的一块包围点的连通块。故由（2）式，而。联立（3）、（4）、（5）式，命题得证。 #在得到引理后，我们可以用课堂上完全相同的方法证明绝对可积判定定理，这里不再

19、赘述。定义5定义5 序列,其中可求积,且,称为的一个穷竭,若对于任意的穷竭,极限存在.证明:与穷竭的选择无关.定义,若右端的极限对于任意穷竭存在,则对应的积分称为收敛,记作在这个定义下,我们将发展广义二重积分的理论,那么,我们先将定义阐述得更明确引理5.1 任意穷竭均可视为的临界子定向集证明：(1) 设按照穷竭列的定义,中元素的序是依照下标的良序关系给定的.那么在恒同映射下良序集与是保序的.(2)若 , 那么由,我们有: 而这与矛盾从而, 进一步说明是的临界子定向集.引理5.2 任意穷竭列的任一无穷子序列也是一个穷竭列证明:设为的一个无穷子序列，其中由严格单调递增的映射,来决定那么由又因为是单

20、调的,则:(否则由鸽巢原理知不严格单调), 又由上可知: 于是有:,即根据穷竭列的定义可知也是一个穷竭列.引理5.3 为穷竭列的一个无穷子序列,若存在,则: 存在且证明: 由引理5.2中的证明: ,则,有 即 注:其实对于每一个和,它们都是实数, 又因为是的一个无穷子序列可推出是的一个无穷子序列,于是由数列的性质我们可以直接得出所需结论,甚至不必关注是否还是穷竭列.作了上面的准备工作,我们就可以说明定义5是良好的.定理5.1 若对任意穷竭,极限存在,则与穷竭的选择无关.从而说明定义5是良好的.证明:记任意两个穷竭列分别为和,令,下面我们来构造一个新的穷竭列:在中 有,取 记在中 记在中 记 根

21、据引理5.1,这样的取法是做得到的.这样构造出的新数列满足:而其中奇数项组成了的一个无穷子序列,于是由引理2得: 即的确实穷竭列由定义知:再因为的奇数项组成了的一个无穷子序列, 偶数项组成了的一个无穷子序列,再由引理5.2知:,至此由引理5.3得: 为了证明绝对收敛性,有必要对的情况进行一些说明定理5.2 若,则,其中为任一给定的穷竭列.证明:对给定的穷竭列,设存在(1) 先证明,由上确界的定义有:, 而由,且知: 有 即存在且(2) 对于任意的一个穷竭列,由于可以看作的临界子定向集.那么,一个无穷子序列 且 ,于是有:由上可知,存在那么由(1),(2)可知存在,由(1)和定理1知:反过来,假

22、设存在,则由于存在,而随单调递增,则,即有上界.于是存在且有定理5.3 在定义5下的广义二重积分是绝对收敛的,即:证明:注意到,由极限的线性性,我们只需证明: 可积,不难发现,于是取一穷竭列,由定理5.2知:存在但由定理5.2知:最后得 反设则由定理5.2知:我们不妨假定满足:(由 知可以选出一个无穷子序列使得,我们不妨取作为新的即可)设 首先是可求积的,而且在上是有界可积的,那么积分关于区域的线性性是成立的,即我们有:我们又有不妨设右端两积分中则:对于,将其代以分化足够细的Darboux下和使下面的不等式成立:我们将这些分为两个部分:, 即有取,即第一类的并更有 (1)记 ,则可积且在上有界可积又 (2)积分线性性成立,(1)式与(2)式相加得:最后,我们来说明是一个穷竭列:由 即的确是一个穷竭列而,这与矛盾定义1与定义5的等价性证明:(1):存在,则对任意穷竭,记集合记加上自然数的序关系构成的定向集为而极限是映射:在定向集下的网极限.由知:(取恒同映射,它是保序的)而,从而有,那么存在,而由的任意性,得证(2)反设,则于是对任意穷竭列,从而,再由绝对收敛性得:,矛盾.定义1与定义2，3的等价性定义一和定义二的等价性证明与定义一与定义三的等价性证明是可以一起完成的，那是因为由我们在网极限中给出的纲领，在我们已经证明step1和st