重庆市朝阳中学2019-2020学年高二数学12月月考试题（含答案）

1、重庆市朝阳中学2019-2020学年高二数学12月月考试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象 A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位2. 已知，则的值等于A. B. C. D. 3. 已知，则a，b，c的大小关系为A. B. C. D. 4. 设函数，则使得成立的x的取值范围是 A. B. C. D. 5. 设函数，则下列结论错误的是A. 的一个周期为B. 的图象关于直线对称C. 的一个零点为D. 在单调递减6. 下列五个写法：2，；1，2，；，其中错误写法的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 47

2、. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则A. B. C. D. 8. 设x、y、z为正数，且，则A. B. C. D. 9. 已知函数是定义在R上的奇函数，且，则的值为A. 0B. C. 2D. 510. 已知椭圆的左顶点和上顶点分别为A，B，左、右焦点分别是，在线段AB上有且只有一个点P满足，则椭圆的离心率为A. B. C. D. 11. 已知集合，若，则实数m的取值范围为A. B. C. D. 12. 已知函数设，若关于x的不等式在上恒成立，则a的取值范围是A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数的图象在处的切线方程为，则14. 函数在R上

3、不是单调函数，则a的取值范围是 15. 数列的通项公式，则该数列的前8项之和等于_16. 已知A，B是球O的球面上两点，C为该球面上的动点若三棱锥体积的最大值为3，则球O的体积为_ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知是关于x的方程的一个实根，且是第三象限角求的值；求的值18. 如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知，求证：直线平面DEF；平面平面ABC19. 在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为写出的普通方程和的直角坐标方程；设点P在上，点Q在上，求的最小值及此时P的

4、直角坐标20. 已知椭圆C：的两个焦点分别为，离心率为，过的直线l与椭圆C交于M，N两点，且的周长为8求椭圆C的方程；若直线AB与椭圆C分别交于A，B两点，且，试问点O到直线AB的距离是否为定值，证明你的结论21. 如图，四棱锥中，底面ABCD，M为线段AD上一点，N为PC的中点证明：平面PAB；求直线AN与平面PMN所成角的正弦值22. 设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E证明为定值，并写出点E的轨迹方程；设点E的轨迹为曲线，直线l交于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围答案和解析1.【

5、答案】B【解析】【分析】本题主要考查三角函数图象的平移变换，以及诱导公式的应用，属于基础题先根据诱导公式进行化简为正弦函数的类型，再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案【解答】解：由题意，函数的图象经过向右平移个单位，得到函数的图象所以将的图象向右移动个单位即可得到的图象故选B2.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式，考查学生的计算能力，属于基础题利用诱导公式，即可得结论【解答】解：，故选B3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题将a，b化为同底数的幂，利用指数函数的单调性判定大小，a，c利用中间值2，结合指数、对数函

6、数的性质比较大小，然后利用不等式的基本性质的可知道a，b，c的大小关系【解答】解：，故选C4.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键，属于中档题根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论【解答】解：的定义域为R，函数为偶函数，且在时，而为上的单调递增函数，且为上的单调递增函数，函数在单调递增，等价为，即，平方得，解得：，所求x的取值范围是故选B5.【答案】D【解析】【分析】本题考查与余弦函数有关的命题的真假判断，根据三角函数的图象和性质是解决本题的关键，题目比较基础根据余弦函数的图象和性质分别进

7、行判断即可【解答】解：对于A，函数的周期为，当时，周期，故A正确；对于B，当时，为最小值，此时的图象关于直线对称，故B正确；对于C，因为，且，则的一个零点为，故C正确；对于D，当时，此时函数有增有减，不是单调函数，故D错误故选D6.【答案】C【解析】【分析】本题考查集合部分的一些特定符号、一些特殊的集合、集合中元素的三要素，属于基础题根据“”用于元素与集合；“”用于集合与集合间；判断出错，根据是不含任何元素的集合且是任意集合的子集判断出的对错；据集合元素的三要素判断出对【解答】解：对于，“”是用于元素与集合的关系，故错；对于，是任意集合的子集，故对；对于，集合中的元素有确定性、互异性、无序性，

8、两个集合是同一集合，故对；对于，因为是不含任何元素的集合，故错；对于，因为“”用于集合与集合，故错故错误的有，共3个，故选C7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于中档题根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可【解答】解：，由正弦定理可得，故选B8.【答案】D【解析】解：x、y、z为正数，令则，另解：x、y、z为正数，令则，可得，可得综上可得：解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系故选：Dx、y、z为正数，令可得，可得，根据，即可得出大小关系另解：x、y、z为正数，令可得，可得，同理可得本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质

9、，考查了推理能力与计算能力，属于中档题9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数周期性和奇偶性的应用，属于中档题【解答】解：函数是定义在R上的奇函数，由得，即函数的周期为8，则，故选B10.【答案】A【解析】【分析】本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于中档题由题意可求得AB的方程，设出P点坐标，代入AB的方程，由，得，结合椭圆的离心率的性质即可求得答案【解答】解：依题意，作图如下，直线AB的方程为：，整理得：，设直线AB上的点，则，令，则，由得：，于是，整理得：，又，又椭圆的离心率，椭圆的离心率为故选A11.【答案】A【解析】【分

10、析】本题考查集合的包含关系判断及应用，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题对B是否为空集讨论，求出m的范围【解答】解：当B为空集时，满足，此时，可得；当B不是空集时，要使，则，可得综上所述：故选A12.【答案】A【解析】【分析】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别利用二次函数的性质和基本不等式求最值是解题的关键，属于中档题讨论当时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当时，同样可得，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围【解答】解：当时，关于x的不等式在上

11、恒成立，即为，即有，由的对称轴为，可得处取得最大值；由的对称轴为，可得处取得最小值，则当时，关于x的不等式在上恒成立，即为，即有，由当且仅当取得最大值；当且仅当取得最小值2则由可得，另解：作出的图象和折线当时，的导数为，由，可得，切点为代入，解得；当时，的导数为，由，可得舍去，切点为，代入，解得由图象平移可得，故选：A13.【答案】【解析】【分析】本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的斜率，属于中档题先将代入切线方程可求出，再由切点处的导数为切线斜率可求出的值，最后相加即可【解答】解：由已知切点在切线上，所以，切点处的导数为切线斜率，所以，所以故答案为14.【

12、答案】【解析】【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，属于基础题依题，函数在R上不是单调函数等价于与x轴有两个不同的交点，从而求出a的取值范围【解答】解：，又函数在R上不是单调函数，与x轴有两个不同的交点，方程有两个相异的实根，即或故答案为15.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查数列求和的应用，注意裂项法的合理运用考查计算能力，属于基础题利用分母有理化化简数列的通项公式，然后利用裂项求和法能求出数列的前8项之和【解答】解：数列的通项公式为：则该数列的前8项之和为：故答案为216.【答案】【解析】【分析】本题考查球的半径与体积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，

13、三棱锥的体积最大是关键当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，利用三棱锥体积的最大值为3，求出，即可求出球O的体积【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，则球O的体积为故答案为17.【答案】解：，即或，又是第三象限角，且是第三象限角，【解析】本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力利用已知条件求出正切函数值，化简所求表达式为正切函数的形式，计算即可利用同角三角函数的基本关系式，通过解方程求解即可18.【答案】证明：、E为PC、AC的中点，又平面DEF，平面DEF，平面DEF；、E为PC

14、、AC的中点，；又、F为AC、AB的中点，；，；，；，AC，平面ABC，平面ABC；平面BDE，平面平面ABC【解析】本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，属于中等题由D、E为PC、AC的中点，得出，从而得出平面DEF；要证平面平面ABC，只需证平面ABC，即证，且即可19.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，移项后两边平方可得，所以的普通方程为；曲线的极坐标方程为，即，由，可得，即的直角坐标方程为直线；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，两平行线间的距离为的最小值，设与直线平行的直线方程为，联立可得，由直线与椭圆相切，可得，解

15、得，显然时，取得最小值，即有，此时，解得，即为另解：设，由P到直线的距离为，当时，的最小值为，此时可取，即有【解析】本题考查参数方程和普通方程的互化、极坐标和直角坐标的互化，同时考查直线与椭圆的位置关系，主要是相切，考查化简整理的运算能力，属于中档题运用两边平方和同角的平方关系，即可得到的普通方程，运用，以及两角和的正弦公式，化简可得的直角坐标方程；由题意可得当直线的平行线与椭圆相切时，取得最值设与直线平行的直线方程为，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得的最小值，解方程可得P的直角坐标另外：设，由点到直线的距离公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到所求最小

16、值和P的坐标20.【答案】解：设椭圆的半焦距为c，由题意知，则，由椭圆离心率，得，椭圆C的方程；由题意，当直线AB的斜率不存在时，此时可设，又A，B两点在椭圆C上，即，点O到直线AB的距离；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，设，联立方程消去y得，由已知，由，得，则，即，整理得，满足，点O到直线AB的距离为定值综上可知，点O到直线AB的距离为定值【解析】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题由题意可知：，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；分类讨论，当斜率不存在时，直接求出距离；当直线斜

17、率存在时，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得m和k的关系，利用点到直线的距离公式，即可求得点O到直线AB的距离为定值21.【答案】证明：法一，如图，取PB中点G，连接AG，NG，为PC的中点，且，又，且，且，则，且，四边形AMNG为平行四边形，则，平面PAB，平面PAB，平面PAB；法二，在中，过N作，垂足为E，连接ME，在中，由已知，得，则，在中，由余弦定理得：，而在中，即，则平面PAB由底面ABCD，得，又，则平面PAB，平面平面PAB，则平面PAB；解：在中，由，得，则，底面ABCD，平面PAD，平面平面PAD，且平面平面，平面PAD，则平面平面PAD在平面PAD内，过A作，交PM

18、于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角在中，由N是PC的中点，得，在中，由，得，直线AN与平面PMN所成角的正弦值为【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了空间想象能力和计算能力，是中档题法一，取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得，且，再由已知得，且，得到，且，说明四边形AMNG为平行四边形，可得，由线面平行的判定得到平面PAB；法二，证明平面PAB，转化为证明平面平面PAB，在中，过N作，垂足为E，连接ME，由已知底面ABCD，可得，通过求解直角三角形得到，由面面平行的判定可得平面平面PAB，则结论得证；由勾股定理得，进一步得到平面平面PAD，在平面PAD内，过A作，交PM于F，连接NF，则为直线AN与平面PMN所成角然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的正弦值22.【答案】解：证明：圆即为，可得圆心，半径，由，可得，由，可得，即为，即有，则，故E的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，且有，即，则点E的轨迹方程为；椭圆：，设直线l：，由，得PQ：，由，可得，易知，设，可得，则，A到PQ的距离为，则四边形M