山东省烟台市2020届高三数学4月模拟考试一模试题（含答案）

1、山东省烟台市2020届高三数学4月模拟考试（一模）试题注意事项：1.本试题满分150分，考试时间为120分钟2.答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上3.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1.已知集合，则A. B. C. D.2.已知复数满足（为虚数单位），则 A. B. C. D.3.设，则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.数列：，最初记载于意大

2、利数学家斐波那契在1202年所著的算盘全书.若将数列的每一项除以所得的余数按原来项的顺序构成新的数列，则数列的前项和为A. B. C. D.5.设为平行四边形，若点满足，则A. B. C. D.6.右图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小 木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入号球槽的概率为 A. B. C. D.7.设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，则四边形面积的最小值为A. B. C. D.8.已知函数，实数满足不等

3、式，则下列不等关系成立的是A. B. C. D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。9.2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在全国蔓延.疫情就是命令,防控就是责任.在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争.右侧的图表展示了2月14日至29日全国新冠肺炎疫情变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是 A.16天中每日新增确诊病例数量呈下降趋势且19日的降幅最大B.16天中每日新增确诊病例的中位数小于新增疑似病例的中位数C.

4、16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例的极差均大于 D.19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例之和10.已知是双曲线上任一点，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，设直线的斜率分别为，若恒成立，且实数的最大值为，则下列说法正确的是A.双曲线的方程为B.双曲线的离心率为C.函数的图象恒过的一个焦点D.直线与有两个交点11.如图，在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，为面对角线上任一点，则下列说法正确的是A.平面内存在直线与平行 B.平面截正方体所得截面面积为C.直线和所成角可能为D.直线和所成角可能为12.关于函数，下列说法正确的是A.当时，在处的切线方程为B.当时，存在唯一

5、极小值点且C.对任意，在上均存在零点D.存在，在上有且只有一个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知，则14.的展开式中项的系数是（用数字作答）15.已知点在半径为的球面上，满足，若是球面上任意一点，则三棱锥体积的最大值为16.已知为抛物线的焦点，点，为抛物线上任意一点，的最小值为，则抛物线方程为 ，若线段的垂直平分线交抛物线于两点，则四边形的面积为 .（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10分）已知的内角所对的边分别为，.（1）求角；（2）若，边上的高为，求.18.（12分）已知等差数列的前

6、项和为，是各项均为正数的等比数列， ，是否存在正整数，使得数列的前项和，若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.从，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）如图，三棱锥中，点,分别是,的中点，点是的重心.（1）证明：平面；（2）若平面平面,，,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值. 20.（12分）推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节.为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分30,40)40,50)50,60)

7、60,70)70, 80)80,90)90,100男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于分的概率；不太了解比较了解男性女性（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解” （得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60 分）两类，完成列联表，并判断是否有的 把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别” 有关?（3）从参与问卷测试且得分不低于分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取 人，连同名男性调查员一起组成个环保宣传队.若从这人中随机抽取人作为队长，且男性队长人数的期望不小于2，求的

8、最小值.附：. 临界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.（12分）已知函数.（1） 若在上恒成立，求的取值范围，并证明：对任意的，都有；（2）设，讨论方程实数根的个数.22.（12分）已知椭圆过点，且焦距为.（1）求椭圆的标准方程；（2）设为直线：上一点，为椭圆上一点，以为直径的圆恒过坐标原点.（i）求的取值范围；（ii）是否存在圆心在原点的定圆恒与直线相切？若存在，求出该定圆的方程;若不存在，说明理由2020年高考诊断性测试数学答案一、单项选择题1. C 2. B 3. A 4.

9、B 5. B 6. D 7. A 8. C 二、多项选择题9. BC 10. AC 11. BC 12. ABD三、填空题13. 14. 15. 16. ，四、解答题17解：（1）因为，由正弦定理得 所以, 1分即 ， 2分又，所以所以， 3分而，所以， 所以. 4分 （2）因为 5分 将，代入，得. 6分由余弦定理得，于是， 8分即 ，解得或. 10分18解：设等比数列的公比为（），则，于是， 2分即，解得，（舍去）. 4分若选：则，解得， 6分所以， 8分， 9分于是 10分令，解得，因为为正整数，所以的最小值为. 12分若选：则，解得.下同.若选：则，解得. 6分于是， 8分， 9分于是

10、， 10分令，得，注意到为正整数，解得，所以的最小值为. 12分19解：（1）证明：延长交于点,点为的中点，因为分别是棱的中点, 所以是的中位线，所以， 2分又，所以. 同理可证. 3分又，所以平面， 4分因为，所以. 5分（2）连接，因为，是的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.以为坐标原点，以向量所在的方向分别作为轴、轴的正方向，以与向量垂直的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 6分设，则， ， . 7分设平面的一个法向量为，则，即，令，得，于是取 9分又平面的一个法向量为 ，则，即，令，得，于是取 11分设平面与平面的所成的角二面角的大小为，则.所以平面与平面

11、的所成的锐二面角的余弦值为. 12分20解：（1）由调查数据，问卷得分不低于分的比率为， 故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于分的概率为. 2分不太了解比较了解男性250330女性150270（2）由题意得列联表如下：3分的观测值 5分因为5.542 所以有的把握认为居民对垃圾分类的了解程度与性别有关. 6分（3）由题意知，分层抽样抽取的10人中，男性人，女性人. 7分随机变量的所有可能取值为，其中，, 9分所以随机变量的分布列为0123 10分,可得，解得. 12分21解：（1）由可得，令，则， 1分当时，单调递增，当时，单调递减，故在处取得最大值， 3分要使，只需，故的取值范围为， 4分显然，当时，有，即不等式在上成立，令，则有，所以，即：； 6分（2）由可得，即，令，则， 8分当时，单增，当时，单减，故在处取得最大值， 10分又当时，当时， 11分所以，当时，方程有一个实数解；当时，方程有两个不同的实数解；当时，方程没有实数解. 12分22解：（1）将点的坐标代入椭圆的方程得，解得，所以椭圆的方程为 3分（2）设.因为以为直径的圆